Graficar funciones racionales 1

aquí tenemos la gráfica de una función fx y lo que quiero que hagamos en este vídeo es esbozar dicha gráfica a partir de la definición de la función que está dada por esta expresión por esta expresión racional 2x + 10 sobre 5x menos 15 hay un par de maneras de hacer esto lo primero que podemos hacer es escoger algunos números para los cuales sea fácil evaluar la función por ejemplo qué sucede cuando x es igual a cero tenemos entonces que f de 0 es igual estos términos se hacen 0 y nos queda 10 sobre menos 15 o lo que es lo mismo menos dos tercios menos dos tercios vamos a graficar entonces cuando x vale 0 que vale menos dos tercios aquí lo tenemos déjame graficar lo con un color más oscuro aquí está el valor debe de ser igual a menos dos tercios también podemos ver cuando la función se hace cero bien la función se hace cero la única manera de que la función se haga cero es cuando el numerador es igual a cero resolvemos la ecuación 2 x 10 y 0 esto nos da 2 x igual a menos 10 restamos 10 a ambos lados de la ecuación dividimos entre 2 ambos lados para obtener entonces x es igual a menos 5 y eso esto lo podemos ver aquí cuando x es igual a menos 5 la función intersecta el eje de las x pero eso son tan sólo dos puntos eso no nos da la forma general de esta interesante función y aquí podrías pensar qué tipo de funciones tienen una forma semejante a ésta ahora lo que quiero considerar es el comportamiento de la función en distintos puntos primero quiero ver cuando esta función no está definida y qué sucede cómo se comporta esta función cuando no está definida la única manera para que esta función no esté definida es cuando el denominador es igual a cero no sabemos lo que significa dividir un número entre cero así es que la función está definida cuando 5x deje ponerlo en azul 5x menos 15 es igual a 0 o lo que es lo mismo sumando 15 ambos lados 5x es igual a 15 / 5x es igual a tres cuando x es igual a 3 efe no está definida hay dos razones por las cuales una función no está definida en un punto podríamos tener algo así voy a dibujar aquí unos ejes cartesianos suponemos que aquí está x igual a 3 aquí podría estar definida la función tender a este valor no está definida en este punto y luego continuar por acá la otra posibilidad es que tenga una cinta vertical ahí si tuviera una cinta vertical se vería más o menos así podría ir creciendo por aquí tendiendo hacia infinito y quizá después de tres de crecer desde infinito hoy creciendo desde menos infinito venir desde menos infinito por aquí así es como se ve una sin tota vertical a medida que nos acercamos por la izquierda la gráfica se aproxima una vertical sin llegar nunca al valor de x igual a 3 la función no está definida en x igual a 3 y cuando te aproximas por la derecha también la gráfica llega cerca en este caso cae aproximándose a menos infinito cuando x se aproxima a 3 por la derecha entonces como sabríamos obviamente cuando lo ves aquí ya teniendo la gráfica veamos aquí tenemos el 10 aquí tendríamos 2 4 6 8 10 más o menos por aquí está el 3 aquí tenemos una sin tota vertical una sin tota vertical x 3 x igual a 3 vamos a escribirlo por acá vamos a escribirlo aquí arriba que tenemos una asiento está vertical asiento está vertical en x igual a 3 pero como sabrías esto cómo sabrías esto si no tuvieras la gráfica aquí tan solo teniendo esto sabemos que no está definida en 3 pero como sabemos que no es un punto de discontinuidad en vez de una cinta vertical hay un par de maneras de hacer esto una de ellas es tomar valores cerca de 3 y ver cómo se comporta la función por ejemplo sacamos la calculadora podemos probar digamos con 3.01 entonces vamos a evaluar la función que sería 2 x 3.01 + 10 este es el numerador dividido entre 5 x 3.01 menos 15 y esto es igual a 320 punto 4 es un número bastante grande vamos a ver qué pasa si tomamos una x grande digamos 3.001 entonces 2 x 3.001 ya eso le sumamos 10 y ahora dividimos todo esto entre 5 x 3.001 ese es el valor de x que estamos probando ahora 3.001 ya eso le restamos 15 observa hemos obtenido un número aún mayor a medida que x se acerca 3 el valor de fx es cada vez mayor fx está atendiendo infinito así es que tenemos que por este lado la gráfica de la función está atendiendo infinito podríamos dibujar entonces este trazo este trazo de