Gráficas de funciones racionales: ceros

se a fx igual a 2 x cuadrada menos 18 todo esto dividido entre g x donde gx es un polinomio la pregunta es cuál de las siguientes opciones es una posible gráfica de igual a fx y como siempre las líneas punteadas indican a cinto estás muy bien entonces aquí tenemos cuatro opciones estas cuatro opciones de gráficas verdad algunas de ellas podría representar a la a la función de igual a fx verdad entonces te invito a que hagas una pausa trates de resolver este problema por tu propia cuenta y después lo haremos todos juntos muy bien entonces vamos a resolver este problema todos juntos verdad y lo que podemos ahora hacer es notar que en realidad no nos dan mucha información verdad no nos dan información por ejemplo de quiénes gdx lo único que nos dicen es que es un polinomio y por supuesto que x aparece en el denominador de esta expresión racional verdad sin embargo si nos dicen quién es el numerador y como hemos visto anteriormente es útil factorizar lo y ver algunos valores interesantes de x en particular valdría la pena ver los valores de x donde el numerador se anula muy bien entonces vamos a hacer esto aquí vamos a tener f x verdad y por ejemplo aquí podríamos primero factorizar un 2 verdad aquí podríamos poner 2 que multiplica a x cuadrada menos 9 y todo esto irá dividido entre g de x y lo que podemos notar ahora es que aquí tenemos una diferencia de cuadrados verdad esto sería x - 3 al cuadrado entonces esto lo podemos factorizar con binomios conjugados verdad entonces esto quedaría como 2 x x + 3 que multiplica a x menos 3 y luego todo esto va dividido aún entre g x así que si esto te pareció algo digamos desconocido te invito a que veas el vídeo sobre la diferencia de cuadrados muy bien entonces aquí tenemos que el numerador se va a poder anular en x igual a menos tres verdades cuando este factor de aquí se anula o bien cuando x es igual a 3 que sería el segundo factor verdad entonces tanto en digamos vamos a ponerlo así efe de menos 3 es podría ser 0 esto podría en principio ser cero y efe de 3 podría ser en principio 0 verdad así que vamos a ver qué ocurre con estas gráficas que tenemos aquí estas opciones analicemos qué pasa primero con la gráfica muy bien entonces podemos ver que en x igual a 3 en efecto la función corta al eje horizontal verdad al eje x es decir es un cero de nuestra función muy bien ahora bien en x igual a menos 3 podemos ver que tenemos una cinta vertical suena bastante bastante curioso verdad no sabemos qué va a pasar con a veamos qué pasa con la opción b aquí nuevamente tenemos que en 3 x está nuestro eje horizontal verdad es una raíz o un 0 de la función y en menos 3 tenemos que la función está definida verdad aquí tenemos que la función está definida entonces esto también suena en principio algo algo curioso veamos qué pasa ahora con la opción c aquí en tres tenemos una discontinuidad removible verdad aquí tenemos una discontinuidad removible - 3 tenemos que la función está también definida verdad más o menos aquí tendremos el valor en menos 3 entonces esto vuelve a ser otra vez algo interesante es verdad y finalmente en la opción de tenemos que tanto en menos 3 más o menos toma ese valor como en 3 más o menos tomará este valor este pues no pasa nada ni en menos 3 mientras es verdad entonces parece ser que hay algo raro con estas cuatro opciones y en principio ninguna de estas cuatro opciones tiene ceros tanto en x igual a tres como en x menos 3 bebé debería haber en ambas opciones y esto porque podría ocurrir bueno tenemos que darnos cuenta que el hecho de que el numerador se anule el hecho de que nuestro numerador se anule no implica que tengamos un cero de la función verdad y bueno tú te preguntarás cómo es posible que esto ocurra bueno pues vamos a pensar en algunas situaciones en donde podamos ver por ejemplo pensemos en una opción para gdx pensemos que fx sería 2 x x + 3 por x 3 y digamos que está dividido entre un polinomio particular digamos x + 1 pensemos ahorita que g es x + 1 ok entonces aquí podemos ver que justamente la función efe tiene dos ceros vamos a poner esto la función f tiene dos ceros o también se le dice que tiene dos raíces verdad y en este caso serían menos tres y tres verdad y eso es porque el denominador no se anula en ninguno de estos dos ahora que otro tipo de opciones tenemos bueno tenemos por ejemplo podríamos poner fx igualados por equis más tres que multiplica a x menos tres y digamos que dividimos entre x + 3 que multiplica a x más 1 este podría ser un ejemplo verdad entonces aquí podemos ver que tenemos un x igual a 3 verdad porque en el numerador se cancela verdad gracias a este factor sin embargo en x igual a menos 3 ahora podríamos cancelar estos factores tanto en el numerador como en el denominador eso quiere decir que tenemos una discontinuidad removible y lo voy a poner así una discontinuidad removible x igual a menos 3 entonces en este caso tendríamos una discontinuidad re móvil y removible perdón en x igual a menos 3 oa lo mejor podríamos elegir otra función que que por ejemplo haga que tengamos una discontinuidad removible en 3 y un 0 en menos 3 o quizás ambas podrían tener discontinuidades removibles verdad en cuyo caso la función que debería tener un factor x + 3 y un factor x menos 3 veamos que otro tipo de opciones podríamos inventarnos podríamos tener fx igual a bueno el numerador es siempre el mismo 2 por x + 3 por x menos 3 y por ejemplo podríamos dividir entre x + 3 al cuadrado por x + 1 ok en este caso qué es lo que ocurre pues uno de estos este este factor que está en el numerador se cancela con uno de los factores x + 3 del denominador y entonces que es lo que tendríamos tendríamos 1 en 0 en x igual a 3 que corresponde a este factor de aquí pero ahora no tendríamos ni un 0 en x igual a menos 3 ni tampoco una discontinuidad removible removible en este caso sería una a sin tota y luego poner asia sin total vertical ok en x igual a menos 3 verdad entonces aquí vemos que las raíces del numerador no necesariamente son raíces de nuestra función original podrían ser ceros de la función original podrían ser así en total us into estás verticales o discontinuidades removibles así que regresemos a nuestros cuatro ejemplos y veamos si ahora sí podríamos determinar cuál de estas cuatro opciones representa mejor a la función entonces para el caso a en x igual a 3 tenemos 1 0 y en x igual a menos 3 tenemos una cinta vertical entonces en principio a es una muy buena elección qué pasaría con b bueno en vez tenemos un cero en x igual a 3 pero en menos 3 no tenemos ni un 0 ni una cinta vertical ni una discontinuidad removible verdad entonces esta no es una opción veamos qué pasa ahora en c en x igual a 3 tenemos una discontinuidad removible y en menos 3 tenemos que la función está definida entonces y de hecho no vale 0 entonces esta opción no es una no es una viable no es una opción viable y finalmente en la opción de bueno podemos ver que tanto en tres como en menos tres la función tiene un valor definido que no es cero es decir no es una raíz no son raíces no son ceros así que de tampoco es una opción así que finalmente concluimos que la opción es una muy buena elección para la gráfica de nuestra función f x