Números complejos y factorización de sumas de cuadrados

tiempo atrás en clases de álgebra aprendimos a factorizar cosas como x cuadrada menos cuadrada y vimos que esto es la diferencia de cuadrados que puedes factorizar lo como x + x x menos sólo para refrescarlo y puedes multiplicarlos y verificar que obtendrás x cuadrada menos de cuadrada pero bueno vamos a hacerlo por diversión esto es x por x es igual x cuadrada luego x x menor y es igual a menos x luego x x re positivo es igual a xe y jeff por menos y es igual a menos de cuadrado se cancelan y nos queda justo el resultado y lo que quiero abordar en este vídeo es algo que no sabíamos cómo factorizar antes y esto es la suma de cuadrados así que si factor izamos xy bueno voy a poner todo esto con un color un poco más brillante si quisiéramos tratar de factorizar x cuadrada este color rosa x cuadrada más que cuadrada antes nosotros sabíamos de números imaginarios números complejos pero no sabíamos cómo factorizar eso pero ahora vamos a hacerlo y me gustaría tratar de hacerlo y alentar a que en el vídeo próximo lo hagas antes que yo tratando de expresar esto con una diferencia de cuadrados y usando la unidad imaginaria así que tratemos de hacer esto entonces lo primero que teníamos con las diferencias de cuadrados era x cuadrada así que lo dejamos por aquí la x cuadrada pero ahora quiero escribir esta parte esta parte segunda como restándole a x cuadrada algo entonces nosotros vamos a querer restar esto entonces podemos escribirlo como de esta forma sería x cuadrada menos por menos de cuadrada la ye cuadrada negativa por un menos es como si estuviéramos sumando como si tuviéramos el positivo y por aquí podemos poner este menos 1 que sería lo que estaría multiplicando la ye cuadrada ahora como nos ayuda a esto bien pues esto es como está restando con el menos 1 pero para escribir esto como y cuadrada ya sabemos que por definición menos 1 es igual a cuadrada o y cuadrada igual a menos 1 así que escribamos lo de esta forma esto sería igual a x cuadrada menos y tenemos que el menos 1 es igual a cuadrada entonces esto sería cuadrada de cuadrada y ahora esto es interesante y creo que puedes ir viendo para dónde va esto pero bueno esto lo hace un poco más explícito entonces ahora esto es x cuadrado menos menos y estos dos podemos llevar ambos al cuadrado entonces ya menos y por qué y ambos al cuadrado y con estos usando la y estamos listos para escribir esta suma de cuadrados como una diferencia de cuadrados y ahora podemos factorizar y sólo de la misma forma que factor izamos esta expresión original entonces esto va a ser igual a x más esto de aquí que sería y x más y por equis por x menos y yo x menos y podemos verificar que si multiplicamos estas expresiones vamos a obtener x cuadrada más cuadrada y hagámoslo entonces tenemos x x x esto es igual a x cuadrada y luego tenemos x x y por menos y lo cual sería y x menos y x de y luego tenemos más y jr por x lo cual sería más y equis y finalmente tenemos y por menos y jeff lo cual sería menos y al cuadrado sería menos y cuadrada de cuadrada ahora estos dos términos se cancelan y luego recordando que menos y cuadrada es igual que y cuadrado es igual a menos uno y luego este por este menos por este menos del menos uno es como tener algo positivo y finalmente nos queda x cuadrada massieu cuadrada así que espero que esto te dé una apreciación de usar la unidad imaginaria como de hecho podemos factorizar esta expresión es esencialmente el producto de dos números complejos y finalmente tú lo puedes utilizar para algunas otras operaciones esta factorización nos da