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Álgebra (todo el contenido)

Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 9

Lección 7: La fórmula cuadrática
Matemáticas
Álgebra (todo el contenido)
Funciones y ecuaciones cuadráticas
La fórmula cuadrática
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Repaso de la demostración de la fórmula cuadrática

Google Classroom
Una demostración en texto (no video) de la fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática es
x, equals, start fraction, minus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, end color #e07d10, squared, minus, 4, start color #7854ab, a, end color #7854ab, start color #e84d39, c, end color #e84d39, end square root, divided by, 2, start color #7854ab, a, end color #7854ab, end fraction
para cualquier ecuación cuadrática como:
start color #7854ab, a, end color #7854ab, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #e84d39, c, end color #e84d39, equals, 0
Si nunca antes has visto la demostración de esta fórmula, quizás quieras ver una demostración en un video, pero si solo estás repasando o prefieres una prueba en texto, aquí está:

La demostración

Vamos a empezar con la forma general de la ecuación y a hacer un montón de álgebra para despejar x. En el corazón de la prueba está una técnica que se llama start color #11accd, start text, c, o, m, p, l, e, t, a, r, space, e, l, space, c, u, a, d, r, a, d, o, end text, end color #11accd. Si no estás familiarizado con esta técnica, puedes revisarla en un video.

Parte 1: Completar el cuadrado

ax2+bx+c=0(1)ax2+bx=−c(2)x2+bax=−ca(3)x2+bax+b24a2=b24a2−ca(4)(x+b2a)2=b24a2−ca(5)\begin{aligned} \purpleD{a}x^2 + \goldD{b}x + \redD{c} &= 0&(1)\\\\ ax^2+bx&=-c&(2)\\\\ x^2+\dfrac{b}{a}x&=-\dfrac{c}{a}&(3)\\\\ \blueD{x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}}&\blueD{=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}}&(4)\\\\ \blueD{\left (x+\dfrac{b}{2a}\right )^2}&\blueD{=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}}&(5) \end{aligned}

Parte 2: Álgebra! ¡Álgebra! ¡Álgebra!

Recuerda, nuestra meta es encontrar el valor de x.
(x+b2a)2=b24a2−ca(5)(x+b2a)2=b24a2−4ac4a2(6)(x+b2a)2=b2−4ac4a2(7)x+b2a=±b2−4ac4a2(8)x+b2a=±b2−4ac2a(9)x=−b2a±b2−4ac2a(10)x=−b±b2−4ac2a(11)\begin{aligned} \left (x+\dfrac{b}{2a}\right )^2&=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}&(5) \\\\ \left (x+\dfrac{b}{2a}\right )^2&=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{4ac}{4a^2} &(6)\\\\ \left (x+\dfrac{b}{2a}\right )^2&=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}&(7)\\\\ x+\dfrac{b}{2a}&=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}&(8)\\\\ x+\dfrac{b}{2a}&=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&(9)\\\\ x&=-\dfrac{b}{2a}\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&(10)\\\\ x&=\dfrac{-\goldD{b}\pm\sqrt{\goldD{b}^2-4\purpleD{a}\redD{c}}}{2\purpleD{a}}&(11) \end{aligned}
¡Y terminamos!

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