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Introducción a ecuaciones con raíz cuadrada y soluciones extrañas

Transcripción del video

en este vídeo vamos a agarrar experiencia resolviendo ecuaciones radicales ecuaciones que incluyen raíces cuadradas o inclusive raíces de orden superior pero también vamos a intentar entender un fenómeno interesante que ocurre al resolver este tipo de ecuaciones deja de mostrar de qué estoy hablando supongamos que tenemos la ecuación raíz cuadrada dx es igual a 2 x -6 algo con lo que te encuentras cuando resuelve este tipo de actuaciones es que para iniciar se trata de despejar alguno de los radicales aquí sólo tenemos un radical raíz cuadrada de quisqueya está despejado así es que una vez que despeja uno de los radicales entonces puedes elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación elevemos al cuadrado entonces ambos lados de la ecuación reescribamos la ecuación la voy a hacer paso a paso antes tenemos raíz cuadrada de x elevado al cuadrado es igual a 2 x -6 elevado al cuadrado quiebra al cuadrado es una operación válida si esto es igual a esto entonces elevado al cuadrado esto es igual a elevar al cuadrado esto otro vamos a hacer eso entonces si tomamos la raíz cuadrada de x y luego le vamos al cuadrado obtenemos x y esto va a ser igual vamos a elevar cuando éste terminó esto hacer dos equis al cuadrado que es 4x cuadrada 4x cuadrada estamos el adecuado tanto el 2 como el x y eso le vamos a restar el producto el doble producto de estos términos eso va a ser entonces 2x por -6 es menos 12 x x 12 - 24 x y finalmente el cuadro de menos es que es más 3650 es difícil de entender cómo pasamos de esto a esto te sugiero que revises multiplicación de polinomios en particular multiplicación de binomios dónde vas a recordar que para el evaluado en binomios el cuadrado de este primer término menos dos veces el producto el primero por el segundo en este caso es menos dos por 12 x que es igual a 24x y más el cuadro el segundo más 36 así que ahora nuestra ecuación se ha simplificado por así decirlo a ésta que tenemos aquí veamos qué sucede al restar x ambos lados de la ecuación estamos x aki y restamos ex acá tenemos x-men os x es igual pero y esto va a ser igual a 4 x cuadrada menos 25 x +36 así es que la ecuación radical se ha simplificado una ecuación estándar de segundo grado y para no complicarnos buscando una actualización o completando cuadrados usemos la fórmula cuadrática la fórmula cuadrática que nos da los valores de x que son solución a esta ecuación es igual a menos ve en este caso es menos -25 que sería 25 positivo más - la raíz cuadrada debe al cuadrado que es menos 25 al cuadrado 625 menos cuatro por a 34 - 4x4 y porsche que es 36 y todo eso dividido entre dos a que éstos por 48 saquemos la calculadora entonces para encontrar este término veamos nuestra piel calculadora tenemos que calcular 625 menos 4 x 4 16 - 16 por 36 esto va a ser igual a 49 muy bien en su cuadro perfecto sabemos que la raíz de 49 7 regresando entonces a la fórmula cuadrática esto de aquí entonces es igual a 49 y x va a ser igual a 25 + - la raíz de 49 que es 7 y eso dividido entre 8 y nuestras dos soluciones son x es igual a 25,7 32-32 octavos que es igual a 4 y la otra x dejan hacerlo con otro color la otra x que es igual a 25 menos 718 octavos y esto resulta 8 cabe dos veces en 18 y sobran dos esto será igual a 2 enteros los octavos o dos enteros un cuarto o 2.25 he ahí las soluciones y ahora debo mostrar algo muy interesante es que quizá te va a desconcertar porque surge una contradicción y de hecho te voy a mostrar por qué sur esa contradicción veamos si las soluciones que hemos obtenido realmente funciona probemos primero x igual a 4 entonces aquí tenemos la raíz cuadrada de cuatro es igual a 2 x 4 - seis la raíz cuadrada de cuatro es igualados y esto es igual a todos por 48 menos seis si funciona 2 es igual a 8 - 6 esta solución es correcta lo vemos ahora la otra solución x igual a 2.25 tenemos del lado izquierdo la raíz cuadrada de 2.25 esto no me cabe aquí de cabeza un poco más grande este símbolo 2.25 esto es igual a 2 por 2.25 -6 ahora quizá no puedes calcular mentalmente está raíz cuadrada pero si consideras que la raíz de 225 es igual a 15 entonces podría deducir que la raíz cuadrada de 2.25 es 1.5 veámoslo con la calculadora para ser ciudad entonces calculamos la raíz de 2.25 y es igual a 1.5 tenemos entonces del lado izquierdo 1.5 lo cual de acuerdo con esto tiene que ser igual a 2 por 2.25 4.5 -6 ahora es esto correcto veamos qué no 1.5 iguala 4.516 es menos 1.5 esto es una contradicción que decir que 2.25 no es una solución no cumple con la