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Transcripción del video

en este vídeo vamos a aprender algunas cositas acerca de la expansión infracciones parciales déjame escribirlo por acá me voy a poner expansión expansión expansión en fracciones fracciones de acciones parciales parciales parciales también se le conoce como descomposición en fracciones parciales vale bueno la idea es empezar con una expresión racional o sea una expresión que tenga un polinomio en el numerador y en el denominador y esa expresión la vamos a descomponer en algunas partes más sencillas ahora para empezar a hacer esto de la expansión infracciones parciales tenemos que asegurarnos que el numerador tenga menor grado que el denominador pero eso no sucede en este ejemplo de aquí entonces lo primerito que tenemos que hacer en este caso es hacer una división larga de polinomios para bajar el grado el numerador vamos a hacerlo esto nos va a ayudar a repasar la división largas y que eso está padre entonces lo que tenemos que hacer es dividir entre x al cuadrado menos 3 x menos 40 menos 40 a la expresión aquí va el numerador x al cuadrado - 12 x -37 entonces para hacer esta división larga lo que teníamos que hacer es preguntarnos cuántas veces cabe x al cuadrado en x al cuadrado bueno aquí es tan sencillo simplemente cabe una vez va ahora multiplicamos uno por esta expresión nos queda x al cuadrado menos 3 x menos 40 y entonces ahora tenemos que respetar así que déjame cambiarle los signos estás menos éste es más triste es más entonces esto se cancelan menos dos equis +3 xx y menos 37 más 40 es más tres muy bien entonces después de hacer esta operación lo que podemos hacer es reescribir esta expresión racional como 11 más x + 3 x + 3 / / / x al cuadrado quizá al cuadrado menos 3 x menos 40 y aquí ya tenemos una expresión razón al donde el numerador tiene grado más pequeño que el denominador y bueno esto puede parecer magia verdad porque estamos aquí trabajando con polinomios y de repente le bajó el grado pero realmente esto es lo mismo que hacíamos en primaria cuando convertíamos fracciones en números mixtos déjame hacer un ejemplo rápido para para que veas a qué me refiero o sea en primaria nos daban una fracción del estilo 13 medios 13 medios y lo que nosotros hacíamos bueno ahorita ya lo podemos hacer hasta mentalmente pero lo que hacíamos para transformarla en un número mixto es hacer la división de casita 3 entre 2 val entonces dos cabezas veces y sobra uno y entonces reescribía moss 13 medios 13 medios como estos seis enteros como 6 enteros más el residuo dividido entre lo que estamos dividiendo seis más un medio de primaria le poníamos un 6 grandote con un medio al lado pero 6 con un medio así es lo mismo que seis más un medio vale entonces ya que estamos haciendo exactamente lo mismo hacemos la división acá nos queda un 1 eso es lo que queda aquí afuera es como el entero por así decirlo y luego hay que poner el residuo entre entre lo que estamos dividiendo sale el denominador bueno entonces ahora sí el grado de el numerador es más pequeño con eso ya podemos empezar nuestra descomposición en fracciones parciales y el chiste es poner esta expresión está de acá como suma de expresiones más sencillas cuyos denominadores sean factores de este denominador vale entonces pues vamos a encontrar los factores de este denominador eso sería una buena forma de empezar entonces hay que encontrar dos números que multiplicados nos des nos den menos 40 y que sumados los de menos tres a ver creo que ocho y -5 casi menos 85 entonces se unió el denominado lo podemos poner como x x menos 8 x +55 por menos ochos menos 40 5 - 8 es menos tres entonces déjame reescribir esto lo voy a esto lo va a escribir como un o más x + 3 x + 3 / / x menos 8 x menos 8 x x + 5 excelente entonces ya actualizamos el denominador vale aquí está ahorita nada más vamos a seguir trabajando con esta parte pero hasta el final tenemos que acordarnos que hay un 1 aquí afuerita vale entonces déjame copiar esta que es con la que vamos a trabajar la voy a poner aquí al lado entonces es x + 3 / / x menos 8 - 8 x x + 5 x + 5 y lo que yo afirmo es que esto se puede poner en expresiones más simples de la siguiente forma yo digo que se puede poner como una cierta constante a dividida entre x menos ocho ya eso le sumamos una constante ve dividida entre x + 5 x + 5 entonces eso es lo que yo afirmó ahorita vamos a hacer las cuentas para ver si de a de veras podemos determinar a y b y si podemos encontrarlos entonces listo vamos a haber logrado expresar esto como suma de expresiones más sencillas vale entonces cómo le vamos a hacer para determinar quiénes son a y b pues justo vamos a intentar este pues hacer la suma de este lado y comparar pues coeficientes numerador y denominador entonces dejan de hacer la suma voy a cambiar de color voy a cambiar este rosa entonces