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Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 13

Lección 4: Sumar y restar expresiones racionales

Sumar y restar expresiones racionales

¿Ya has aprendido lo fundamental sobre la suma y resta de expresiones racionales? ¡Excelente! Ahora profundiza con algunos ejemplos más avanzados.

Lo que necesitas saber antes de está lección

Una expresión racional es el cociente de dos polinomios.

Para sumar o restar dos expresiones racionales con el mismo denominador, simplemente sumamos o restamos los numeradores, y escribimos el resultado sobre el denominador común.

Cuando los denominadores no son iguales, debemos manipularlos de manera que se conviertan en uno igual. En otras palabras, tenemos que encontrar un denominador común.

Si esto te parece nuevo, puedes estudiar primero estos artículos:

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección practicarás sumar y restar expresiones racionales con denominadores diferentes. En estos ejemplos utilizarás el mínimo común denominador como tu denominador común, y verás el beneficio de hacerlo así.

Calentamiento: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍

Para restar dos expresiones racionales, ¡ambas fracciones deben tener el mismo denominador.

En este ejemplo podemos crear un denominador común al multiplicar la primera fracción por

(\frac{x + 1}{x + 1})

, y la segunda por

(\frac{x - 2}{x - 2})

Luego podemos restar los numeradores y escribir el resultado sobre el denominador común.

\begin{aligned} \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \\ = \frac{3}{x - 2} (\frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{2}{x + 1} (\frac{x - 2}{x - 2}) \\ = \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} \\ = \frac{3 (x + 1) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{x + 7}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problema 1

Suma.
El numerador debe desarrollarse y simplificarse. El denominador debe desarrollarse o factorizarse.

\frac{5 x}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} =

Mínimos comunes denominadores

Fracciones numéricas

Algunas veces los denominadores de las dos fracciones son distintos, pero tienen algunos factores en común.

Por ejemplo, considera

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{2 \cdot 3} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}

Observa que el denominador común utilizado en este ejemplo no fue el producto de los dos denominadores individuales (

24

). Más bien fue el mínimo común múltiplo de

4

6

(

12

El mínimo común múltiplo

(MCM)

de dos números enteros es el número más pequeño que es divisible por ambos números.

Cuando dos enteros no tienen un factor común, el

MCM

es simplemente igual al producto de estos enteros. Sin embargo, cuando los enteros tienen un factor común, el

MCM

no es igual al producto de los enteros. Esto se debe a que el factor común aparece una sola vez en el

MCM

. Por ejemplo:

$4$ ‍ y $6$ ‍ comparten el factor común de $2$ ‍, así que el $MCM$ ‍ de $4$ ‍ y $6$ ‍ es $12$ ‍, no $4 \cdot 6 = 24$ ‍
$6$ ‍ y $15$ ‍ comparten el factor común de $3$ ‍, así que el $MCM$ ‍ de $6$ ‍ y $15$ ‍ es $30$ ‍, no $6 \cdot 15 = 90$ ‍

El mínimo común múltiplo de los denominadores de dos o más fracciones se llama mínimo común denominador.

Expresiones variables

Apliquemos este razonamiento para realizar la siguiente suma:

\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}

Primero encontremos el mínimo común denominador:

\underset{\begin{aligned} Requiere \\ un factor \\ (x + 3) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{2}{(x - 2) (x + 1)}}} + \underset{\begin{aligned} Requiere \\ un factor \\ (x - 2) \end{aligned}}{\underset{⏟}{\frac{3}{(x + 1) (x + 3)}}}

Entonces el mínimo común denominador es

(x - 2) (x + 1) (x + 3)

Podemos sumar las dos expresiones racionales como sigue:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{x + 3}{x + 3}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{x - 2}{x - 2}) \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 3) + 3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2 x + 6 + 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problema 2

Suma.
El numerador debe desarrollarse y simplificarse. El denominador debe desarrollarse o factorizarse.

\frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} =

Problema 3

Resta.
El numerador debe desarrollarse y simplificarse. El denominador debe desarrollarse o factorizarse.

\frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} =

Problema de desafío

Suma.
El numerador debe desarrollarse y simplificarse. El denominador debe desarrollarse o factorizarse.

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} =

¿Por qué utilizar el mínimo común denominador?

Quizá te preguntes por qué es tan importante utilizar el mínimo común denominador para sumar o restar expresiones racionales.

Después de todo, esto no es indispensable, y es simple utilizar otros denominadores con fracciones numéricas.

Por ejemplo, en la siguiente tabla se calcula

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

con dos denominadores comunes diferentes; una con el mínimo común denominador (

12

) , y la otra con el producto de los dos denominadores (

24

Mínimo común denominador ( $12$ ‍)	Denominador común ( $24$ ‍)
$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{6} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{6}{6}) + \frac{1}{6} (\frac{4}{4}) \\ = \frac{18}{24} + \frac{4}{24} \\ = \frac{22}{24} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

Observa que usar

24

como denominador en común requirió más trabajo. Los números eran más grandes y hubo que simplificar la fracción resultante.

Esto también ocurrirá si no utilizas el mínimo común denominador al sumar o restar expresiones racionales.

Sin embargo, con expresiones racionales este proceso es mucho más difícil, pues ¡los numeradores y denominadores serán polinomios en lugar de enteros! Tendrás que realizar aritmética con polinomios de mayor grado y luego factorizarlos para simplificar la fracción.

Recuerda el siguiente problema.

\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}

Supongamos que obtuvimos el denominador común al multiplicar la primera fracción por el denominador de la segunda, y la segunda fracción por el denominador de la primera. Observa que este será un denominador común, pero no el mínimo común denominador.

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)}) \\ = \frac{2 (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} + \frac{3 (x - 2) (x + 1)}{(x + 1)^{2} (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 1) (x + 3) + 3 (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{2 (x^{2} + 4 x + 3) + 3 (x^{2} - x - 2)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{2 x^{2} + 8 x + 6 + 3 x^{2} - 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x^{2} + 5 x}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \end{aligned}

Esta no es la misma expresión que obtuvimos cuando sumamos con el mínimo común denominador. Esto se debe a que todavía tenemos que reducirlo a los mínimos términos:

\begin{aligned} \frac{5 x^{2} + 5 x}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

Observa que aunque con esto obtuvimos la respuesta correcta al final, ¡requirió mucho más trabajo!

Todo este trabajo extra se puede evitar si se utiliza el mínimo común denominador para sumar o restar expresiones racionales.

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suso4017
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “A mi me pasa lo mismo, ¿C...” de suso4017
A mi me pasa lo mismo, ¿Cómo puedo poner la x elevada al cuadrado?
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- Raul Juarez
  Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “Busca escribir lo que pon...” de Raul Juarez
  Busca escribir lo que pongo entre comillas "^". El símbolo ^ se escribe pulsando previamente la tecla mayúsculas y, sin soltarla, pulsa la tecla que contiene este símbolo. Si después de escribir esta "v invertida" escribes un numero, estarás escribiendo un número elevado. Prueba con x^2 y lo verás.
  Botón que navega a la página de registro
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Sandoval Reyes Yacov Alberto
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “Hice bien el problema per...” de Sandoval Reyes Yacov Alberto
Hice bien el problema pero el uno de los números es elevado al cuadrado, no se como escribirlo ¿QUe puedo hacer?
Botón que navega a la página de registroComentar en la publicación “Hice bien el problema per...” de Sandoval Reyes Yacov Alberto
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