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Álgebra (todo el contenido)
Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10
Lección 33: Ceros y gráficas de polinomiosCeros y gráficas de polinomios
Aprende acerca de la relación entre ceros, raíces, e intersecciones de un polinomio con el eje x. Aprende sobre multiplicidades.
Lo que aprenderás en esta lección
Cuando estudias polinomios, con frecuencia escuchas términos como ceros, raíces e intersecciones con el eje x.
En este artículo exploraremos esas características de polinomios y la relación especial que existe entre ellas.
Conexiones fundamentales para funciones polinomiales
Para un polinomio f y un número real k, los siguientes enunciados son equivalentes:
- x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 es una raíz, o solución, de la ecuación f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
- start color #01a995, k, end color #01a995 es un cero de la función f
- left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis es una intersección de la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis con el eje x
- x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 es un factor lineal de f, left parenthesis, x, right parenthesis
Vamos a entender esto con el polinomio g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, el cual puede escribirse como g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
Para empezar, vemos que los factores lineales de g, left parenthesis, x, right parenthesis son left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis y left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis.
Si igualamos g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 y despejamos x, tenemos que x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 o x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995. Estas son las soluciones, o raíces, de la ecuación.
Un cero de la función es un valor de x que hace que el valor de la función sea 0. Como sabemos que x, equals, 3 y x, equals, minus, 2 son soluciones de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, entonces start color #01a995, 3, end color #01a995 y start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 son ceros de la función g.
Finalmente, las intersecciones de la gráfica de y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis con el eje x satisfacen la ecuación 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, que resolvimos antes. Las intersecciones con el eje x de la ecuación son left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis y left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis.
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Ceros y multiplicidad
Cuando un factor lineal aparece múltiples veces en la factorización de un polinomio, eso le da al correspondiente cero su multiplicidad.
Por ejemplo, en el polinomio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript, el número 4 es un cero de multiplicidad start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Observa que cuando desarrollamos f, left parenthesis, x, right parenthesis, el factor left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis se escribe start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff veces.
Así que de alguna manera, cuando resuelves f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, obtienes x, equals, 4 dos veces.
En general, si x, minus, k aparece m veces en la factorización de un polinomio, entonces k es un cero de multiplicidad m. Un cero de multiplicidad 2 se llama cero doble.
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La conexión gráfica
La multiplicidad de un cero es importante porque nos indica cómo se comporta la gráfica del polinomio cerca del cero.
Por ejemplo, observa que la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared se comporta de una manera diferente cerca del cero en 1 que del cero en 4, que es un doble cero.
Específicamente. la gráfica cruza el eje x en x, equals, 1, y solo toca el eje x en x, equals, 4.
Veamos la gráfica de una función que tiene los mismos ceros pero diferentes multiplicidades. Por ejemplo, consideremos g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis. Observa que en esta función 1 es ahora un doble cero, mientras que 4 es un cero sencillo.
Ahora vemos que la gráfica de g toca el eje x en x, equals, 1 y cruza el eje x en x, equals, 4.
En general, si una función f tiene un cero de multiplicidad impar, la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis cruza el eje x en ese valor de x. Si una función f tiene un cero de multiplicidad par, la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis toca el eje x en ese punto.
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- Hay algunas cosas que no entiendo ¿que pex con la multiplicididad'(5 votos)
- como se da que la gráfica cruza el eje(1 voto)