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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 10

Lección 19: La estrategia en la factorización de cuadráticas
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Expresiones, ecuaciones y funciones polinomiales
La estrategia en la factorización de cuadráticas
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Factorizar expresiones cuadráticas en cualquier forma

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Junta todo lo que has aprendido sobre factorización cuadrática para factorizar diversas expresiones cuadráticas en cualquier forma.

Lo que necesitas saber para esta lección

Los siguientes métodos de factorización se usarán en esta lección:

Lo que aprenderás en esta lección

En este artículo, practicarás juntar estos métodos para factorizar por completo expresiones cuadráticas de cualquier forma.

Introducción: repaso de métodos de factorización

MétodoEjemplo¿Cuándo es aplicable?
Factorizar factores comunes= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Si cada término en el polinomio comparte un factor común.
El patrón suma-producto= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Si el polinomio es de la forma x, squared, plus, b, x, plus, c y hay factores de c que suman b.
El método de agrupación= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Si el polinomio es de la forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c y hay factores de a, c que suman b.
Trinomios cuadrados perfectos= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Si el primero y último término son cuadrados perfectos y el término de en medio es dos veces el productos de sus raíces cuadradas.
Diferencia de cuadrados=  x2−9=(x−3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Si la expresión representa una diferencia de cuadrados.

Unir todas las piezas

En la práctica, rara vez se te dirán qué tipo(s) de método(s) de factorización usar cuando se presente un problema. Así que es importante que desarrolles algún tipo de lista de control para ayudar a hacer el proceso de factorización más fácil.
Aquí hay un ejemplo de una lista de control, en la que se hace una serie de preguntas para determinar cómo factorizar el polinomio cuadrático.

Factorizar expresiones cuadráticas

Antes de comenzar cualquier problema de factorización, es muy útil escribir tu expresión en forma estándar.
Una vez que esté en esa forma, puedes proceder con la siguiente lista de preguntas:
Pregunta 1: ¿hay un factor común?
Si no, pasa a la pregunta 2. Si sí, factoriza el MCD y continúa a la pregunta 2.
Factorizar el MCD es un paso muy importante en el proceso de factorización, pues hace los números más pequeños. ¡Esto, de uno en uno, hace más fácil reconocer patrones!
Pregunta 2: ¿hay diferencia de cuadrados (p.ej. x, squared, minus, 16 o 25, x, squared, minus, 9)?
Si hay un patrón de diferencia de cuadrados, factoriza usando el patrón a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis. Si no, pasa a la pregunta 3.
Pregunta 3: ¿hay un trinomio cuadrado perfecto (p.ej. x, squared, minus, 10, x, plus, 25 o 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9)?
Si hay un trinomio cuadrado perfecto, factoriza usando el patrón a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared. Si no, pasa a la pregunta 4.
Pregunta 4:
a.) ¿hay una expresión de la forma x, squared, plus, b, x, plus, c?
Si no, pasa a la pregunta 5. Si sí, pasa a la parte b).
b.) ¿hay factores de c que sumen b?
Si sí, entonces usa el patrón suma-producto. De otro modo, la expresión cuadrática no se puede factorizar más.
Pregunta 5: ¿hay factores de a, c que sumen b?
Si has llegado hasta aquí, la expresión cuadrática debe ser de la forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c donde a, does not equal, 1. Si hay factores de a, c que suman b, factoriza usando el método de agrupación. Si no hay, la expresión cuadrática no se puede factorizar más.
¡Seguir esta lista de control te ayudará a asegurar que has factorizado por completo la cuadrática!
Con esto en mente, intentemos algunos ejemplos.