aquí veamos ahora qué pasa con valores menores que son cercanos a 3 digamos por ejemplo 2.999 mejor voy a hacer lo siguiente voy a tomar la expresión anterior y voy a poner ahora el nuevo valor de x ahora x vale 2.999 también cambiamos el valor de x en el denominador 2.999 evaluamos la expresión y obtenemos tenemos un valor negativo muy grande la función está atendiendo a menos infinito con ese valor tenemos indicios de que la función se ve más o menos así y además coincide con los dos valores que ya habíamos graficado previamente y ahora veamos qué pasa a medida que x toma valores muy grandes tanto positivos como negativos parece ser que hay un asiento está horizontal al ver la gráfica notamos que aquí hay una sintonía son tal a medida que x toma valores positivos muy grandes efe x se va aproximar a este valor por arriba de la 5ta y a medida que x se hace más negativo efe x se aproxima por abajo de la 5ta y cómo podemos saber esto simplemente viendo la función bien hagamos un experimento mental para ver qué pasa con la función a medida que x toma valores cada vez más grandes déjame escribir eso cuando x tiende a infinito fx tiende a qué valor a medida que x toma valores cada vez más grandes el 10 y el menos 15 van a afectar menos y los términos de mayor orden en el numerador y el denominador son los que van a dominar así que cuando x tiende a infinito fx es aproximadamente igual a 2x sobre 5x y esto es igual a dos quintos podemos decir entonces que fx tiende a dos quintos ahora para ver esto claramente vemos valores a x cada vez más grandes y verifiquemos que la función se aproxima a dos quintos así es que si tenemos aquí vamos a tener equis y aquí fx empecemos con x igual a 1 f x es igual a 2 + 10 sobre 5 menos 15 y aquí el 10 y el menos 15 influyen bastante pero si x es igual a 1000 fx es entonces 2000 más diez sobre cinco mil menos quince y aquí dos mil cinco mil son los que determinan principalmente el valor de fx si x fuera por ejemplo un millón si x fuera un millón y aquí loa pone en azul para que haya mayor contraste fx sería dos millones más 10 sobre sobre 5 millones menos 15 y aquí realmente 10 y menos 15 no importan para nada imagínate si esto fuera un billón o un trillón o un 4 y jon 10 y menos 15 serían realmente irrelevantes así es que a medida que existiendo infinito estos términos no importan los términos de mayor orden son los que pesan fx va a tender a 2x sobre 5x que es igual a 2 quintos así es que fx tiende a dos quintos que es donde parece que se ubica esta línea dos quintos es igual a 0.4 aquí lo vemos entonces en la gráfica fx se está aproximando a esta recta nunca llega alcanza este valor nunca llega a ser dos quintos porque al final de cuentas existen estos términos existen este más diez y este menos quince que impiden que la función llegue a ser exactamente dos quintos y lo mismo sucede a medida que x es cada vez más y más negativo podemos hacer todos estos valores negativos cuando x es igual a menos 1 este sería menos 2 sobre menos 5 cuando es igual a menos 1000 éste sería menos 2000 sobre menos 5000 cuando es menos un millón esto es menos 2 millones sobre menos 5 millones es decir al final de cuentas la función tiende a menos 2x sobre menos 5x que es igual a menos 2 sobre menos 5 lo cual es igual a dos quintos y eso es lo que estamos viendo aquí en la gráfica tenemos entonces que esta función tiene una a sin tota a sin tota horizontal a sin tota horizontal y es esta recta horizontal de igual a dos quintos definitivamente esta gráfica nos está ayudando a ver lo que son las asiento estás verticales y horizontales de la función pero si no tuviéramos la gráfica podríamos haber establecido que la función está definida en x igual a 3 probar algunos valores para ver que la función tiende a menos infinito a medida que nos acercamos a x igual a 3 por la izquierda que la función tiende a más infinito cuando nos acercamos a x igual a 3 por la derecha como le indique esa fecha podemos graficar estos puntos cuando f es igual a 0 que pasa cuando x es igual a 0 y también podríamos considerar el comportamiento cuando x tiende a infinito y a menos infinito el valor de la función cuando x tiende a infinito o menos infinito nos permite establecer esta cinta horizontal con todos esos elementos hubiéramos podido haber hecho un buen esbozo de esta gráfica