ecuación radical por lo cual se llama solución extraña decimos que 2.25 es una solución extraña y aquí tenemos un enigma porque surge esta solución extraña seguimos todo el proceso que se debe seguir aplicando la fórmula cuadrática obtuvimos 2.25 donde estuvo el problema bueno al sustituir 2.25 tenemos una pista pues obtuvimos aquí 1.5 es igual a menos 1.5 algo que hicimos nos dio la solución 2.25 que no aplica en la ecuación radical original tenemos otra pista probemos las soluciones en este paso si prueban las soluciones en este paso para saber que de hecho ambas soluciones función de sugiero que lo hagas en un rato que tengas si ponen la solución es igual a 2.25 aquí vas a ver qué funciona y también si pone la solución es igual a 4 vas a ver qué funciona así es que ambas son soluciones válidas de esto ambas son soluciones de esta ecuación así que algo pasó cuando llevamos al cuadrado que hizo la ecuación ligeramente distinta hay una muy pequeña diferencia entre esta ecuación y esta ecuación y la respuesta al enigma es hay dos maneras en que puedes ver esto para regresar de esta ecuación a esta otra hay que tomar la raíz cuadrada para ser más precisos hay que tomar la raíz cuadrada principal de ambos lados nota que también puedes tomar la raíz negativa nota que aquí sólo estás tomando la raíz cuadrada principal en esta ecuación de aquí déjame precisar bien este punto ya hemos establecido que tanto la solución válida como la solución extraña de la ecuación radical satisfacen esta ecuación que tenemos aquí aunque sólo la solución válida satisface la ecuación original dejan escribir entonces la ecuación que satisfacen ambas soluciones porque este es un dilema realmente interesante pues lo que da una idea de lo que pasa cuando tomás la raíz cuadrada principal y el por qué al elevar al cuadrado ambos lados estás perdiendo o ganando según lo veas algo de información ahora esta ecuación que tenemos aquí esta ecuación que tenemos aquí lo podemos escribir como x igual a 2 x -6 elevada al cuadrado este su interpretación legítima de esta ecuación que tenemos aquí hay otra interpretación que también es válida de esta ecuación esta ecuación también la podemos escribir como x es igual a menos uno por dos equis -6 elevado al cuadrado estas dos ecuaciones de aquí son equivalentes pues aquí estamos elevando al cuadrado menos uno que es igual a 1 así es que estas dos situaciones son ecuaciones equivalentes ahora sí lo escribimos esta de aquí distribuyendo el producto de -1 la podemos escribir como menos dos equis +6 al cuadrado lo mismo 6 - dos equis elevado al cuadrado esto y esto son dos maneras de escribir esta ecuación que tenemos acá arriba cuando elevamos al cuadrado la ecuación original cuando elevamos al cuadrado la ecuación radical original supusimos que ésta era la única manera de interpretarlo pero ya vimos que aquí hay otra manera de interpretar esa ecuación elevada al cuadrado así es que encontramos dos soluciones a esto pero sólo cuatro satisface esta interpretación de aquí y espero que entiendas lo que está sucediendo aquí cuando estamos resolviendo esta ecuación cuadrática estamos obteniendo ambas raíces aunque la ecuación original la ecuación radical sólo estamos considerando la raíz cuadrada principal otra manera de ver esto vamos a describir la ecuación original déjame reescribir aquí la ecuación original tenemos la raíz cuadrada de x es igual a 2 x menos 64 es una solución 2.25 no es una solución 2.25 hubiera sido una solución también habíamos considerado que ambas de las raíces cuadradas de x son igual a 2 x -6 ahora sí lo pruebas 2.25 es una solución válida de esta ecuación tenemos que menos la raíz de 2.25 es igual a 2 por 2.25 que es 4.5 menos seis menos 1.5 esto está correcto la solución positiva es cuando x es igual a 4 así es que por eso tenemos dos soluciones y si eleva sexto al cuadrado quizás ésta es la manera más fácil de recordar lo que le asestó al cuadrado y eleva sexto al cuadrado obtienes esta ecuación que tiene ambas soluciones ahora todo esto puede parecerte confuso no es mi intención de ninguna manera confundirte la manera más simple proceder cuando está resolviendo ecuaciones radicales despeja los radicales eleva al cuadrado resuelve las ecuaciones te puedes topar con más de una solución sustituye las soluciones en la ecuación original las soluciones que no la cumplan son soluciones extrañas en este video me enfocaba en el porqué surgen las soluciones extrañas que espero haberte dado un poco de intuición de que la ecuación radical se refiere a la raíz cuadrada principal de x hemos tomado en cuenta también la raíz cuadrada negativa de x la solución extrañas entonces