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Transcripción del video

conozcamos el teorema del residuo para polinomios al principio nos va a parecer un poco mágico pero en un próximo video lo vamos a probar ya medida que hagamos ejemplos con este teorema nos vamos a dar cuenta que como todo en matemáticas no es tan mágico bien en qué consiste el teorema del residuo para polinomios establece que si tenemos un polinomio fx así es que esté aquí es un polinomio y lo dividimos / / x - ah entonces el residuo entonces el residuo el residuo que se obtiene después de hacer la división larga entre polinomios el residuo que se obtiene va a ser igual a efe de a va a ser igual a efe de a esto que en un principio parece un poco abstracto estoy hablando de fx de x menos a hagamos lo más concreto supongamos que tenemos un polinomio fx tuvimos un polinomio de segundo grado es válido para cualquier tipo polinomios pero empecemos con uno muy sencillo el segundo grado que es 3x cuadrada menos 4 x + 7 y supongamos que a es igual a 1 así es que vamos a dividir este polinomio vamos a dividirlo entre x - 1 x - 1 así es que a en este caso es igual a 1 hagamos entonces la división larga polinomios y si no la conoces o no lo recuerdas te invito a que veas el vídeo de la división larga y polinomios antes de continuar con este vídeo voy a suponer que hacer es hacer ese tipo de divisiones así es que la división de 3 x 4 - 4 x + 7 / x -1 y verifica que efectivamente el residuo corresponde a efe de uno bien supongo que ya lo intentaste hagámoslo juntos vamos entonces a dividir entre x - 1 el polinomio vamos a dividir entre x menos 13 x cuadrada menos 4 x +7 muy bien una división de polinomios larga no está mal para empezar el día de mañana para mí no sé para ti vienen las divisiones largas nos fijamos en el término de mayor orden aquí y en el término de mayor de por acá así es que tenemos que 3x cuadrada / x esto nos da tres equis cuadra entre x es igual a 3 x 3 x y lo voy a poner en el lugar donde se encuentran los términos de primer orden por así decirlo entonces 3 x x x 63 x cuadrada y 3 x x menos uno es menos tres equis y esto lo queremos restar es la manera cómo se hace la división larga así es que qué obtenemos 3x cuadrada menos tres equis cuadra de este término se cancela este término se hace cero y por acá tenemos menos 4 x + 3 x porque menos por menos es más menos 4 x + 3 x es menos x-bow usar otro color aquí nos queda entonces - x y voy a bajar este +7 es tema 7 no bajamos éste es muy similar a la división que aprendimos a cenar y ética cuando íbamos en la primaria tan sólo multiplique 3x por esto para obtener 3 x cuadrada menos tres equis lo cual le restamos de aquí para obtener menos x + 7 o más bien podríamos decir que lo estamos del polinomio para obtener menos x + 7 y ahora tenemos que dividir entre x - 1 - x + 7 - x / x es igual a menos 1 - 1 x x es menos x y menos uno por menos uno es más uno pero esto lo tenemos que respetar hacemos la resta y que nos queda - x - - x esto es menos x mas x estos términos se cancelan esto es igual a cero y 7 - más 17 - 1 esto es igual a 6 el residuo es 6 y una manera de ver esto es podríamos decir que podríamos decir que no estoy mejor te lo va a mostrar en un próximo video así es que esté aquí es el residuo el residuo y para saber cuándo se tiene residuos y éste es tan sólo una revisión de la división larga es que aquí tienes un término de un orden inferior esté de alguna manera es un polinomio de grado cero este es de un orden menor que el denominador que x menos uno que es de orden 1 así es que el 6 que puedes confiar con un polinomio de orden cero es de un orden menor es el residuo ya no puedes vivir 6 / x - 1 ahora bien si se cumple el teorema del residuo para polinomios y esté aquí es tan sólo un ejemplo tomado al azar no es de ninguna manera una demostración he desarrollado este problema en concreto para que podamos verificar de manera tangible que el teorema del residuo para polinomios se cumple lo cual quiere decir en este caso que fd a es decir f1 a f1 tiene que ser igual a 6 vamos a verlo efe de uno es igual 3 x 1 al cuadrado estrés menos cuatro por uno menos cuatro más 7 esto es igual 3 - 4 - 1 +7 esto es igual a 6 de hecho es igual a 6 nuestro residuo y aquí nos merecemos unas pequeñas fanfarrias así que lo que hemos hecho aquí es verificar que efectivamente el teorema del residuo para polino me funciona pero lo realmente práctico de esto es que si alguien nos pide por ejemplo residuo de esto 3 x 4 - 4 x + 7 / / x menos uno y no le interesa el cociente entonces lo que tenemos que hacer en este caso es identificar el valor de a es igual a 1 calcular f1 evaluar esto en uno para obtener que el residuo 6 no tuvimos que hacer la división larga sólo tuvimos que hacer esto para obtener el residuo así de simple obtuvimos el residuo de dividir 3x coah - 4 x + 7 / x - 1 a