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Contenido principal
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Transcripción del video

en este vídeo quiero ver si podemos graficar una función racional recordemos que una función racional es simplemente una expresión que tiene un polinomio en el numerador y en el denominador por ejemplo podemos tener que igual a un polinomio x al cuadrado dividido entre otro polinomio le voy a poner x al cuadrado menos 16 y en realidad ya sabemos cómo graficar estas funciones utilizando una tabla verdad podemos poner algunos valores de prueba a ver cuánto nos queda y pasar eso a la gráfica eso es lo que haría una calculadora que gráfica haría valores de prueba y los pondría pero ahorita quiero platicar de algunas técnicas que nos ayudan para entender la estructura básica de la gráfica cuando tenemos una función racional vale bueno lo primero que quiero platicar es qué sucede cuando x se hace muy muy grande ya sea muy grande positivo o muy grande negativo o sea que es lo que le sucede allí cuando el valor absoluto de x se va a infinito cuando x se hace muy grande magnitud vale bueno para estudiar esto voy a sacar la calculadora para probar algunos valores déjame encenderla entonces vamos a poner valores de x pues así algunos chiquitos y luego otros más grandes vale empecemos con x igual a 10 entonces si ponemos x igual a 10 aquí nos queda 10 al cuadrado 10 al cuadrado dividido entre 10 al cuadrado menos 16 menos 16 va nos queda 1.19 todavía no sabemos muy bien qué sucede vamos a poner un valor de x más grande digamos x igual a 100 entonces hacemos 100 al cuadrado entre 100 al cuadrado 100 al cuadrado menos 16 entonces aquí nos queda 11.00 16 observa que hasta ahorita son valores positivos ahorita vemos qué sucede con los negativos que va a ser más o menos lo mismo porque aquí estamos elevando al cuadrado pero ahorita platicamos de eso bueno entonces nos queda 1.001 y esto se va acercando a 1 entonces parece ser que nos acercamos a 1 vamos a ver si es cierto déjame meterle x igual a 1000 elevamos al cuadrado y dividimos entre 1000 al cuadrado 1000 al cuadrado y al cuadrado menos 16 le damos enter y si en efecto nos acercamos a 1 antes teníamos 1.001 pero ahora es 1.000 0 16 eso está súper cerca de 1 entonces cuando x se hace muy grande tenemos que ya se va se va a 1 y bueno algo parecido sucede cuando aquí se hace grande negativo ahorita sólo hicimos grande positivo pero con grande negativo pasa lo mismo porque digamos aquí en vez de tener un 100 tendríamos un menos 100 pero menos 100 al cuadrado lo mismo que 100 al cuadrado y aquí pasa lo mismo menos 100 al cuadrado es lo mismo que si en al cuadrado entonces también tenemos este número de acá y por lo tanto cuando se hace con perdón cuando x se hace grande negativo que también se va a 1 vale bueno entonces ya se va a 1 es decir la gráfica de la función y esta de acá x al cuadrado entre x al cuadrado menos 16 se acerca a la gráfica de la función y igual a 1 así que déjame dibujarla acá porque va a ser una gráfica auxiliar como no es la gráfica de la función sino una gráfica auxiliar la voy a poner aquí punteada nada más vale entonces esto que estoy pintando esta línea punteada azul es la gráfica de la función ye yé igual a y lo que sucede es que la gráfica que nos interesa se acerca mucho mucho mucho a esta línea pero nunca la toca y esta idea de que tenemos una línea que se acerca mucho a la gráfica que nos interesa pero que nunca se tocan se le conoce como a sin total es decir esta recta la recta ye igual a 1 es una cinta para la gráfica de nuestra función no voy a escribir aquí a la 5ta en total vale y como es una línea horizontal pues esto se conoce como una asín total sin azúcar un poco feo a sin tota horizontal horizontal cuando no está muy creativo pero bueno haciendo está horizontal sale va ahorita quiero platicar de otra cosa ahorita ponemos la gráfica para que estos entiendo un poco más pero antes de eso me gustaría platicar de qué sucede cuando el denominador se hace cero entonces para eso voy a factorizar lo entonces voy a reescribir esto como x al cuadrado entre aquí tenemos una diferencia de cuadrados entonces la puedo factorizar como x más 4 x x menos 4 x 4 entonces quiero ver qué sucede con cuando x se acerca a 4 bueno a 4 o al menos 4 bueno o sea primero que sucede si x es igual a 4 o menos 4 por ejemplo si x es igual a 4 esta expresión x menos 4 