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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10

Lección 33: Ceros y gráficas de polinomios
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Expresiones, ecuaciones y funciones polinomiales
Ceros y gráficas de polinomios
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Ceros y gráficas de polinomios

Google Classroom
Aprende acerca de la relación entre ceros, raíces, e intersecciones de un polinomio con el eje x. Aprende sobre multiplicidades.

Lo que aprenderás en esta lección

Cuando estudias polinomios, con frecuencia escuchas términos como ceros, raíces e intersecciones con el eje x.
En este artículo exploraremos esas características de polinomios y la relación especial que existe entre ellas.

Conexiones fundamentales para funciones polinomiales

Para un polinomio f y un número real k, los siguientes enunciados son equivalentes:
  • x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 es una raíz, o solución, de la ecuación f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
  • start color #01a995, k, end color #01a995 es un cero de la función f
  • left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis es una intersección de la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis con el eje x
  • x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 es un factor lineal de f, left parenthesis, x, right parenthesis
Vamos a entender esto con el polinomio g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, el cual puede escribirse como g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
Para empezar, vemos que los factores lineales de g, left parenthesis, x, right parenthesis son left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis y left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis.
Si igualamos g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 y despejamos x, tenemos que x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 o x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995. Estas son las soluciones, o raíces, de la ecuación.
Un cero de la función es un valor de x que hace que el valor de la función sea 0. Como sabemos que x, equals, 3 y x, equals, minus, 2 son soluciones de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, entonces start color #01a995, 3, end color #01a995 y start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 son ceros de la función g.
Finalmente, las intersecciones de la gráfica de y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis con el eje x satisfacen la ecuación 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, que resolvimos antes. Las intersecciones con el eje x de la ecuación son left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis y left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis.

Comprueba tu comprensión

1) ¿Cuáles son los ceros de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 7, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

2) La gráfica de la función g cruza el eje x en left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis. ¿Cuál debe ser una raíz de la ecuación g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0?
x, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Los ceros de la función h son minus, 1 y 3. ¿Cuál de las siguientes puede ser h, left parenthesis, x, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

Ceros y multiplicidad

Cuando un factor lineal aparece múltiples veces en la factorización de un polinomio, eso le da al correspondiente cero su multiplicidad.
Por ejemplo, en el polinomio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript, el número 4 es un cero de multiplicidad start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Observa que cuando desarrollamos f, left parenthesis, x, right parenthesis, el factor left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis se escribe start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff veces.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color #aa87ff
Así que de alguna manera, cuando resuelves f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, obtienes x, equals, 4 dos veces.
0=(x−1)(x−4)(x−4)x−1=0x−4=0x−4=0x=1x=4x=4\begin{aligned}0&=(x-1)\purpleC{(x-4)(x-4)}\\ \\ &x-1=0\qquad x-4=0\qquad x-4=0\\\\ &x=1\qquad \qquad \purpleC{x=4}\qquad \qquad \purpleC{x=4} \end{aligned}
En general, si x, minus, k aparece m veces en la factorización de un polinomio, entonces k es un cero de multiplicidad m. Un cero de multiplicidad 2 se llama cero doble.

Comprueba tu comprensión

4) ¿Cuál cero de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, cubed tiene multiplicidad 3?
Escoge 1 respuesta:

5) ¿Cuál cero de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, squared es un doble cero?
Escoge 1 respuesta:

La conexión gráfica

La multiplicidad de un cero es importante porque nos indica cómo se comporta la gráfica del polinomio cerca del cero.
Un polinomio etiquetado p está representado gráficamente en un plano de coordenadas x y. La escala del eje x es de uno en uno. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha pasando por (uno, cero). Se curva hacia abajo y toca (cuatro, cero) antes de volver a curvarse hacia arriba.
Por ejemplo, observa que la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared se comporta de una manera diferente cerca del cero en 1 que del cero en 4, que es un doble cero.
Específicamente. la gráfica cruza el eje x en x, equals, 1, y solo toca el eje x en x, equals, 4.
Un polinomio etiquetado p está representado gráficamente en un plano de coordenadas x y. La escala del eje x es de uno en uno. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha tocando (uno, cero) antes de curvarse hacia abajo. Se curva hacia arriba y pasa por (cuatro, cero).
Veamos la gráfica de una función que tiene los mismos ceros pero diferentes multiplicidades. Por ejemplo, consideremos g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis. Observa que en esta función 1 es ahora un doble cero, mientras que 4 es un cero sencillo.
Ahora vemos que la gráfica de g toca el eje x en x, equals, 1 y cruza el eje x en x, equals, 4.
En general, si una función f tiene un cero de multiplicidad impar, la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis cruza el eje x en ese valor de x. Si una función f tiene un cero de multiplicidad par, la gráfica de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis toca el eje x en ese punto.

Comprueba tu comprensión

6) En la gráfica de esta función, ¿la multiplicidad del cero en 6 es par o impar?
Un polinomio etiquetado p está representado gráficamente en un plano de coordenadas x y. La escala del eje x es de uno en uno. La gráfica se curva hacia abajo de izquierda a derecha tocando (cuatro negativo, cero) antes de curvarse hacia arriba. Se curva hacia abajo y pasa por (seis, cero).
Escoge 1 respuesta:

7) ¿Cuál es la gráfica de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

Problema de desafío

8*) ¿Cuál es la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 4, x, squared, minus, 4, x?
Escoge 1 respuesta:

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