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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10

Lección 37: Simetría de funciones polinomiales
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Expresiones, ecuaciones y funciones polinomiales
Simetría de funciones polinomiales
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Simetría de polinomios

Google Classroom
Aprende cómo determinar si un polinomio es par, impar, o ninguno de los dos.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Se muestra una parábola simétrica en x es igual a cero en un plano de coordenadas x y. Su vértice está en (cero, cero). Como x tiende a infinito negativo, el valor de y tiende a infinito. Como x tiende a infinito, el valor de y tiende a infinito.
Una función es una función par si su gráfica es simétrica con respecto al eje y.
Algebraicamente, f es una función par si f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis para todo x.
Se muestra una función cúbica en un plano de coordenadas x y. Su punto medio está en (cero, cero). Como x tiende a infinito negativo, y tiende a infinito negativo. Como x tiende a infinito, y tiende a infinito. La gráfica es cóncava hacia abajo desde el intervalo infinito negativo hasta cero. La gráfica es cóncava hacia arriba desde el intervalo cero hasta el infinito.
Una función es una función impar si su gráfica es simétrica con respecto al origen.
Algebraicamente, f es una función impar si f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis para todo x.
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestra Introducción a la simetría de funciones.

Lo que aprenderás en esta lección

Aprenderás cómo determinar si un polinomio es par, impar, o ninguno de los dos, de acuerdo a la ecuación del polinomio.

Investigación: simetría de monomios

Un monomio es un polinomio con un solo término. Los monomios tienen la forma f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, n, end superscript, donde a es un número real y n es un entero mayor o igual a 0.
En esta investigación vamos a analizar la simetría de varios monomios, para ver si podemos establecer condiciones generales que determinen si un monomio es par o impar.
En general, para determinar si una función f es par, impar, o ninguna de las dos, analizamos la expresión de f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis:
  • Si f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis es la misma que f, left parenthesis, x, right parenthesis, entonces sabemos que f es par.
  • Si f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis es la opuesta de f, left parenthesis, x, right parenthesis, entonces sabemos que f es impar.
  • De otra forma, no es par ni impar.
Como un primer ejemplo, determinemos si f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, cubed es par, impar, o ninguna de las dos.
f(−x)=4(−x)3=4(−x3)(−x)3=−x3=−4x3Simplifica=−f(x)Pues f(x)=4x3\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=4(\blueD{-x})^3\\ \\ &=4(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=-4x^3&&\small{\gray{\text{Simplifica}}}\\ \\ &=-f(x)&&\small{\gray{\text{Pues $f(x)=4x^3$}}}\\ \end{aligned}
Aquí f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, así que la función f es impar.
Ahora intenta algunos ejemplos tú mismo, a ver si encuentras un patrón.
1) ¿Es g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared par, impar, o ninguna de las dos?
Escoge 1 respuesta:

2) ¿Es h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, 5, end superscript par, impar, o ninguna de las dos?
Escoge 1 respuesta:

Concluir la investigación

De los ejemplos anteriores, vemos que si f es una función monomial de grado par, entonces la función f es una función par. Similarmente, si f es una función monomial de grado impar, entonces la función f es una función impar.
Función parFunción impar
Ejemplos g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscripth, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, end superscript
En generalf, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #aa87ff, n, end color #aa87ff, end superscript donde n es start color #aa87ff, start text, p, a, r, end text, end color #aa87fff, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #1fab54, n, end color #1fab54, end superscript donde n es start color #1fab54, start text, i, m, p, a, r, end text, end color #1fab54
Esto es porque left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, x, start superscript, n, end superscript cuando n es par, y left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, minus, x, start superscript, n, end superscript cuando n es impar.
¡Esta es probablemente la razón original por la cual las funciones se han llamado par e impar!

Investigación: simetría de polinomios

En esta investigación examinaremos la simetría de polinomios con más de un término.