se hace 0 entonces estamos dividiendo entre 0 y por lo tanto ahí la función está indefinida vale entonces la división entre 0 no nos permite hacer cosas de modo que la función está indefinida en 4 y lo mismo pasa en menos 4 voy a escribirlo por acá voy a poner que ya está indefinida está indefinida indefinida 4 y menos 4 porque en esos valores tendríamos que dividir entre 0 pero no sabemos cómo hacer eso vale bueno ya que está indefinida ahí puede que sea interesante ver qué sucede cuando nos acercamos a esos valores por ejemplo casi por pura diversión vamos a ver qué sucede si nos acercamos a menos 4 digamos por la izquierda entonces vamos a vamos a poner vamos a estudiar qué pasa cuando aquí se va a -4 por por la izquierda vale entonces vamos a la calculadora por ejemplo quiero ver qué sucede en menos 4.0 dejame borrar entonces tenemos menos 4.0 me lo voy a poner 4.1 vale menos 4.1 al cuadrado y vamos a dividir entre menos 4.1 al cuadrado creo que voy a necesitar más paréntesis aquí verdad y aquí está el paréntesis a menos 4.1 al cuadrado menos 16 ok si es eso lo que quiero si va entonces le doy enter y observa tenemos 20 puntos 75 30 todavía no sabemos muy bien qué sucede vamos a poner un valor más cercano a menos 4 entonces quién va a ser la tos o déjame déjame copiar la entrada anterior y aquí simplemente voy a poner un cero entonces menos 4.01 al cuadrado menos 4 punto pero al cuadrado pero si lo que quería 0 1 y aquí necesito un paréntesis al cuadrado está ok ok todo bien me parece que sí vale entonces le damos enter y ven ahora tenemos un valor mayor de 20 pasamos a 200 seguirá creciendo pues vamos a ver vamos a probar 4.200 1 bueno menos 4.00 una vez más le doy insert y le pongo un 0 me voy para cada otra vez insertar le pongo otro 0 le doy enter y lo que quería enter y b2000 creció todavía más entonces pues al parecer cuando nos acercamos más y más a menos 4 obtenemos valores más y más grandes y por lo tanto nos vamos a infinito de hecho tú lo puedes probar en tu propia calculadora puedes intentar menos 4.000 0001 para ver qué sucede pero bueno ya que lo pruebes vas a ver que en efecto cuando x se va al menos 4 por la izquierda entonces tenemos que ya que se va a infinito toma valores cada vez más grandes como le hacemos para indicar eso en nuestra figura pues lo que vamos a hacer es más es marcar marcar ahora la recta x igual a menos 4 1 2 3 4 aquí está x igual a menos 4 es igual a menos 4 vale entonces la función no va a estar definida en x igual a menos 4 no tenemos ningún punto de la gráfica sobre esta recta pero lo que acabamos de ver es que si nos acercamos a menos 4 por aquí está menos éste es igual a menos 4 si nos acercamos a menos 4 por la izquierda entonces la gráfica de la función se va a infinito eso lo podemos combinar con lo que vimos acá arriba y ya vamos teniendo una idea de cómo se ve la gráfica lo voy a pintar con este color verde verde así vale entonces cuando nos vamos a menos infinito la función se va a 1 cuando nos acercamos a menos 4 la función se va a infinito entonces tenemos algo más o menos más o menos sí vale entonces empieza en menos uno y luego crece y crece y crece y crece y se va a infinito va ahora vamos a ver qué sucede del otro lado cuando x es igual a 4 déjame pintar por aquí la línea x igual a 4 4 través le estoy poniendo punteada porque nada más es una auxiliar estar acá es igual a 4 y vamos a ver qué pasa cuando nos acercamos a x igual a 4 por la derecha en realidad eso lo que quiere decir es que estamos probando valores como 4.01 como 4.001 etcétera etcétera pero eso ya lo hicimos bueno básicamente porque aquí pusimos menos 4.01 pero si ponemos 4.0 uno va a dar exactamente lo mismo porque estamos elevando al cuadrado es la misma idea de hace rato es decir la gráfica es simétrica con respecto al eje y va entonces con esto en mente también podemos decir que en este caso que se va a infinito que se va a infinito y entonces pasa algo similar entonces ahora como nos quedaría pues ahora empezamos aquí en infinito bueno si nos acercamos a cuatro por la derecha nos vamos infinito ahora la gráfica baja y otra vez cuando x se va a infinito en magnitud de entonces nos acercamos a la gráfica de d igual a 1 y a estas dos rectas que ahora son rectas verticales y con las cuales la función queda indefinida pero nos vamos a infinito o menos infinito como ahorita vamos a ver a estas también se le llaman asiento estás solo que