Desigualdades racionales: un lado es cero

vamos a resolver algunos problemas de desigualdades que tienen truco a lo mejor has de pensar que casi todos los problemas de desigualdades tienen truco y si hasta cierto sentido tienes razón bueno el problema que vamos a resolver es este queremos encontrar los valores de x para los cuales x menos 1 dividido entre x más 2 x más 2 es mayor que 0 vamos a ver dos formas en las cuales se puede resolver esto para mí la primera es un poco más simple pero bueno te voy a contar las dos formas y ya tú eliges cuál cuál es la que más se te acomoda la primera forma se basa en el siguiente hecho qué sucede si queremos que una fracción sea positiva es decir qué pasa si tenemos números a ive de modo que entre b es mayor que 0 que es lo que tiene que ocurrir bueno utilizando la ley de los signos tanto el numerador como el denominador deben ser positivos o bien ambos deben ser negativos déjame poner esto así voy a poner una flecha para acá y otra flecha para acá y lo voy a escribir de este lado para que la fracción sea positiva tiene que suceder que sea mayor que 0 y que b sea mayor que 0 el numerador y el denominador mayores que 0 o bien debe suceder que sea menor que cero y ve sea menor que 0 b sea menor menor que cero entonces aquí hay un verdad déjame ponerle aquí un o tiene que suceder esto o bien tiene que suceder esto en cualquiera de las dos situaciones nos queda que la fracción es positiva bueno vamos a utilizar esta idea para resolver el problema de esta forma si queremos que la expresión x menos uno entre x más 2 sea mayor que 0 tiene que suceder una de dos cosas o bien déjame ponerlo en color rojo o bien tiene que suceder que x menos 1 sea mayor que 0 x 2 x 2 sea mayor que 0 o déjame ponerlo aquí 1 y voy a hacer el otro caso aquí a la derecha o el numerador y el denominador ambos son negativos es decir x menos uno es menor que cero y x2 x más 2 es menor que cero sale en este caso queda positivo entre positivo que es positivo y aquí queda negativo entre negativo que también es positivo bueno vamos a resolver cada uno de estos casos deja de empezar con el caso de la izquierda si sabemos que x menos 1 es mayor que 0 sumando uno de ambos lados obtenemos que x es mayor x es mayor que 1 esto viene de la desigualdad de acá y sabiendo que x + 2 es mayor que 0 podemos restar 2 de ambos lados y obtenemos que x es mayor que menos 2 entonces obtenemos estas dos condiciones para x x mayor que 1 y x mayor que menos 2 vale lo voy a poner aquí abajo necesitamos que x sea mayor que 1 y que x sea mayor que menos 2 pero observa qué sucede nos están pidiendo que x sea mayor que 1 y mayor que menos 2 pero para que las dos condiciones se cumplan basta con que x sea mayor que 1 lo voy a escribir aquí abajo basta con que x sea mayor que 1 si un número es mayor que 1 automáticamente es mayor que menos 2 pero al revés no sucede de verdad esta condición no es suficiente por sí misma mira vamos a tomar un número vamos a tomar por ejemplo x igualados si lo ponemos x igualados nos queda 2 menos uno o sea 1 entre 2 más 2 que que es 4 nos quedaría un cuarto y en efecto un cuarto es mayor que 0 muy bien entonces toda esta cadena de pensamiento de la izquierda nos lleva a que x es mayor 1 vamos ahora con el lado derecho en el lado derecho nos dicen que x menos uno es menor que cero x menos uno es menor que cero sumando uno de ambos lados nos queda que x es menor que 1 entonces esta es una de las condiciones que se deben cumplir y la otra es x + 2 menor que 0 x2 menor que cero restando dos de ambos lados tenemos que x es menor que menos 2 de modo que aquí necesitamos tanto ésta como ésta necesitamos que x sea menor que 1 y que x x sea menor que menos 2 pero como lo hicimos aquí a la izquierda pues estas dos condiciones se pueden resumir simplemente a una x menor que menos 2 porque cualquier número cualquier número menor que menos 2 también es menor que 1 entonces lo voy a poner aquí x es menor que menos 2 muy bien menor que menos 2 con esto ya resolvimos cada uno de los casos y observa que aquí arriba hay un o este o lo que quiere decir es que cualquiera de estas dos ramas cualquiera de estos dos caminos nos lleva a una solución entonces este o lo podemos poner aquí abajo así que las soluciones son o bien x es mayor que 1 o bien x es menor que menos 2 y eso podemos dibujarlo en la recta numérica de la siguiente manera aquí voy a poner la recta numérica por aquí voy a poner el 0 por aquí que del 1 por acá que del -1 y por acá quede al menos 2 entonces queda de la siguiente manera una de las opciones es que x sea mayor que 1 entonces aquí ponemos una bolita para indicar que no agarramos el 1 pero marcamos toda esta región esto es x mayor que 1 o las otras x que funcionan son las x menores que menos 2 aquí ponemos bolita y tomamos esta región de acá estas son las x menores a menos 2 muy bien entonces eso sería nuestra solución esta región de acá y esta región de acá y en efecto