Encontrar características de funciones cuadráticas

esta vez tengo tres funciones aquí las cuales todas se llaman f pero vamos a suponer que son funciones distintas y para cada una de estas tres funciones que tengo aquí lo que quiero hacer es encontrar primero los ceros déjame ponerlo aquí queremos encontrar los ceros y recuerda que un cero o dicho de otra manera una raíz es aquel valor que hace la función igual a cero entonces por ejemplo para esta función que tengo aquí los ceros serán los valores de t que hagan efe igual a cero para la siguiente función van a ser los valores de x en esta ocasión que hagan la función f x igual a 0 y bueno de estas tres quiero encontrar sus ceros también lo segundo que quiero encontrar es las coordenadas del vértice así que déjame ponerlo aquí también queremos encontrar el vértice vértice de cada una de estas tres funciones y bueno por último lo que también voy a querer encontrar es el eje de simetría el eje de simetría para cada una de estas tres funciones y de hecho va a ser una línea que va a ser única para cada una de estas tres funciones entonces es buen momento para que pause el vídeo y vea si puedes averiguar los ceros el vértice y el eje de simetría para cada una de estas así que intenta lo bueno suponiendo que ya lo hiciste ahora vamos a hacerlo juntos pero eso sí si en cualquier momento te inspiras de nuevo pausa el vídeo y sigue trabajando porque recuerda la mejor manera de aprender todo esto es haciéndolo por ti mismo muy bien vamos a trabajarlo juntos y lo primero que vamos a hacer es encontrar los ceros para esta primera función así que veamos para qué efe dt sea igual a cero en esta función de amarillo lo que tiene que pasar es que te menos 5 al cuadrado menos 9 sea igual a cero déjame escribirlo -5 esto elevado al cuadrado menos 9 esto tiene que ser igual a cero ahora bien si sumo nueve de ambos lados de esta ecuación que voy a obtener voy a obtener que te menos 5 esto elevado al cuadrado tiene que ser igual a 9 porque estoy sumando 9 de ambos lados y ahora sí tengo t menos 5 al cuadrado igual a 9 esto es exactamente lo mismo que pensar que te menos 5 que te menos 5 sea igual a la raíz cuadrada positiva de 9 que es 3 o en su dado caso que te menos 5 que te menos 5 sea igual a la raíz cuadrada negativa de 9 que es menos 3 y ahora para obtener atem lo que puedo hacer es sumar 5 de ambos lados y voy a obtener de este lado que te es igual a 8 o bueno en su dado caso si tengo esta ecuación de aquí y sumó 5 de ambos lados llegar a que te va a ser igual a menos 35 lo cual es 2 así que te iguala 8 o te iguala dos son los valores de terna que hacen que ft sea igual a cero es decir f de 8 va a ser igual a 0 y f2 también va a ser igual a 0 ahora bien ya que tenemos los ceros pues vamos a pensar en el vértice para esta función es más déjeme notar lo voy a buscar el vértice el vértice y bueno para eso vamos a pensar en la mitad del camino que hay entre los dos ceros de esta función efe dt voy a buscar la coordenada t en este caso que va a estar a la mitad del camino donde la parábola intersecta al eje bueno al eje en este caso dicho de otra manera es la mitad del camino entre 8 y 2 así que el vértice lo vamos a encontrar entre el promedio entre 8 y 2 es decir 8 2 esto dividido entre 2 o lo que es lo mismo eso es igual a 5 estás de acuerdo aquí me quedaría 5 es el valor de tm de mi vértice y ya que tengo el valor de t cuánto vale ft bueno pues efe de 5 serían 5 menos 5 esto es 0 al cuadrado es 0 menos 9 entonces me quedaría el valor de menos 9 el vértice está en el punto 5 menos 9 y tiene mucho sentido porque está que tenemos aquí es una ecuación ordinaria de la parábola donde fácilmente podemos ver dónde está su vértice es como la ecuación escrita en una forma muy buena para encontrar el vértice el vértice es fácil de reconocer porque el vértice es el valor mínimo que podemos tomar y por eso esta parte de aquí la tenemos que hacer igual a cero porque observa como entendemos algo elevado al cuadrado pequeño que se puede hacer esto elevado al cuadrado es cero porque no podemos tomar valores negativos de algo que se está elevando al cuadrado por lo tanto cuando esto se hace cero el valor mínimo que podemos tomar en nuestra función es el valor de menos 9 es decir no sumarle nada a menos 9 y para que esto se haga 0 entonces éste tiene que tomar el valor de 5 muy bien y ya con toda esta información que te parece si hacemos un pequeño bosquejo para ver qué es lo que está sucediendo por aquí así que manos a la obra déjame ponerlo así voy a tener por aquí mi gente por aquí tengo mi eje t y bueno por aquí por aquí me voy a tomar a mi eje de déjame escribirlo este de aquí va a ser mi eje t es importante mencionarlo porque lo estoy olvidando ni ejtm y por aquí tengo mi eje bien muy bien y primero fijémonos en el vértice el vértice tiene como coordenadas 5 menos 9 así y por aquí tengo el valor de 5 en temps y por aquí tengo el valor de menos 9 en que entonces nivel se estaría justo por aquí recuerda estamos viendo la