ahora se les conoce como a sin total a sin total verticales a sin total así sin ese acento está feo así todas las cintas verticales verticales muy bien entonces vamos súper bien ya entendimos que sucede de este lado izquierdo de este lado derecho nos acercamos a que igual a 1 cuando x hace grande ahora lo que estaría padre es entender qué sucede aquí adentro en el intervalo menos 4,4 por ejemplo qué sucede si ahora nos acercamos a 4 a 4 no por la izquierda sino por la derecha pues saquemos la calculadora vamos a seguir jugando vale entonces aquí está la calculadora ahora lo que queremos son lo que queremos son valores cercanos a 4 pero por la por la izquierda un poquito más chiquitos que 4 por ejemplo podemos probar con 3.9 3.9 al cuadrado anual la cuarta no al cuadrado entonces eso lo queremos dividir entre 3.9 3.9 que crees que suceda bueno ahorita vemos 3.9 al cuadrado menos 16 ahora nos queda menos 19.25 vamos a poner la expresión de arriba y nos vamos a acercar más aquí vamos a poner otro 9 para acercarnos más a 4 menos 33.9 ahí tenemos otro 3.9 ok le damos enter y observa ahora nos fuimos a menos 199 es un valor grande pero negativo ahora ahora al parecer nos vamos a ir a menos infinito vamos a ver si es cierto probando con con un valor más entonces aquí vamos a poner otro 9 más cerca de 4 otro 9 más cerca de 4 le damos enter y si ahora nos vimos a menos 1999 como menos 2000 entonces en efecto cuando nos acercamos más y más a 4 ahora nos estamos yendo hacia menos infinito entonces voy a boya déjame agarrar el color verde entonces la gráfica ahora nos quedaría como algo así ahora al acercarnos a este valor nos queda menos infinito al acercarnos a 4 por la derecha entonces sería algo más o menos así y de modo similar como la gráfica es simétrica con respecto al eje y por esto de elevar al cuadrado tenemos que cuando nos acercamos a menos 4 por la izquierda también nos vamos a menos infinito otra vez puedes probarlo en la calculadora pero es la misma idea como elevamos al cuadrado no nos importan tanto los hitos vale entonces ya sabemos cómo se comporta la función alrededor de la sas into estás cuando x es muy grande ya nada más vamos a probar pues un valor un valor adicional para ver qué sucede justo aquí y un valor pues que parece ser muy bueno para probarlo es el cero verdad porque queda justo a la mitad entonces vámonos acá ahora si ponemos un valor particular nos quedaría cero aquí nos quedaría cero dividido entre 0 16 entre menos 16 y aquí no hay problema verdad cero entre cualquier cosa que no sea cero es igual a cero y de esta forma el punto cero cero está en la gráfica de la función es decir podemos hacer esto y nos queda más o menos algo así claro podríamos probar algunos puntos más para entender bien bien qué sucede aquí en medio pero ahorita ya tenemos una idea muy buena de cómo se ve la gráfica de la función ya tenemos un esbozo súper padre bueno antes de seguir déjame reflexionar un poquito aquí alrededor de las asiento estás usamos la calculadora para entender si nos íbamos a infinito o menos infinito pero en realidad podríamos reflexionar un poco más y entender por qué sucede por ejemplo no sé vamos a acercarnos a cuatro o sea si nos acercamos a cuatro este término de acá el término x menos cuatro pues cada vez va a ser más y más y más y más chiquito porque como x está muy cerca de 4 la diferencia va a ser muy pequeña entonces va a ser un término chiquito que puede ser positivo o negativo dependiendo de que el lado de 4 estemos pero bueno dividir entre algo muy chiquito es algo muy muy muy grande positivo o negativo vale entonces si tenemos esta expresión y la multiplicamos por algo muy grande nos va a quedar algo muy muy grande entonces pues básicamente básicamente nos queda algo muy grande dependiendo de qué helado estemos entonces si estamos a la derecha aquí nos queda algo positivo algo positivo esto es positivo esto es positivo entonces algo muy grande positivo se va infinito y de modo similar acercándonos por la izquierda este es negativo esto es positivo y tenemos que se va a menos infinito vale entonces esa es la idea detrás de eso va entonces ya además para reflexionar que hicimos hicimos lo siguiente primero determinamos la 5ta horizontal y para eso metimos valores en la calculadora en realidad pues pudimos haber metido un valor todavía más grande como diez mil millones y seguro nos hubiera salido más rápido pero esto también se puede