Introducción a la simetría de funciones

Una figura tiene simetría reflexiva si no cambia al reflejarla a lo largo de una línea recta.

Por ejemplo. el pentágono anterior tiene simetría reflexiva.

Observa que la línea $l$‍ es la línea de simetría, y que la figura es una reflexión de sí misma a lo largo de esta línea.

La idea de simetría refelxiva se puede aplicar a las formas de las gráficas. Demos un vistazo.

Una función se conoce como función par si su gráfica es simétrica con respecto al eje $y$‍.

Por ejemplo, la función $f$‍, cuya gráfica aparece abajo, es una función par.

Verifica esto tú mismo al arrastrar el punto en el eje $x$‍ de derecha a izquierda. Observa que ¡la gráfica no cambia despues de reflejarla a lo largo del eje $y$‍!

Algebraicamente, una función $f$‍ es par si $f(-x)=f(x)$‍ para todos los valores posibles de $x$‍.

Por ejemplo, para la siguiente función par, observa que la simetría a lo largo del eje $y$‍ garantiza que $f(x)=f(-x)$‍ para todo $x$‍.

Una función se conoce como función impar si su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Visualmente esto significa que puedes rotar la figura ${180}^{\circ }$‍ alrededor del origen y se mantiene sin cambio.

Otra forma de visualizar la simetría respecto al origen es imaginar una reflexión a lo largo del eje $x$‍, seguida por una reflexión a lo largo del eje $y$‍. Si esto deja la gráfica de la función sin cambio, la gráfica es simétrica respecto al origen.

Por ejemplo, la función $g$‍, cuya gráfica aparece abajo, es una función impar.

Verifica esto tú mismo al arrastrar el punto en el eje $y$‍ de arriba hacia abajo (para reflejar la función a lo largo del eje $x$‍), y el punto en el eje $x$‍ de derecha a izquierda (para reflejar la función a lo largo del eje $y$‍). Observa que ¡esta es la función original!

Algebraicamente, una función $f$‍ es impar si $f(-x)=-f(x)$‍ para todos los valores posibles de $x$‍.

Por ejemplo, para la función impar abajo, observa que la simetría de la función grantiza que $f(-x)$‍ es siempre el opuesto de $f(x)$‍.