en esta región tenemos soluciones verdad por ejemplo si le ponemos x igual a menos 3 nos queda menos 3 lo voy a hacer aquí menos 3 - 1 dividido entre menos tres más dos y esto es igual a menos 4 dividido entre menos tres más dos o sea menos uno que es igual a cuatro y en efecto esto es mayor que excelente entonces esto es la solución pero te dije que había dos formas de resolver este problema vamos a ver cómo se hace de la segunda forma y ya tú decides cuál te gusta más déjame bajar voy a resolver el problema aquí entonces otra vez tenemos que x1 / x2 x + 2 es mayor que 0 queremos resolver esto ahora otra forma de pensar cómo resolverlo es la siguiente como aquí tenemos una fracción a lo mejor es buena idea multiplicar a ambos lados de esta desigualdad por x + 2 pero aquí hay que tener cuidado cuando tenemos una desigualdad si multiplicamos a ambos lados por un número positivo entonces la desigualdad se mantiene pero si el número es negativo la desigualdad se voltea y aquí no sabemos si x + 2 es positivo o es negativo entonces vamos a analizar ambas situaciones y con eso ya vamos a tener información de si tenemos que voltear esta desigualdad o no entonces déjame otra vez hacer dos caminos una posibilidad una posibilidad es que x 2 x 2 lo voy a poner aquí x + 2 sea mayor que 0 y la otra posibilidad que voy a hacer de este lado es que x + 2 x + 2 sea menor que cero son las únicas dos posibilidades verdad es imposible que x + 2 sea cero porque sino esta expresión quedaría indefinida bueno entonces sabemos que aquí x + 2 es mayor que 0 de modo que podemos concluir que x x es mayor que menos dos simplemente restamos dos a ambos lados de esta desigualdad pero teniendo esta información ahora sí podemos multiplicar esta expresión por x + 2 de ambos lados es decir aquí tengo x menos uno dividido entre x más 2 y esto es mayor que 0 y como x + 2 es positivo puedo multiplicar aquí por x2 y acá también por x2 por x2 y esta desigualdad se conserva bueno aquí éste se cancela con este 0 x x + 12 0 y entonces esto nos dice que x 1 x menos 1 es mayor que 0 sumando uno de ambos lados nos queda que x es mayor que 1 y entonces qué sucede como podemos resumir todo esto lo podemos decir así en el caso en el cual x + 2 es mayor que 0 también necesitamos que x sea mayor que 1 o sea si x es mayor que menos 2 necesitamos que x sea mayor que 1 y como platicamos antes estas dos condiciones se pueden resumir a una misma condición basta con que x le gane a 1 con que x le gane a 1 para que también x le gane a menos 2 entonces todo este toda esta rama se resume en que x es mayor que 1 vamos al otro lado en el otro lado hay que ser cuidadosos porque ahora x + 2 es menor que cero de modo que x es menor que menos dos simplemente restamos dos de ambos lados pero ahora cuando multiplicamos por x más 2 aquí tenemos x menos uno dividido entre x2 por acá tenemos cero cero y vamos a multiplicar por x más 2 cuando multiplicamos por x + 2 como ahora es negativo cambia el signo de la desigualdad es decir si aquí tenemos un mayor que aquí debe convertirse en un menor que vale bueno simplificamos este se cancela con este 0 por x + 12 0 así que esto se resume a que x 1 x menos 1 es menor que cero y sumando uno de ambos lados nos queda que x es menor que 1 de esta forma en el caso en el que x + 2 es menor que cero o sea x es menor que menos 2 también necesitamos que x sea menor que 1 pero claramente esta es una condición más fuerte verdad todo el número que es menor que menos 2 es menor que 1 al revés no funciona por ejemplo menos 1 es menor que menos 2 pero pero nos digamos otro número este año menos 1 es menor que 1 pero no es menor que menos dos exactamente entonces esta condición si es más fuerte de modo que en este caso podemos resumir todo a x menor que menos 2 si dije eso bien a ver menos 1 si es menor que 1 pero no es menor que menos 2 entonces esta es la condición más fuerte cualquier número menor que menos 2 es menor que 1 y con eso tenemos nuestras dos soluciones x es mayor que 1 y x es menor que menos 2 creo que esté o no lleva acento pero bueno vamos a dibujar esto en la recta numérica lo voy a poner por acá ahí tenemos la recta aquí tenemos el 0 por aquí el 1 por aquí el menos 1 y por acá el menos 2 está de acá nos dice que tenemos que quedar a la izquierda de menos 2 esta es una de las regiones factibles o bien tenemos que elegir una x en la otra región x mayor que 1 ponemos una bolita y elegimos esta región que sigue para allá indefinidamente si subimos y comparamos es exactamente lo mismo verdad obtenemos la misma respuesta así que realmente pues depende de ti cuál de estas dos formas de resolver es la que vas a utilizar para resolver tus ejercicios vale las dos llevan a la solución ya cada quien elige cuál es más cómoda para cada quien eso si cualquiera de las dos necesita que pensemos con mucho cuidado qué le sucede a los signos de las desigualdades cuando multiplicamos por por expresiones positivas o negativas