Ejemplo 1: factorizar 5, x, squared, minus, 80

Observa que la expresión ya está en forma estándar. Podemos proceder a la lista de control.
Pregunta 1: ¿hay un factor común?
Sí. El MCD de 5, x, squared y 80 es 5. Podemos factorizar esto de la forma siguiente:
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
Pregunta 2: ¿hay una diferencia de cuadrados?
Sí. x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Podemos usar el patrón de diferencia de cuadrados para continuar factorizando el polinomio como se muestra a continuación.
5x2−80=5((x)2−(4)2)=5(x+4)(x−4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
No hay más elementos cuadráticos en la expresión. Hemos factorizado por completo el polinomio.
En conclusión, 5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

Ejemplo 2: factorizar 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

La expresión cuadrática está otra vez en forma estándar. ¡Vamos a empezar la lista de control!
Pregunta 1: ¿hay un factor común?
No. Los términos 4, x, squared, 12, x y 9 no comparten un factor común. Siguiente pregunta.
Pregunta 2: ¿hay una diferencia de cuadrados?
No. Hay un término x así que esto no puede ser una diferencia de cuadrados. Siguiente pregunta.
Pregunta 3: ¿hay un trinomio cuadrado perfecto?
Sí. El primer término es un cuadrado perfecto pues 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, y el último término es un cuadrado perfecto pues 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Además el término de en medio es dos veces el producto de los números que están elevados al cuadrado, pues 12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Podemos usar el patrón de trinomio cuadrado perfecto para factorizar la cuadrática.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
En conclusión, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Ejemplo 3: factorizar 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared

Esta expresión cuadrática no está en forma estándar. Podemos volver a escribirla como 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63 y luego seguir por toda la lista de control.
Pregunta 1: ¿hay un factor común?
Sí. El MCD de 3, x, squared, 12, x y 63 es 3. Podemos factorizar esto de la forma siguiente:
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
Pregunta 2: ¿hay una diferencia de cuadrados?
No. Siguiente pregunta.
Pregunta 3: ¿hay un trinomio cuadrado perfecto?
No. Observa que 21 no es un cuadrado perfecto, así que esto no puede ser un trinomio cuadrado perfecto. Siguiente pregunta.
Pregunta 4a: ¿hay una expresión de la forma x, squared, plus, b, x, plus, c?
Sí. La cuadrática resultante, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, es de esta forma.
Pregunta 4b: ¿hay factores de c que suman b?
Sí. Específicamente, hay factores de minus, 21 que suman 4.
Como 7, dot, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 y 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4, podemos continuar y factorizar de la siguiente forma:
3(x2+4x−21)=3(x2+4x−21)=3(x+7)(x−3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
En conclusión, 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

Ejemplo 4: factorizar 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10

Observa que esta expresión cuadrática ya está en forma estándar.
Pregunta 1: ¿hay un factor común?
Sí. El MCD de 4, x, squared, 18, x y 10 es 2. Podemos factorizar esto de la forma siguiente:
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
Pregunta 2: ¿hay una diferencia de cuadrados?
No. Siguiente pregunta.
Pregunta 3: ¿hay un trinomio cuadrado perfecto?
No. Siguiente pregunta.
Pregunta 4a: ¿hay una expresión de la forma x, squared, plus, b, x, plus, c?
No. El coeficiente principal en el factor cuadrático es 2. Siguiente pregunta.
Pregunta 5: ¿hay factores de a, c que sumen b?
La expresión cuadrática resultante es 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, y por lo tanto queremos encontrar factores de 2, dot, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10 que sumen 9.
Como left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, 10, equals, minus, 10 y left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 10, equals, 9, la respuesta es sí.
Ahora podemos escribir el término de en medio como minus, 1, x, plus, 10, x y usar agrupación para factorizar:
= 2(2x2+9x−5)=2(2x2−1x+10x−5)Separa el teˊrmino de en medio.=2((2x2−1x)+(10x−5))Agrupa teˊrminos.=2(x(2x−1)+5(2x−1))Factoriza los MCD.=2(2x−1)(x+5)Factoriza 2x−1.\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Separa el término de en medio.}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Agrupa términos.}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{Factoriza los MCD.}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{Factoriza $2x-1$.}}} \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza por completo 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16.
Escoge 1 respuesta:

2) Factoriza por completo 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300.

3) Factoriza por completo 72, x, squared, minus, 2.

4) Factoriza por completo 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15.
Escoge 1 respuesta:

5) Factoriza por completo 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8.

6) Factoriza por completo 56, minus, 18, x, plus, x, squared.

7) Factoriza por completo 3, x, squared, plus, 27.
Escoge 1 respuesta:

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