Ejemplo 1: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5

Para determinar si f par, impar, o ninguna de las dos, encontramos f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
f(−x)=2(−x)4−3(−x)2−5=2(x4)−3(x2)−5(−x)n=xn cuando n es par=2x4−3x2−5Simplifica=f(x)Pues f(x)=2x4−3x2−5\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-3(\blueD{-x})^2-5\\ \\ &=2(x^4)-3(x^2)-5&&\small{\gray{(-x)^n=x^n\text{ cuando $n$ es par}}}\\ \\ &=2x^4-3x^2-5&&\small{\gray{\text{Simplifica}}}\\\\ &=f(x)&&\small{\gray{\text{Pues } f(x)=2x^4-3x^2-5}} \end{aligned}
Como f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, la función f es una función par.
Observa que no todos los términos de f tienen grado par.

Ejemplo 2: g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x

Nuevamente empezamos por encontrar g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
g(−x)=5(−x)7−3(−x)3+(−x)=5(−x7)−3(−x3)+(−x)(−x)n=−xn cuando n es impar=−5x7+3x3−xSimplifica\begin{aligned}g(\blueD{-x})&=5(\blueD{-x})^7-3(\blueD{-x})^3+(\blueD{-x})\\ \\ &=5(-x^7)-3(-x^3)+(-x)&&\small{\gray{(-x)^n=-x^n\text{ cuando $n$ es impar}}}\\ \\ &=-5x^7+3x^3-x&&\small{\gray{\text{Simplifica}}}\\ \end{aligned}
En este punto observa que cada término de g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis es el opuesto de cada término de g, left parenthesis, x, right parenthesis. En otras palabras, g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, así que g es una función impar.
Observa que todos los términos de g tienen grado impar.

Ejemplo 3: h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

Encontremos h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
h(−x)=2(−x)4−7(−x)3=2(x4)−7(−x3)(−x)4=x4 y (−x)3=−x3=2x4+7x3Simplifica\begin{aligned}h(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-7(\blueD{-x})^3\\ \\ &=2(x^4)-7(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^4=x^4\text{ y } (-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=2x^4+7x^3&&\small{\gray{\text{Simplifica}}}\\\\ \end{aligned}
2, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 7, x, cubed no es lo mismo que h, left parenthesis, x, right parenthesis, ni tampoco el opuesto de h, left parenthesis, x, right parenthesis.
Mathemáticamente, h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, h, left parenthesis, x, right parenthesis y h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, minus, h, left parenthesis, x, right parenthesis, así que h no es par ni impar.
Observa que h tiene un término de grado par y uno de grado impar.

Concluir la investigación

En general, podemos determinar si un polinomio es par, impar o ninguno de los dos, al examinar cada término individualmente.
empty spaceRegla generalPolinomio de ejemplo
ParUn polinomio es par si cada término es una función par.f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5
ImparUn polinomio es impar si cada término es una función impar.g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x
NingunoUn polinomio no es par ni impar si contiene funciones tanto pares como impares.h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

Comprueba tu comprensión

3) ¿Es f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, squared, plus, 5 par, impar, o ninguna de las dos?
Escoge 1 respuesta:

4) ¿Es g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 6, x, cubed, plus, x, squared par, impar, o ninguna de las dos?
Escoge 1 respuesta:

5) ¿Es h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 10, x, start superscript, 5, end superscript, plus, 2, x, cubed, minus, x par, impar, o ninguna de las dos?
Escoge 1 respuesta:

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  • Avatar purple pi purple style para el usuario nicoguzmanp
    Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “La función es simétrica s...” de nicoguzmanp
    La función es simétrica si al doblarse por el eje de simetría se superponen, no? Si es así, ¿por qué x^2 es una función simétrica y (x-1)^2 no lo es?
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar para el usuario
    • Avatar piceratops seedling style para el usuario Dark Papaya 31
      Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “Realmente la paridad de f...” de Dark Papaya 31
      Realmente la paridad de funciones solo refleja (jaja que ironico) el echo de hablar de x= 0 o y=0 , osea los ejes, pero (x-1)^2 claro que es simetrica, respecto de x=1, que quiere decir esto, que un brazo de la parabola puede obterse al reflejar el otro brazo a traves de x=1.

      Fijate que (x-1) indica un desplazamiento a la derecha de una unidad, por lo que el eje de simetria se mueve de 0 a 1
      (1 voto)
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