Desigualdades cuadráticas: enfoque gráfico

hola cómo estás bienvenido a mi presentación sobre desigualdades cuadráticas y bueno en una primera instancia quiero verlo de una manera visual para que entiendas bien a qué me refiero con una desigualdad cuadrática así que empecemos pero antes de ver desigualdades vamos a trabajar con una función cuadrática y de aquí vamos a partir así que imagínate que yo me tomo la función efe x f x igual a x cuadrada más x menos 6 bueno tú me puedes decir que esto representa una parábola que abre hacia arriba pero cuáles son sus raíces ahora recuerda que si nosotros queremos sacar las raíces de esta función cuadrática que tengo aquí lo que hay que hacer es igualar esta función a 0 las raíces de una función es igualdad esa función a cero o dicho de otra manera recuerda que una raíz es donde cortamos al eje de las x donde cortamos el eje de las x que estamos diciendo que la función vale 0 entonces vamos a sacar las raíces pongámoslo así x cuadrado más x menos 6 menos 6 esto quiero que sea igual a 0 y esta expresión aquí la podemos actualizar necesito dos números cuya multiplicación cuyo producto sea menos 6 y cuya suma o en dado caso en este caso más bien cuya resta sea 1 y bueno tú me puedes decir que esos dos números es a 3 y 2 y 2 negativo 3 y menos 2 por lo tanto puede escribir esto como x + 3 x 3 que a su vez multiplica a x menos 2 y esto es exactamente igual a 0 y esto es exactamente igual a 0 lo que quiere decir que este 0 o en su dado caso el otro 0 o este 0 si el primero 0 me quedaría que x + 3 es igual a cero o dicho otra manera x es igual a menos 3 y esta es la primera rueda y ahora si esto es 0 me quedaría que x menos 2 es igual a cero o dicho otra manera x es igual a 2 y estas dos son las raíces las raíces y 6 de este polinomio y de esta función que tengo aquí ahora qué te parece si lo visualizamos de una manera gráfica vamos a hacer la gráfica de esta función que tengo aquí así que para eso voy a poner aquí a medidas x ok este es mi eje x y por aquí también perfecto este va a ser mi hija le íbamos a poner que este es mi eje x este eje perdón y este es mi eje x y aquí tengo a al 212 por aquí tengo el 2 y por aquí tengo al menos 3 1 2 3 -3 ok y si te das cuenta esta es una parábola que abre hacia arriba y cruza justo aquí y justo aquí así que vamos a dibujarla me voy a tomar a una parábola que pasó por aquí que pase por aquí y que abra hacia arriba así que a van por aquí y va por aquí mi parábola va por aquí llega hasta este punto después si nosotros hacemos x igual a cero aquí tenemos el valor de menos 6 menos 6 vamos a llegar hasta este punto aquí pero vamos a llegar hasta este punto me voy por aquí me voy por aquí digamos este punto y de aquí empezamos a subir empezamos a subir pasamos por la otra raíz ok y después subimos y subimos y subimos perfecto ya tengo mi palabra que hable hacia arriba ahora quiero que te des cuenta que este es el punto menos 30 menos 30 aunque vamos a ocupar y este es el punto 20 ahora pensemos un poco en desigualdades y estuvo bien de pensar en funciones qué te parece si ahora te pongo la siguiente desigualdad yo quiero saber donde la función fx es mayor que es 0 y bueno fx es más grande que 0 esto es exactamente lo mismo que pensar que x cuadrada más x menos 6 menos 6 esto sea mayor que 0 que crees tenemos una desigualdad de segundo grado que es curso lo que queremos ver en este vídeo tengo la desigualdad es cuadrada más x menos 6 esto es mayor que 0 y yo quiero saber dónde es esto siento ahora esto es lo mismo que pensar que fx sea mayor que 0 y si te das cuenta aquí aquí tengo a fx más grande que 0 justo por aquí ok todos estos valores son los valores donde y 10 más grande que 0 y por acá también todos estos valores son los valores donde ya es más grande que 0 y son los únicos porque a partir de aquí esto se hace negativo y da un valor positivo por lo tanto mis valores solución de esta desigualdad son estos de aquí pero como luego tienen términos de x me voy a fijar en las x a partir de aquí qué hagan que esta desigualdad se cumpla y esto es las primas x que tengo