gráfica james igual a efe dt y si ya tenemos el vértice bueno también me puedo fijar en los ceros de esta función míseros eran el valor de t igual a 8 que va a estar como por aquí aquí tengo el valor de t igual a 8 y t igualados aquí tengo el valor de t igual a 2 y observa la distancia que hay de 2 a 5 es la misma distancia que hay de 5 a 8 y ahora sí podemos graficar esta función efe de esta función efe dt con estos tres puntos se va a ver más o menos algo así se va a ver más o menos o así y algo más o menos y bueno esta será la gráfica de la ftm ahora lo último que queremos encontrar es el eje de simetría pero recuerda el eje de simetría es simplemente la línea vertical que pasan a través del vértice mi eje de simetría va a ser esta línea vertical que estoy poniendo justo en este momento y si te das cuenta esta es la línea de igual a 5 de igual a 5 y observamos realmente quién define el eje de simetría es la coordenada t del vértice en este caso toma el valor de 5 bien ahora trabajemos los otros dos ejercicios que tenemos aquí así que trabajemos a este y lo primero que quiero obtener son los ceros y para obtener los ceros voy a decir que x + 2 x x + 4 eso va a ser igual a cero déjame ponerlo así x + 2 x 2 que multiplican a x + 4 esto tiene que ser igual a cero ahora bien para que esto sea igual a cero eso quiere decir que x + 2 tiene que ser igual a 0 o x + 4 tiene que ser igual a cero déjame escribirlo o x + 2 es igual a cero o en su dado caso x + 4 esto es igual a 0 en el primer caso me queda que x es igual a menos 2 este va a ser un cero de mi función fx y en el segundo caso me queda que x es igual a menos 4 y así tengo el segundo de los ceros muy bien ahora pensemos en el vértice para obtener el vértice lo que nos íbamos a fijar es en la mitad del camino entre los dos valores que tenemos que nos dan los ceros de la función así que vamos a sacar el promedio de menos 2 más menos 4 esto a su vez dividido entre 2 pero bueno menos dos menos cuatro es lo mismo que menos 6 entre 2 es menos 3 así que en lugar de todo esto voy a poner simplemente menos 3 muy bien menos 3 es el valor que toman x en el vértice es nuestra coordenada x del vértice y cuál va a ser nuestra coordenada james bueno pues vamos a sustituir menos tres más dos es menos uno me quedaría menos uno que multiplica a menos 34 eso es 1 que multiplica a 1 entonces menos uno por uno eso simplemente es menos 1 así que ya está aquí tenemos el vértice y si pienso en mi eje de simetría bueno como ya vimos eso es muy fácil mi eje de simetría base es la línea vertical que pasa por el vértice en este caso va a ser la línea vertical x igual -3 ahora ya que tenemos toda esta información vamos a hacer un pequeño esbozo por acá abajo para ver qué es lo que está pasando así que por aquí me voy a tomar a mi eje x voy a suponer que este es mi eje x y bueno por aquí me voy a tomar mi eje y que lo voy a poner más o menos por aquí porque casi todo lo que tenemos es negativo muy bien este va a ser mi eje y este de aquí va a ser mi eje y ahora si nos fijamos en los ceros de esta función estamos en menos dos y en menos cuatro en x así que para cada me voy a tomar menos 1 - 2 - 3 y por acá menos 4 ok y en y bueno me estoy fijando en el valor de menos 1 así que por aquí tengo menos 1 en 10 y ahora los ceros de esta función están en menos 2 y menos 4 - 2 -4 por otra parte el vértice está en el menos 3 - 1 - 3 - 1 es decir estoy justo por aquí déjame ponerle este es menos 2 este es menos 4 y entonces mi parábola se va a ver más o menos así esta va a ser la gráfica de mi función james es igual a efe déjame notarlo esta es la gráfica de mi función james es igual a efe ya que tenemos este bosquejo vamos a hacer el último de nuestros ejercicios de este vídeo y bueno lo primero que vamos a querer es obtener los ceros de esta función así que fx tiene que ser igual a cero lo que quiere decir que x cuadrada más 6x más 8x cuadrada más 6x más 8 esto tiene que ser igual a 0 y ahora tenemos esta expresión igualada 0 bueno pues se me ocurre que debe de ser fácilmente factor isable y si no lo es para ti recuerda que puedes revisar los vídeos acerca de factorización de polinomios y bueno lo primero que se me ocurre es en dos números que multiplicados me den 8 y sumados me den 6 bueno de hecho son 4 y 2 esto es lo mismo que x + 4 que multiplican a x + 2 esto igual a 04 por 2 s 8 y 42 6 y ahora observa estamos hablando del mismo polinomio que tenemos a la izquierda aquí tengo un x + 2 aquí tengo un x + 2 un x + 4 un x + 4 eso quiere decir que estamos hablando de la misma función estas dos son la misma función simplemente están escritas de una manera distinta por lo tanto si son la misma función vamos a llegar a la misma gráfica que tengo aquí eso quiere decir que todas las soluciones serán exactamente las mismas estas dos funciones son iguales y por lo tanto tienen el mismo vértice en el mismo eje de simetría los mismos ceros la misma gráfica y entonces todo será exactamente igual excepto que están escritas de maneras distintas