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Contenido principal
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Transcripción del video

ahorita vamos a hacer un ejemplo un poco más complicado de descomposición en fracciones parciales este ejemplo dice lo siguiente dice 10 x al cuadrado más 12 x más 20 más 20 dividido entre x al cubo x al cubo menos 8 muy bien el primer paso es verificar que el numerador tenga grado menor estricto que el denominador y aquí si sucede en el numerador tenemos grado 2 y en el denominador tenemos grado 3 entonces bueno aquí está padre no tenemos que hacer un paso extra si tuviéramos un grado mayor o igual en el numerador entonces tendríamos que hacer una división larga para bajar el grado vale pero bueno ahorita no hay que hacer eso podemos pasar al siguiente paso y ese consiste en factorizar el denominador en encontrar sus factores vale entonces cómo le podemos hacer para factorizar este polinomio cúbico bueno usualmente eso es mucho más difícil que factorizar un polinomio cuadrática pero a lo mejor aquí tenemos un poco de suerte por ejemplo podemos utilizar esta idea si encontramos un número en el cual se anula esta expresión entonces x es el número va a ser un factor por ejemplo si ponemos x igualados nos queda 2 al cubo que es 8 menos 8 entonces nos queda 0 eso lo que nos dice es que x 2 es un factor vale o sea si tenemos un 0 x ese 0 es un factor así que déjame reescribir esto como 10 x al cuadrado x al cuadrado más 12 x más 20 más 20 y eso dividido entre x2 x menos 2 x una expresión que ahorita vamos a determinar nada más antes de determinar la déjame contarte un poco la intuición de ese truco que hice básicamente si tenemos un número que anula a esta expresión también tiene que anular a su factorización o se hace aquí se hace 0 acá también se tiene que hacer cero pero para que aquí al lado derecho se haga cero algunos de los factores debe de ser cero por eso ponemos un x menos 2 para que cuando le pongamos x igualados éste quede 0 y de adeveras el denominador se haga 0 aquí también pero vale bueno entonces ahora sí vamos a determinar quién es esta expresión y para eso vamos a utilizar división polinómica larga déjame agarrar otro color para hacerla de este lado entonces voy a agarrar color naranja y voy a poner afuera x2 x menos 2 muy bien y adentro de la casita tiene que ir x al cubo menos 8 entonces voy a poner aquí x al cubo tengo que dejar una columna para las expresiones cuadráticas una para las expresiones lineales y finalmente va la constante entonces aquí voy a poner el menos 8 vale para que todo quede muy bien ordenado no tienes por qué hacerlo así pero si no lo haces así se pueden amontonar las cosas bueno entonces hagamos la división larga cuántas veces cabe x en x al cubo pues x cuadrada va en la columna de x cuadrada hacemos la multiplicación de este x éste nos queda x al cubo menos 2x cuadrado muy bien ahora tenemos que restar tenemos que restar eso es lo mismo que sumar el negativo aquí nos quedan menos acá nos queda más estos se van aquí nos queda 2x cuadrado ahora cuántas veces cabe x en 2x cuadrada pues 2x entonces le ponemos más 2x muy bien entonces aquí está más 2x multiplicamos 2x por x2 entonces nos queda 2x cuadrada menos 4x menos 4x aquí hay 10 x sale restamos aquí es menos aquí es más estos se cancelan aquí nos queda 4 x baje al menos 8 y ahora cuántas veces cabe x en 4x pues 4 le sumamos 4 y multiplicamos 4 por x 24 x menos 8 y cuando hacemos la resta se cancela todo sale éste se va con este queda 0 y eso está padre porque justo nos dice que x 2 si es un factor así que esta expresión nos queda de la siguiente forma la voy a poner aquí abajo como 10 x al cuadrado más 12 x más 20 más 20 dividido entre x menos 2 x menos 2 x x al cuadrado + 2 x + 4 + 4 muy bien es justo lo que encontramos por acá vale bueno ahora sí vamos a hacer la descomposición en fracciones parciales y aquí es donde se complica un poco más de lo que hicimos en el vídeo anterior de hecho aquí es donde vamos a aprender más cosas entonces deja de ponerle que esto es igual a y bueno la idea es que vamos a poner una constante entre x menos 2 a entre x menos 2 hasta ahorita todo va igual pero de este lado en vez de poner arriba una constante voy a poner b x + c donde veces son constantes y en el denominador queda esta otra expresión de x al cuadrado más 12 x más 4 y me vas a decir oye pero porque se te ocurrió poner arriba un b x + y bueno la intuición detrás es que si en el denominador tenemos un término de cierto grado arriba tiene que ir uno de un grado exactamente menor o sea de sí sí aquí tenemos una expresión lineal que es de grado 1 arriba tiene que ir una expresión de grado 0 o sea una constante que acá escuadra tica arribaban de expresión lineal por eso él ve x más vale bueno esa es la idea detrás ahora también te puedes preguntar por qué no factor izamos esto todavía más y el chiste es que ya no lo vamos a poder factorizar más porque ya no va a tener raíces reales o sea si intentas aplicarle la fórmula general para encontrar otras raíces vas a ver que no funciona o bueno te va a sacar números complejos eso lo que nos dice es que aquí en los reales ya no lo podemos factorizar más ok entonces