aquí son todas estas x de aquí ok y también todas estas x de aquí hacen que esta desigualdad se cumpla es decir todas las x que son más grandes que dos o más pequeñas que menos tres las x que solucionan a esta desigualdad de aquí son las x que son más pequeñas que menos 3 o en su dado caso las x que son más grandes que 2 que son justo estas de aquí este de aquí y esta de aquí cuando y es positivo es cuando x vale algo más pequeño que menos 3 o más grande que 2 y no puede valer menos tres nidos porque en esos puntos nuestra función se hace cero entonces si queremos la solución de esta desigualdad que tengo aquí que por cierto es una desigualdad cuadrática visto de una manera visual es las equis que son más pequeñas que menos 3 las x que son más grandes que dos y de hecho tú puedes ser el intento con cualquier x que a ti se te ocurra que esté aquí por ejemplo puedes probar con -4 meterle aquí y ver que realmente funciona esta desigualdad o en soldado caso por tomar una equis más grande que dos supongamos x 3 meterla en esta función en esta desigualdad de que tengo aquí y ver que realmente se cumple pero bueno este es un caso que me gusta mucho porque estamos viendo una manera visual ahora qué te parece si seguimos trabajando con desigualdades de segundo grado voy a pensar en la siguiente desigualdad y me voy a tomar menos x cuadrada menos 3 x más 28 más 28 y esto quiero que sea más grande o igual que 0 ahora lo primero que quiero que veas aquí y lo primero que quiero que te des cuenta es que tenemos una desigualdad cuadrática por lo tanto vamos bien estamos en el vídeo de desigualdades cuadráticas ahora lo segundo que quiero que veas que tenemos una desigualdad donde el término que está al lado de la x cuadrada es negativo yo te recomiendo y más bien es mi punto de vista que siempre lo conviertas en positivo para que sea más fácil factory o resolver esta desigualdad cuadrática por el método que tú quieras así que para volverlo positivo voy a multiplicar toda esta desigualdad por menos 1 ahora quiero que recuerde algo muy importante cuando yo multiplico o divido por un número negativo la desigualdad se voltea es decir que ahorita que vamos a multiplicar todo por menos 1 esta desigualdad va a cambiar de signo y en lugar de ser mayor que va a ser menor que así que vamos a hacerlo me va a quedar a menos x menos me va a dar más más ex cuadrada menos x menos nada más no va a quedar más 3 x menos por más me dan menos menos 28 estamos cambiando todo el signo y aquí tengo esta desigualdad que va a voltear se va a pasar ahora menor que y esto es menor que es 0 ok ya que tenemos esta desigualdad con el término de x cuadrada positivo que te parece si factor izamos el lado izquierdo vamos a aprovechar el lado izquierdo intentando buscar las raíces de la misma manera que lo hicimos hace rato en el problema de hace rato y quiero dos números cuyo producto sea 28 ok menos 28 y cuya suma o resta sea 32 números y un 7 por 4 28 ok aquí están 7 positivo y 4 negativo me dan estos dos valores que tengo aquí es decir que esto de aquí en la parte izquierda de esta desigualdad la podemos ver de la siguiente manera esto es exactamente lo mismo que fue paréntesis esto es exactamente lo mismo también no me gustó que x + 7 ok que a su vez multiplica a x menos 4 y esto de aquí representa esta parte que tenemos aquí pero no olvidemos la desigualdad esto quiero que sea más pequeño que 0 más pequeño que es 0 de lujo ahora ya que tenemos en esta parte izquierda factor izada me da la noción de que ya podemos definir la función para encontrar sus raíces justo como lo vimos hace ratito es decir que si yo te bautizo a fx voy a decir que fx es igual y bueno me puedo tomar esta expresión de aquí o esté aquí pero creo que prefiero tomarme la iata actualizada fx es igual a x + 7 que multiplica a su vez a x menos 4 ok entonces de una manera muy sencilla podemos concluir que sus raíces raíces sería igualar esto a 0 y cuando nosotros igualamos esto 0 tenemos qué x es igual a menos 7 en su dado caso x es igual estas son las raíces de esta función fx pero nosotros realmente queremos resolver