para hacer la suma de este lado necesitamos un denominador común y para mí para dar el denominador común tenemos que multiplicar estos dos nos queda x menos 8 x x + 5 vale entonces es el denominador común pero ahora está a ésta a veces hay que ajustarla porque aquí en el en el denominador multiplicamos por equis +5 así que arriba también hay que multiplicar por cinco los que daría a por x + 5 vale ya eso tenemos que sumar lo que corresponda esté sumando entonces otra vez ponemos denominador común x menos 8 x x + 5 pero ahora multiplicamos por equis -8 así que también hay que hacerlo arriba nos queda b x x -8 observa que estas dos son igualitos al cancelar los x + 5 nos queda esta al cancelar los x -8 nos queda están acá vale entonces déjame hacer ahora si la suma voy a continuar con mi signo igual por acá entonces esta expresión con la que empezamos es igual a a por x + 5 a por x + 5 más b x x menos 88 muy bien y eso / / x menos 8 x menos ocho por equis más cinco más cinco pero observa tenemos que los denominadores ya son iguales de la del con lo que empezamos y con lo que terminamos así que para que las cosas realmente sean iguales los numeradores tienen que ser iguales entonces ahora lo que vamos a hacer es igualar el numerador entonces necesitamos bueno basta ver que x + 3 sea igual a a por x + 5 x + 5 más b x x menos 8 b x x menos 8 ya partir de aquí hay dos formas de continuar una tela enseñanza secundaria otra aprender después una más rápida vamos a empezar con la rapidez y y después platicamos de las de más vale bueno de la otra entonces la forma rápida de resolver para encontrar a y b exponer valores de x que nos permitan cancelar algunos coeficientes a qué me refiero con esto por ejemplo qué sucede si le pongo x igual a -5 entonces dejan de hacerlo por acá yo pongo x igual a igual a menos cinco si le pongo x igual a menos cinco entonces esta expresión de acá se va a cancelar porque nos va a quedar menos 5,5 déjame escribirlo con calma si pongo aquí es igual a menos cinco me queda menos 5 - 5 + 3 es igual a por menos 5,5 más b por menos cinco menos ocho menos cinco menos ocho muy bien entonces estoy aquí se va a cancelar verdad - 5,50 entonces nos va a quedar que menos 5 + 3 es decir menos 2 - 2 es igual a ver a b x menos cinco menos ocho o sea por menos 13 por menos 13 de esta forma dividiendo entre -13 tenemos que los signos menos se cancelan y por lo tanto ve es igual a 2 entre 13 entonces ahí ya tenemos el valor debe está padre ve es igual a 2 entre 13 y podemos hacer algo similar para determinar el valor de a ahora que tenemos que hacer que éste se cancele entonces evaluamos en x igual a 8 nos quedaría 11 8 más 311 es igual a aa por 8,5 o sea a 13 a más ve por x menos 80 x eso entonces esto se cancela entonces nos queda que once es igual a tres sea más 0 vale entonces ahora dividimos entre 13 y nos queda que 11 tercios 11 tercios es igual a excelente entonces ya tenemos los valores de a y b que funcionan para que estas dos expresiones sean iguales aquí este a lo podemos cambiar por 11 entre 13 11 entre 13 estévez lo podemos cambiar por dos entre 13 2 entre 13 y esto está padrísimo porque podemos irnos para carrey va para arriba y entonces ya podemos podemos escribir nuestra expresión original como si nuestra expresión original va a ser igual a aquí hay uno que teníamos que poner a uno más y ahora vamos a poner ésta saca once sobre 13 11 11 sobre 13 entre x menos ocho no voy a poner así podría suponer el 3 en el denominador si no quieres una fracción sobre creación pero bueno yo lo voy a dejar así más 2 sobre 13 2 sobre 13 / / x + 5 y listo pudimos cambiar nuestra expresión de aquí a una expresión más simple bueno podemos pensar si realmente estoy aquí es una expresión más simple porque en vez de tener un sumando ahora tenemos tres pero lo que sí es cierto es que es una suma de expresiones más simples en los cuales cada uno de ellos tiene un grado menor tanto en el numerador como en el de nómina north vale y bueno te hace estar preguntando para qué sirve esto para qué si tenemos un sumando lo convertimos en 3 a lo mejor en álgebra si por sí mismo pues no sirve pero esta técnica ayuda muchísimo cuando te enfrentas con problemas en cálculo y en ecuaciones diferenciales resulta que después va a ser más fácil integrar cosas de este estilo cada uno de estos suman 2 encontrarle su anti derivada que que integrar estoy acá y de manera similar cuando estés haciendo ecuaciones diferenciales va a ser más fácil encontrarla transformada de la plaza de estas expresiones que de esta expresión de la izquierda bueno entonces esta es una herramienta más para tu caja de herramientas matemáticas espero que sea de ayuda y bueno nos vamos a seguir viendo en otros videos porque este tema de fracciones parciales todavía da muchas cosas de las cuales se pueden platicar vale bueno nos vemos en próximos videos