Desarrollo en fracciones parciales: factores repetidos

hay un tercer tipo de problemas de descomposición en fracciones parciales así que pienso que sería buena idea verlos por sí que los encuentras por ahí en algún momento en estos problemas tenemos un factor repetido en el denominador así que déjame poner un ejemplo dice 6x al cuadrado menos 19 x más 15 más 15 / / / x menos 1 x menos 1 por x menos 2 al cuadrado y este término es lo que lo hace interesante porque tenemos un factor repetido en el denominador bueno vamos a hacer la expansión en fracciones parciales el primer paso ver que el numerador tenga grado menor que el denominador aquí si pasa porque arriba es de grado 2 y abajo es de grado 3 10 grado 2 grado 1 multiplicados dan grado 3 lo puedes verificar por tu cuenta ahora uno podría pensar que al hacer el desarrollo en fracciones parciales esto va a ser igual a una cierta constante le voy a poner a dividida entre x menos 1 más otra constante ve dividida entre x2 más otra constante c otra vez dividida entre x menos 2 pero esto no va a funcionar si intentamos hacer esto simplemente vamos a sumar la b con la c y en el denominador nos va a quedar x menos 2 y nunca va a aparecer el x menos 2 al cuadrado entonces tenemos que hacer otra cosa más vale entonces te voy a contar cómo se hace esa va a ser la respuesta y después vas a pensar un poquito en por qué funciona eso vale bueno el chiste es que si tenemos que tener estos tres sumandos pero aquí en el tercero el x menos 2 tiene que estar elevado al cuadrado vale entonces tenemos que tener estos tres suman dos más o menos la intuición detrás de poner este cuadrado es que si hacemos la suma de estos dos arriba nos va a quedar algo lineal abajo algo cuadrática y eso va a coincidir con lo que hicimos en el vídeo pasado es más déjame déjame hacerlo déjame sumar estos dos de acá nada más van a ser estos 2 con este y más o menos la idea es que al realizar la suma nos va a quedar algo del estilo una constante por x más otra constante dividido entre x2 al cuadrado y entonces tenemos algo lineal de grado 1 entre algo cuadrática de grado 2 entonces bueno esto es más o menos lo que hacíamos en el vídeo pasado y esta es la intuición detrás pero bueno podríamos pasarnos mucho tiempo platicando pero mejor te dejo para que lo pienses déjame borrar esto y ya que sabemos que se tiene que escribir así con estos tres sumandos ahora sí vamos a resolver el problema entonces cómo le hacemos para determinar a b y c que cumplan con esta igualdad pues lo mismo que hemos hecho en los vídeos pasados vamos a realizar la suma de este lado este con este con este entonces al lado derecho vamos a hacer la suma de expresiones racionales y para eso necesitamos un denominador común necesitamos un factor x menos 1 necesitamos un x2 pero tiene que estar elevado al cuadrado por este sumando entonces x2 al cuadrado y ahora hay que cambiar cada uno de estos sumandos vale entonces esta y bueno aquí abajo tenía un x menos 1 le pusimos un x menos 2 al cuadrado entonces se tiene que convertir en a por x menos 2 elevado al cuadrado sale en realidad este con este se cancelan y tenemos este sumando original vamos con el de enmedio aquí ya tenemos un x menos 2 nos falta otro y un x menos uno entonces nos queda b por x menos uno por x menos 2 y finalmente hay que sumarse si ya tenemos el x2 al cuadrado y falta un x1 por equis menos uno vale otra vez x1 se cancela con x1 y nos queda se entre x2 al cuadrado y que hacemos ahora pues lo mismo que hemos hecho en los dos vídeos pasados ya tenemos que los denominadores son iguales de la primera y la última expresión ahora lo que tenemos que hacer es igualar los numeradores para poder encontrar a b y c entonces déjame igualar los numeradores nos queda que 6x al cuadrado 6x al cuadrado menos 19 x más 15 más 15 es igual a por x menos 2 al cuadrado más b por x menos 1 por x menos 2 por x 2 + c por x ó y teniendo esta igualdad ya podemos sustituir algunos valores estratégicos de x que nos permitan cancelar algunas de las variables y con eso podemos encontrar la tercera vale bueno vamos a ver qué valores de x pueden ayudar por ejemplo si ponemos aquí igual a 1 este se cancela este se cancela y podemos despejar vamos a ver cómo le hacemos para eso vale entonces le voy