Estrategia en la factorización de cuadráticas (parte 2 de 2)

en el último vídeo vimos tres ejemplos distintos que en realidad es un poco de repaso de algunas técnicas sobre factorización y también vimos cuando aplicar cada una vimos en el primer ejemplo el proceso de cómo reconocer un factor común y cómo factorizar lo en el segundo ejemplo vimos que primero tendríamos un factor común tenemos como factor común al 4 pero después de eso usamos la técnica más común donde dijimos cuáles dos números suman el coeficiente del término de grado 1 y que a su vez su producto sea el término constante y justo así factor izamos esta expresión y en el tercer ejemplo de nuevo empezamos factorizar un valor común que en este caso fue el 3 y nos dimos cuenta que podríamos llegar a la respuesta usando la misma técnica que el segundo ejercicio o que podríamos reconocer esto como un polinomio de segundo grado que es un cuadrado perfecto y de ambas formas llegamos al resultado así que qué te parece si hacemos otros tipos de ejemplos otros ejemplos que requieran otros tipos de técnicas así que vamos a empezar con este digamos que tenemos la expresión 7x cuadrada menos 63 y como siempre pausa el vídeo y ver si puedes resolver la ok intencionalmente designe este tipo de ejemplos para que no tengamos un factor común que en este caso es el 7 todo es divisible por 7 así que sí factor izamos un 7 vamos a tener 7 que multiplican am x cuadrada y después tengo menos 9 y ahora seguramente de una manera inmediata vas a reconocer este como una diferencia de cuadrados esto es lo mismo que x elevado al cuadrado menos 3 elevado al cuadrado ahora si esta idea de diferencia de cuadrados te es completamente ajena te encargo que ver los vídeos sobre cómo factorizar una de cuadrados en la canaca de mi bien nosotros sabemos que una diferencia de cuadrados se puede factorizar como bueno aquí tengo el 7 y después me quedarían x 3 que multiplican a x menos 3 y es más déjeme poner esto de otro color 7 que multiplica a x + 3 y esto a su vez multiplica a x menos 3 es decir estos salen de x cuadrado menos 3 elevado al cuadrado ahora una cosa que vale la pena recalcar es que esto no es tan distinto a la técnica que estábamos viendo en el vídeo anterior si nos enfocamos en x cuadrada en 29 podemos ver esto exactamente igual que bueno fíjate x cuadrada por acá voy a poner al menos 9 y en medio de ellos 2 voy a poner bueno más 0 x y en este caso decir para que dos números su producto es menos 9 y su suma es cero bueno si tengo el producto de menos 9 recuerda eso quiere decir que deben de tener signos distintos uno debe de ser positivo y el otro es negativo ya que recuerda si tienen el mismo signo el producto sería positivo entonces tenemos dos números de signos distintos y bueno 9 sólo tiene tres factores uno tres y nueve puede ser 193 y tres pero si sumamos menos uno más nueve o menos 91 eso en definitiva no te da cero y ahora observa si sumamos menos 33 eso sí te da 0 por lo tanto los dos números que debemos de estar buscando deben de ser menos 3 y 3 y por lo tanto esto es x menos 3 por x 3 una vez más solo me estoy enfocando en lo que hay adentro del paréntesis justo aquí y si pones el 7 al frente obtienes justo la misma expresión a la que llegamos pero también si reconoces esto como una diferencia de cuadrados entonces puedes encontrar la solución un poco más rápido muy bien así que qué te parece si hacemos uno más ahora voy a hacer el siguiente 12 que es cuadrada + 7 x + 3 y ahora bien en general cuando tengo un coeficiente que no sea 1 en mi término de segundo grado entonces voy a buscar un factor común pero observa 7 no es divisible entre 2 ni tampoco lo es 3 entonces no podemos usar todas las técnicas que hemos visto antes por lo que si tenemos una situación como ésta la pista es que factor hicimos por agrupación y podemos decir que todo lo que hemos visto hasta ahorita de hecho es en cierta manera factorización por agrupación porque cuando factorizar por agrupación dices ok hay alguna forma de pensar en dos