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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 9

Lección 5: Resolver cuadráticas por factorización
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Funciones y ecuaciones cuadráticas
Resolver cuadráticas por factorización
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Resolver cuadráticas por factorización

Google Classroom
Aprende a resolver ecuaciones cuadráticas como (x-1)(x+3)=0, y a utilizar la factorización para resolver otras formas de ecuaciones.

Con lo que debes estar familiarizado antes de hacer esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

Hasta ahora has resuelto ecuaciones lineales, que incluyen términos constantes (números) y términos con la variable elevada a la primera potencia left parenthesis, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x, right parenthesis.
Puede ser que también hayas resuelto algunas ecuaciones cuadráticas, que incluyen variables elevadas a la segunda potencia, al aplicar raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
En esta lección aprenderás una nueva forma de resolver ecuaciones cuadráticas. Específicamente, aprenderás
  • cómo resolver ecuaciones factorizadas como left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0, y
  • cómo utilizar métodos de factorización para convertir otras ecuaciones left parenthesiscomo x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, right parenthesis a la forma factorizada y resolverlas.

Resolver ecuaciones cuadráticas factorizadas

Supón que se nos pide resolver la ecuación cuadrática left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Este es un producto de dos expresiones, y es igual a cero. Observa que cualquier valor de x que haga que left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis o left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis sea cero, hará que el producto sea cero.
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
El sustituir x, equals, 1 o bien x, equals, minus, 3 en la ecuación tiene por resultado la ecuación verdadera 0, equals, 0, así que ambos valores son soluciones de la ecuación.
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Resuelve left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0.
Escoge 1 respuesta:

Resuelve left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Escoge 1 respuesta:

Pregunta para reflexionar

¿Podemos usar el mismo método de resolución con la ecuación left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6?
Escoge 1 respuesta:

Una observación sobre la propiedad del producto-cero

¿Cómo sabemos que no existen otras soluciones que no sean las dos que nos encontramos con nuestro método?
La respuesta la obtenemos a partir de una propiedad simple pero muy útil que se llama la propiedad del producto-cero:
Si el producto de dos cantidades es igual a cero, entonces al menos una de las cantidades debe ser igual a cero.
Al sustituir cualquier valor de x, a excepción de nuestras soluciones, obtenemos un producto de dos números diferentes de cero, lo que significa que el producto es definitivamente diferente de cero. Por lo tanto, sabemos que nuestras soluciones son las únicas posibles.

Resolver por factorización

Supón que queremos resolver la ecuación x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, entonces todo lo que tenemos que hacer es factorizar x, squared, minus, 3, x, minus, 10 y ¡resolver como lo hicimos antes!
x, squared, minus, 3, x, minus, 10 se puede factorizar como left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis.
La solución completa de la ecuación es como sigue:
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0Factoriza.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
Ahora es tu turno para resolver algunas ecuaciones. Ten en cuenta que ecuaciones diferentes pueden requerir otros métodos de factorización.

Resuelve x, squared, plus, 5, x, equals, 0.

Paso 1. Factoriza x, squared, plus, 5, x como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Paso 2. Resuelve la ecuación.
Escoge 1 respuesta:

Resuelve x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0.

Paso 1. Factoriza x, squared, minus, 11, x, plus, 28 como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Paso 2. Resuelve la ecuación.
Escoge 1 respuesta:

Resuelve 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0.

Paso 1. Factoriza 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1 como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Paso 2. Resuelve la ecuación.
Escoge 1 respuesta:

Resuelve 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0.

Paso 1. Factoriza 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4 como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Paso 2. Resuelve la ecuación.
Escoge 1 respuesta:

Arreglar la ecuación antes de factorizar

Uno de los lados debe ser cero

Así es como se encuentra la solución de la ecuación x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x:
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=0Resta 40 y suma x.x2+3x−40=0Combina teˊrminos semejantes.(x+8)(x−5)=0Factoriza.\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Resta 40 y suma }x\text{.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Combina términos semejantes.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
Antes de factorizar manipulamos la ecuación de manera que todos los términos estén del mismo lado y el otro lado sea cero. Solo entonces podemos factorizar y utilizar nuestro método de solución.

Eliminar factores comunes

Así es como se encuentra la solución de la ecuación 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0:
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0Divide entre 2.(x−3)2=0Factoriza.↓x−3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Divide entre 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Factoriza.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Todos los términos tenían originalmente un factor común 2, así que dividimos ambos lados entre 2 (el lado cero no se altera), lo que hizo más sencilla la factorización.
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Encuentra las soluciones de la ecuación.
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Elige todas las respuestas adecuadas:

Encuentra las soluciones de la ecuación.
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Elige todas las respuestas adecuadas:

Encuentra las soluciones de la ecuación.
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Elige todas las respuestas adecuadas:

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