a poner que x es igual a 1 entonces si x es igual a 1 en el lado izquierdo nos queda 6 menos 19 mar 15 y en el lado derecho nos queda a por uno menos 2 que es menos 1 al cuadrado que es uno nada más dejó la más 0 0 esto se hace en 0 vale aquí hay un cero aquí hay un cero entonces hay seis más 15 19 6 más 15 221 - 19 2 entonces es igual a 2 muy bien ya tenemos el valor de a ahora parece ser que también es buena idea sustituir x igualados porque este se cancela y éste se cancela y podemos encontrarse entonces vamos a hacer eso vamos a poner ahora x igual a 2 si x es igual a 2 aquí nos queda 6 por 2 al cuadrado 2 al cuadrado es 4 6 por 4 es 24 - 38 que es 19 por 215 y eso es igual a éste se cancela este se cancela y nos queda por dos menos uno o sea nada más ahora le están quedando muy sencillas las las cuentas eso está padre bueno entonces se es 24 15 menos 38 24 15 39 menos 38 es 1 entonces se es igual a un muy bien que es igual a 1 y finalmente tenemos que encontrar ve pero si ponemos uno o dos entonces ve se elimina entonces debemos de poner otro valor no es obvio poner un valor para que se cancelen a hice así que mejor vamos a poner un valor que simplemente haga las cuentas sencillas vamos a poner x igual a cero eso siempre hace las cuentas sencillas entonces si ponemos x igual a cero éste se hace cero éste se hace cero y aquí nos queda un 15 15 es igual a ya conocemos el valor de 62 entonces dos por cero menos dos que es menos dos al cuadrado que es cuatro menos 2 por menos dos es cuatro más por menos uno por menos dos aquí nos quedan menos 12 estamos poniendo x igual a cero más c por menos uno pero se es uno y tenemos que ponerlo por menos uno entonces tenemos esta expresión vamos a simplificar un poco nos queda que 15 es igual a 8 más menos 1 por menos dos es 22 b - 1 - 1 y aquí podemos bueno 8 - 17 restamos 7 de ambos lados nos queda que dos veces igual a 8 2 b es igual a 8 y por lo tanto b lo voy a poner aquí b es igual a dividimos entre 2 nos queda 4 b es igual a 4 muy bien entonces con esto ya tenemos los valores de a b y c que hacen que funcione esta expansión o bien esta descomposición en fracciones parciales entonces nada más déjame reescribir la expresión acá un color blanco para que veamos que ya es la respuesta entonces la descomposición es 2 dividido entre x menos uno más bx 44 dividido entre x menos 2 más sé que es uno más bueno aquí podría quitarle los paréntesis lo voy a dejar así más uno dividido entre x menos 2 x menos 2 elevado al cuadrado vale entonces este de aquí ya es el desarrollo o la descomposición en fracciones parciales en realidad esta idea de repetir factores y poner en los sumandos que va creciendo se puede aplicar cuando este grado es mayor a 2 osea déjame déjame dar un pequeño ejemplo así más o menos esbozado entonces no sé si tuviéramos algo del estilo un polinomio dividido entre vamos a ponerle x menos a la 10 no 10 es muy grande bueno sí porque no 10 a la 10 entonces podemos utilizar exactamente el mismo truco o la misma estrategia esto en la expansión o el desarrollo en fracciones parciales se puede escribir como una constante dividido entre x menos a más otra constante dividido entre x menos a al cuadrado y aquí tenemos que seguir otra constante dividido entre x menos al cubo vamos al cubo y así sucesivamente hasta pues aquí tendríamos que usar la décima letra en la décima letra del abecedario creo que es jota si eso está dividido entre x menos a elevado a la 10 vale entonces bueno esta técnica de ir aumentando los exponentes del denominador funciona aunque tengamos un grado más grande vale y en realidad bueno esto sí fue un poco más latoso y es muy raro que te encuentres un problema así éste requería muchísimas cuentas y no es el chiste bueno al menos no en un examen en un examen te vas a encontrar máximo un problema como como este que acabamos de hacer aquí arriba oa lo mejor como el que hicimos en el vídeo pasado pero usualmente si queremos hacer cosas más complicadas que eso como algo de grado 10 tenemos que usar la computadora vale bueno pero aunque uses la computadora es bueno saber cómo se hacen los casos chiquitos en fin espero que te hayan gustado estos problemas y que te haya servido para entender un poco más acerca de la descomposición en fracciones parciales