números que al sumarlos me den el coeficiente del término del primer grado es decir a más veces igual a 7 y que a por b en lugar de decir que sean igual a 3 en realidad pensamos que sean igual a 3 por el coeficiente en el término de segundo grado a por b tiene que ser igual es por dos y si lo piensas siempre hicimos esto pero en los otros casos teníamos que el coeficiente del término del segundo grado era 1 entonces al final 1 por el término constante era simplemente el término constante pero de forma más general lo único que vamos a hacer es tener a x de igual al término constante por el coeficiente del término de segundo grado y justo esto lo probé en el vídeo de introducción a la factorización por agrupación en ese vídeo explicamos por qué esto funciona así que tal vez en un principio pienses que esto es magia pero realmente tiene un sentido por una razón matemática por ahora vamos a darlo por hecho para poder aplicar esta técnica entonces pensemos en dos números que sumados de en siete y su producto sea 6 bueno observa deben de tener el mismo signo porque tenemos un producto positivo y deben de ser ambos positivos porque la suma también es positiva así que si pensamos en a ver 1 y 6 y 16 parece que funciona porque 1 667 y 1 por 666 así que para factorizar por agrupación vamos a separar este término este 7x entre a y b entonces ojo observa vamos a escribir esto como 2x cuadrada más 6x más x + 3 y como puedes ver el 7x lo acabamos de dividir entre 6 x y 1 x y en general el ejercicio consiste en cómo romper este coeficiente de hecho esta es la parte central del ejercicio y lo útil de todo esto es que ahora esencialmente podemos aplicar la propiedad inversa a la propiedad distributiva digamos a hacer la propiedad distributiva hacia atrás es decir vamos a factorizar lo más que se pueda de los dos primeros términos observa lo más que podemos factorizar de estos dos primeros términos es simplemente 2x ya que 2x cuadrada y 6x son ambos divisibles entre 2 x entonces si factor izamos este 2x de estos dos términos voy a obtener bueno 12 que es cuadrada entre 2x es lo mismo que x y 6x entre 2 x es lo mismo que 3 y bueno tengo esto más y bueno aquí tengo un caso excepcional donde m en x 3 no tengo ninguna factorización no tengo en ningún factor común entonces aquí solamente tengo x 3 y lo voy a escribir de hecho voy a poner un paréntesis aquí porque aunque sabemos que esto es equivalente escribirlos en el paréntesis con el uso del paréntesis vamos a ver algo más porque observa esta vez podemos factorizar de estos 21 x + 3 qué pasa si hago esto bueno tendría lo siguiente tengo x + 3 que multiplica y ahora en lo que tengo de verde me quedaría 12 x sin factor hizo x + 3 me quedo con 2x simplemente y luego si factor hizo x 3 de x 3 bueno simplemente me quedo con 1 x + 3 que multiplica a 2 x + 1 y hemos acabado entonces tenemos todas estas técnicas y tal vez la más difícil sea esta factorizar por agrupación pero digo difícil entre paréntesis porque todo lo que hicimos anteriormente fue en realidad una variación o un caso especial de la factorización por agrupación y como puedes ver solo consisten en dos números que sumados desde en el coeficiente de x es decir dos números que te den el coeficiente del término de primer grado y el producto vaya a ser igual al producto del término constante y del coeficiente del término del segundo grado y después si lo haces adecuadamente te encontrarás con algo fácil de factorizar de hecho en este ejemplo pasó algo interesante porque tuvimos que reconocer que x 3 tiene un coeficiente de 1 de manera implícita para así poder factorizar un x 3 de ambos términos y al hacerlo llegamos a este 2x + 1 y bueno si realmente te sientes cómodo con este arsenal de técnicas que acabamos de desarrollar entonces no habrá alguna cuadrática que no puedas factorizar ahora bien francamente sin nada de esto te funciona entonces vas a poder utilizar la fórmula cuadrática que próximamente vamos a aprender y esta fórmula nos va a ayudar a resolver ecuaciones cuadráticas