reflexionar a partir de esta expresión básicamente lo que sucede es que si aquí se hace muy muy grande entonces estos términos de acá los x al cuadrado crecen mucho más rápido que este 16 este 16 básicamente ya no importa entonces lo que acaba sucediendo sí sí x se va a infinito en magnitud y es aproximadamente aproximadamente x al cuadrado entre x al cuadrado y esto por supuesto es 1 entonces eso lo que nos dice es que para valores de x muy grandes el 16 ya no nos importa y bueno esto es un poco más general o sea podemos pensar que aquí hay un 1 y aquí hay un 1 y entonces al hacer esta división básicamente estamos dividiendo estos coeficientes y pues no se desea que hubiéramos tenido 2 x al cuadrado más bien habría que hacer la división 2 entre 1 nos quedaría que la 5ta horizontales ya igualados no sé si arriba tuviéramos 1 y abajo menos 2 entonces la asiento está horizontal sería igual a menos un medio vale vale entonces esto es lo que sucede cuando tienen el mismo grado aquí escuadra tico y aquí escuadra tico pero ojo si tienen grados distintos pasan otras cosas si el grado del denominador es más grande que el del numerador entonces dividimos entre algo más grande y la siendo está va a estar en cero después de los ejemplos de eso y también está el otro caso cuando el grado cuando el grado de el numerador es más grande en cuyo caso importa más lo que hace el numerador y ahí nos vamos a infinito o menos infinito como pasaba con los polinomios verdad un polinomio es una expresión racional donde el denominador es 1 nos vamos a infinito o menos infinito bueno esto es para la 5ta horizontal y para las cintas verticales la regla es un poquito más complicada es básicamente lo que hicimos hay que determinar cuando se anula el denominador pero además hay que cuidar que no se que no se cancele con nada de el numerador si no se cancela con nada entonces ya estamos tenemos una cinta vertical ahí pero podría pasar no sé déjame poner un ejemplo que aquí arriba tuviéramos un x menos 4 entonces aquí también lo tendríamos entonces en este caso este término se cancelaría con este y en realidad no tenemos un asiento está ahí de todas formas la función está indefinida en x igual a 4 pero ya no sería así en total vale pero bueno ese es un caso raro del cual voy a platicar con más calma después por el momento no teníamos estos x menos 4 es más déjame dejame borrarlos así menos 4 ahí está teníamos nada más esta expresión y bueno entonces la idea es esa si el denominador se anula y en el numerador no hay nada que lo cancele entonces ahí tenemos una cinta vertical uff ya dijimos muchísimas cosas pero nada más para terminar déjame hacer una última cosa vamos a verificar que en efecto la gráfica de la función se ve así vamos a sacar la calculadora vamos a sacarla y ahora sí vamos a meternos a la función de graficar entonces vamos a poner la expresión que tenemos la expresión es x al cuadrado x al cuadrado / / x al cuadrado al cuadrado menos 16 y con un poco de suerte se va a parecer a estar chinche que dibujamos por acá entonces vamos a darle graficar guau guau nos quedó casi igualito bueno aquí está un poco más plano pero ve es exactamente la misma idea de hecho ahí está tienen pintadas usa si no estás creo que más bien es porque la calculadora intenta completar ahí la función pero bueno podemos pensar las con más síntomas ojo en realidad no son parte de la gráfica sólo son rectas auxiliares para saber cómo graficar la pero ver es básicamente la misma idea cuando x es grande negativo aquí tienen su asiento está horizontal en de igual a 1 está ya igual a 1 luego vamos avanzando al llegar a menos 4 al llegar a menos 4 este término es negativo este es muy chiquito entonces todo esto es grande entonces aquí nos queda aquí nos queda algo positivo verdad grande positivo si porque estoy acá a este es negativo y éste también entonces más bien baja menos por menos es más nos queda negativo al cruzar menos 4 entonces ahora éste este cambio de signo se hacen activo pero sigue estando muy cerca de 4 entonces que era menos infinito en el 0 se hace 0 se apaga la calculadora en el 0 se hace 0 luego al acercarnos a 4 nos vamos a menos infinito luego a infinito bueno ahí tenemos la 5ta y finalmente cuando x se hace grande positivo otra vez aquí se ve el comportamiento asintóticos hacia allí igual a 1 uf este ejercicio estuvo kilométrico pero espero que te haya gustado y que te hayas divertido mucho