vamos súper bien tenemos que hacer ahora es realizar esta suma aquí al lado derecho dejan cambiar de color entonces de este lado tenemos que desarrollar la suma hay que poner el factor común de los denominadores que va a ser x 2 x x al cuadrado más 2 x + 4 vale y ahora está hay que multiplicarla por x al cuadrado más 2 x 4 2 x 4 y esteve x c hay que multiplicarlo por x2 entonces sería más bx + c por x 2 uf apenitas cupo déjame poner este acá entonces esta esta parte vale esto está para allá bueno entonces ya tenemos que la primera expresión es igual a esta última aquí está en rojo y aquí está como medio en rosa vuelta paso a un rosa más fuerte pero ya que tenemos esto expresado así podemos igualar los numeradores vale entonces eso es lo que voy a hacer aquí abajo necesito igualar 10 x al cuadrado más 12 x más 20 y es x al cuadrado más 12 x más 20 sin más 20 vale con a x x al cuadrado más 2 x 4 a por no sé qué dije pero es x al cuadrado más 2 x 4 ya eso tenemos que sumarle b x c b x ac y multiplicarlo por x 2 por x menos 2 muy bien ahora necesitamos encontrar a b y c para que se cumpla esta igualdad si lo hacemos de la forma lenta que no te he acabado de contar muy bien va a ser muy latosos o nos va a quedar un sistema de ecuaciones en tres variables y eso no está tan fácil de resolver mejor vamos a usar el mismo truco que en el primer vídeo y vamos a encontrar algunos valores de x que nos permitan ir cancelando las constantes de cierto lado para obtener así una ecuación muy sencilla en la otra constante vamos a ver a qué me refiero vale entonces déjame tomar este color azul y lo primero que vamos a hacer es evaluar en x igual a 2 esto lo hacemos para que esto se haga un 0 y ya no nos importa en la vela sé por qué aquí estaríamos multiplicando por 0 entonces déjame ponerle en x igualados y voy a poner una flechita para ver qué nos pasa si x es igual a 2 aquí nos queda 10 x 2 al cuadrado 2 al cuadrado es 4 entonces nos queda 40 más 12 por 224 más 20 es igual a por 2 al cuadrado que es cuatro más dos por 244 muy bien mira de este lado ya no queda nada esto se hace 0 entonces ya nos queda una ecuación lineal en a vamos a resolverla de este lado nos queda 84 84 es igual a 12 y dividiendo entre 12 a ambos lados nos queda que a es igual a 7 muy bien ya hicimos un poquito de progreso ya tenemos que a es igual a 7 vamos a seguirle entonces ahora vamos a intentar eliminar otra de las variables por ejemplo b para eliminar b podemos poner x igual a 0 y eso suena muy buena idea porque muchas cosas se van a hacer 0 entonces eso suena padre vamos a hacerlo para ver qué nos queda vamos a poner ahora en esta misma de acá arriba x igual a 0 y ahora podemos aprovechar que ya sabemos que a es igual a 7 entonces aquí nos queda 0 0 y 20 entonces nos queda que 20 es igual a que es 7 x 0 0 4 por 4 más estévez no nos importa porque se multiplica por 0 más se hace por 0 - 2 o sea por menos 2 por menos 2 muy bien entonces que nos queda nos queda que 20 es igual a 28 menos 2 c pasamos el 28 a la izquierda o restamos 28 de ambos lados como quieras pensarlo nos queda que menos 8 y es igual a menos 2 c y dividiendo entre menos 2 ambos lados de la igualdad nos queda que se es igual a 4 esto está fantástico ya tenemos dos de las variables muy bien ahora ya nada más nos falta determinar el valor de b y la idea para determinar el valor de b es que ya conocemos a hicimos así que vamos a poner una equis que nos simplifica las cuentas pero que no cancele a b por ejemplo x igual a 1 entonces déjame poner x igual a 1 entonces vamos a poner por acá x igual a 1 para ver qué nos queda nos quedaría 10 más 12 más 20 10 12 20 es igual a a ya sabemos que vale 7 7 por 12 4 y 7 más ve se vale 4 entonces es b más 4 x 1 - 21 menos 2 es igual a menos 1 x menos 1 vamos a realizar las operaciones intentaré no equivocarme esto de aquí nos queda 42 es igual a 49 más bueno en realidad vamos a distribuir este menos 1 entonces este va para allá éste va para acá me ve menos 4 vamos bien entonces ahora vamos a restar este 4 nos queda 42 es igual a 45 b y ahora este 45 lo restamos de ambos lados nos queda menos 3 voy a poner por acá menos 3 es igual a menos ve a menos b y por lo tanto b es igual a 3 muy bien muy muy bien está fantástico ya tenemos a b y c y por lo tanto ya podemos reescribir nuestra nuestra expresión racional con en su desarrollo en fracciones parciales entonces déjame pasar me digamos para acá si aquí tenemos la expresión entonces ahora ésta está ya no está sino que es 7 esta vez ya no es b sino que es 3 según recuerdo esta vez 3 tal vez tres y éstas no s sino que es un 4 y de esta forma la expansión o desarrollo en fracciones parciales nos queda como 7 dividido déjame ponerlo en un color un poco más notorio de que ella es la respuesta en color blanco entonces nos quedan siete dividido entre x 2 - 2 + 3 x + 4 / / / x al cuadrado más 2 x más 4 excelente y esto que estoy poniendo en el rectángulo es la respuesta al problema sale entonces como puedes ver este ejemplo estuvo mucho más complicado estuvo más largo de hacer pero espero que te haya sido de ayuda para ver otro tipo de problemas que te puedes encontrar cuando hagas ejercicios de descomposición en fracciones parciales