esta desigualdad ahora te voy a dar un gran consejo la solución siempre va a estar entre estos dos valores o en su dado caso va a estar afuera de estos dos valores es decir las x que son más pequeñas que menos 7 y más grandes que 4 o en su dado caso las x que están entre estos dos valores y siempre la solución es esa un gran consejo o una forma fácil de ver este tipo de problemas es simple visualizar que la solución está entre estos dos valores o está afuera de estos dos menores y para eso qué te parece si probamos que 'no un valor que esté entre estos dos así que a mí se me ocurre tomar este color y vamos a decir que vamos a probar probar con x igual a 0 si x vale 0 cuánto vale fx bueno pues efe de 0 efe de 0 es decir cuando x vale 0 es lo mismo que 07 que multiplica a cero menos 4 y esto es lo mismo que 7 que multiplica a menos 4 ok lo voy a poner en paréntesis y esto es exactamente lo mismo que menos 28 y menos 28 es un número menor que cero por lo tanto ya encontramos la solución de este problema la solución de esta desigualdad que tengo aquí son las x que están entre menos 7 y 4 y vamos a ponerlo así menos 7 es menor que x que es menor que 4 ok esto es un conjunto solución de esta desigualdad que tengo aquí arriba y cómo se son bueno porque probamos un número que estaba entre estos dos valores y obtuvimos un valor válido para esta desigualdad ahora tú puedes probar tal vez otro valor que no sea cero que esté fuera de estos dos valores es decir supongamos que tomamos uno más alejado estos dos no se me ocurre tomar 5 vamos a probar probar para x igual a 5 bueno pues efe de 5 en este caso esto no es un 5 en este caso es igual a 5 7 12 12 por cinco menos cuatro es 11 lo cual es 12 y 12 no está en esta desigualdad así que en definitiva podemos concluir que este es el conjunto solución de esta desigualdad ya probamos sobre el medio y si está uno fuera y no está y por lo tanto ya podemos decir que esta desigualdad tiene como conjunto solución este equipo ahora lo padre de todo esto es que si tú quieres incluir las raíces entonces tendremos una desigualdad mayor o igual mayor o igual mayor o igual menor o igual menor o igual y en este caso si incluimos las raíces cuando nosotros incluimos las raíces es cuando nosotros tenemos una desigualdad inicial con mayor o igual o el sudado caso menor igual y bueno si nosotros queremos ver esto de una manera visual vamos a acabar el vídeo viendo esto de una manera visual a una visita de kim y vamos a hacer es decir que este es mi eje y este es mi eje x ok vamos a poner este es mi eje x este es mi eje jeff ok y bueno mis raíces son menos 74 así que supongamos que aquí está el 4 ok y por aquí va a estar el -7 ok ahora fíjate que esta de aquí esta de aquí es estar aquí es una palabra que abre hacia arriba así que vamos a dibujar una parábola también que abre hacia arriba y se manda este color vamos a dibujar una parábola que abre hacia arriba más o menos así va a llegar a este punto ok y después va a subir más o menos así y yo estoy preguntando es cuando de x es menor o igual que 0 estoy fijándome en esta expresión que tengo aquí quiero que fx sea menor o igual que 0 y bueno si te das cuenta es igual a 0 en estos dos puntos y fx es menor que cero y vamos a ponerlo con este color en estos dos puntos es igual a cero y es menor que cero justo en medio de estos dos valores en medio de estos dos valores es cuando se hace esta función menor o igual que cero que es lo que quería mi desigualdad y bueno el caso contrario si nosotros quisiéramos ver donde es mayor o igual que cero es justo como te decía sería en los extremos afuera de este intervalo es decir me tomaría estos valores de aquí y estos valores de aquí pero bueno no es este caso espero no haber confundido y entonces podemos concluir que la solución de esta desigualdad que tengo aquí es menos 7 menor o igual que x menor o igual que 4 y lo encontramos obteniendo las raíces y probando con un número que esté entre ellos dos es un gran consejo que te puedo dar para encontrar de una manera muy sencilla y muy rápida la solución de este tipo de desigualdades