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Álgebra (todo el contenido)
Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10
Lección 33: Ceros y gráficas de polinomiosIntervalos postivos y negativos de polinomios
Aprende acerca de la relación entre los ceros de un polinomio y los intervalos en los que es positivo o negativo.
Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección
Los ceros de un polinomio f corresponden a las intersecciones con el eje x de la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Por ejemplo, consideremos f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. Como los ceros de la función f son minus, 3 y 1, la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis tiene intersecciones con el eje x en left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis y left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis.
Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo Ceros de polinomios.
Lo que aprenderás en esta lección
Aunque las Intersecciones con el eje x son una característica importante de la gráfica de una función, necesitamos algo más para producir un buen bosquejo.
Saber el signo de un polinomio entre dos ceros puede ayudarnos a llenar los huecos.
En este artículo aprenderemos cómo determinar los intervalos en los que un polinomio es positivo o negativo, y cómo conectar eso con la gráfica.
Intervalos positivos y negativos
El signo de un polinomio entre cualesquiera dos ceros consecutivos es siempre positivo o siempre negativo .
Por ejemplo, considera la gráfica de la función f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.
De la gráfica vemos que f, left parenthesis, x, right parenthesis es siempre ...
- ...negativa cuando minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
- ...positiva cuando minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
- ...negativa cuando 1, is less than, x, is less than, 3.
- ...positiva cuando 3, is less than, x, is less than, infinity.
Sin embargo, no es necesario que una función polinomial cambie de signo entre ceros.
Por ejemplo, considera la gráfica de la función g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.
De la gráfica vemos que g, left parenthesis, x, right parenthesis es siempre ...
- ...negativa cuando minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.
- ...negativa cuando minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
- ...positiva cuando 0, is less than, x, is less than, infinity.
Observa que g, left parenthesis, x, right parenthesis no cambia signo cerca de x, equals, minus, 2.
Determinar intervalos positivos y negativos de polinomios
Encontremos los intervalos en los que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared es positiva y los intervalos en los que es negativa.
Los ceros de f son minus, 3 y 1. Esto crea tres intervalos en los cuales el signo de f es constante:
Encontremos el signo de f para minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Sabemos que f es siempre postiva o siempre negativa en este intervalo. Podemos determinar cuál es el caso al evaluar f para algún valor en este intervalo. Como minus, 4 está en este intervalo, obtengamos f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.
Como únicamente nos interesa el signo del polinomio ahí, no necesitamos evaluarlo completamente:
Aquí vemos que f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis es negativo, así que f, left parenthesis, x, right parenthesis es siempre negativa para minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Podemos repetir este proceso para los demás intervalos.
Los resultados se resumen en la siguiente tabla.
| Intervalo | Valor de algún f, left parenthesis, x, right parenthesis específico en el intervalo | Signo de f en el intervalo | Conexión con la gráfica de f |
|---|---|---|---|
| minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 | f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0 | negativo | Bajo el eje x |
| minus, 3, is less than, x, is less than, 1 | f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0 | positivo | Sobre el eje x |
| 1, is less than, x, is less than, infinity | f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0 | positivo | Sobre el eje x |
Esto es consistente con la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Comprueba tu comprensión
Problema de desafío
Determinar intervalos positivos y negativos a partir de un bosquejo de la gráfica
Otra manera de determinar los intervalos en los cuales un polinomio es positivo o negativo es hacer un bosquejo de su gráfica, de acuerdo al comportamiento del polinomio en los extremos y las multiplicidades de sus ceros.
Lee nuestro artículo Gráficas de polinomios para más detalles.
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No entiendo los intervalos ¿Alguna explicación más simple?(5 votos)- Los intervalos son la distancia que hay entre un 0 y otro 0, o un punto y otro punto. Claro que cuando ya no hay otro cero entonces se usa el infinito ya sea positivo o negativo para aclarar los intervalos.(1 voto)
- aun estoy intentando comprender(1 voto)