Desigualdades racionales: ambos lados no son cero

resolvamos un ejercicio un poquito más complicado que el que vimos en el vídeo pasado tenemos aquí x menos 3 / x + 4 mayor o igual que 2 y este es un ejercicio un poquito más complicado porque aquí tenemos mayor o igual y además aquí no tenemos un simple pero tenemos un 2 que es mayor que 0 entonces no es el mismo ejercicio pero lo vamos a resolver casi casi que de la misma forma también lo vamos a resolver de dos formas distintas pero en este ejercicio voy a cambiar el orden entonces pues empecemos aquí una opción muy tentadora es tomar x + 4 y multiplicarlo de los dos lados de la desigualdad pero como vimos en el vídeo pasado tenemos que tener mucho cuidado con esto porque si tenemos una desigualdad y la multiplicamos por alguna cosa si esa cosa que en este caso queremos que sea x + 4 y x4 es mayor que 0 entonces multiplicar de los dos lados de la desigualdad no va a afectar la desigualdad en cambio si x + 4 es menor que cero y multiplicamos de los dos lados por x más 4 entonces tenemos que voltear esta desigualdad aunque entonces vamos a ver esos dos casos entonces en un caso lo que tenemos es que x + 4 es mayor que 0 gei mayor estricto que 0 x más 4 no puede ser igual a 0 porque si fuera igual a cero esta expresión racional no estaría bien definida aunque entonces uno de los casos es cuando x + 4 es mayor que 0 y esto es exactamente equivalente a decir que x es mayor que menos 4 ok para pasar de aquí a acá solo restamos 4 de los dos lados del mayor que y estas dos desigualdades son exactamente equivalentes entonces por el momento vamos a suponer que x es mayor que menos cuatro aunque x mayor que menos cuatro y entonces x más cuatro es mayor que cero así es que si multiplicamos x más cuatro de los dos lados de esta desigualdad la desigualdad se queda tal cual como está y tenemos x menos 3 / x + 4 tenemos por aquí un 2 y vamos a multiplicar por x + 4 de los dos lados y como x 4 es mayor que cero porque x es mayor que menos 4 y aquí teníamos mayor o igual que entonces esto se queda tal cual como está y la razón por la que hicimos esto es para que este se cancele con este y entonces nos queda que x menos 3 es mayor o igual que 2 por x 2 x + 2 por 4 que es 8 y ahora que podemos hacer bueno pues podemos restar x de los dos lados de esta desigualdad y entonces nos queda que menos 3 que es mayor o igual que 2 x menos x una x más 8 y ahora lo que podemos hacer es deshacernos de este más 8 restando 8 de los dos lados de la desigualdad y entonces nos queda que x es menor o igual que menos 3 menos 8 que es menos 11 entonces si x es mayor que menos 4 para que se satisfaga esta desigualdad x tiene que ser menor o igual que menos oms que x menor o igual que menos 11 ahora ya vieron muy bien lo que está pasando aquí estas dos cosas no pueden pasar al mismo tiempo ok x no puede ser mayor que menos 4 y menor o igual que menos 11 al mismo tiempo y bueno creo que tal vez y dibujamos una recta numérica esto va a ser más claro tenemos aquí nuestra recta numérica tenemos por aquí el 0 tenemos por aquí el menos 4 y tenemos por aquí el menos 11 bueno de hecho déjame extiendo un poco más la recta numérica pero el chiste es que x mayor que menos 4 significa que la x no toca al 4 pero que la x cualquier número que se encuentre de este lado de la recta numérica y x menor o igual que menos 11 significa que xy puede tomar el valor de 11 y puede tomar cualquier valor que esté a la izquierda de menos 11 y entonces si buscamos que x sea mayor que menos 4 y menor o igual que menos 11 estamos buscando alguna x que se encuentre dentro de los dos conjuntos al mismo tiempo pero no puede haber ni una sola equis que haga eso entonces si suponemos que x es mayor que menos 4 no tenemos ninguna solución a esta desigualdad ok entonces podemos ignorar este caso este caso nos sirve y ahora lo que nos toca es analizar el resto de los casos posibles ok entonces ya vimos que ninguna de las x es que son mayores que menos 4 puede ser solución de esta desigualdad así es que ahora tenemos que ver si alguna de las x es que son menores o iguales que menos 4 puede ser una solución a ésta igualdad ahora algo muy importante que ya habíamos visto antes es que x no puede ser igual a menos 4 porque si x es igual a menos 4 entonces aquí estamos dividiendo entre 0 y entonces esta fracción está indeterminada así es que aquí tenemos que borrar este menos y vamos a analizar el caso en que x es menor que menos 4 x menor que menos 4 ahora x es menor que menos 4 si y sólo si x + 4 es menor que cero estas dos desigualdades son equivalentes pero esta desigualdad no sirve mucho porque podemos tomar esta desigualdad que nos dice que x menos 3 / 4 es mayor o igual que 2 y podemos multiplicar de los dos lados por x + 4 x + 4 pero como x + 4 es menor que cero entonces en lugar de tener un mayor o igual como teníamos por acá la desigualdad se voltea y entonces tenemos que este es menor o igual que este otro aquí ya partir de aquí vamos a hacer prácticamente lo mismo que aquí nada más que con la desigualdad volteada de x + 4 se cancela con x + 4 y nos queda que x menos 3 es menor o igual que 2 por x 2 x + 2 por 48 entonces restamos una x de los dos lados de la desigualdad y nos queda que menos 3 es menor o igual que 2 x menos x es una x 8 y ahora queremos dejar a la equis solita entonces restamos 8 de los dos lados y nos queda menos 3 menos 8 eso es menos 11 menor o igual que equis y listo tenemos que x tiene que ser mayor o igual que menos 11 en el caso en el que x es menor que menos 4 se satisface esta desigualdad cuando x es mayor o igual que menos 11 aunque entonces podemos poner aquí nuestra recta numérica 0 - 4 - 11 entonces que nos dice esta desigualdad nos dice que x tiene que ser menor estricto que menos 4 aunque entonces x no puede ser igual a menos 4 así es que lo ponemos aquí una bolita vacía y esta desigualdad nos dice que x puede estar en cualquier lugar de estos aunque vive aquí hasta el infinito pero para este lado eso es lo que nos dice esta desigualdad esta desigualdad lo que nos dice es que x tiene que ser mayor o igual que menos 11 aunque como es un mayor o igual entonces x xi puede tomar el valor de menos son centros le ponemos un puntito cerrado por aquí x tiene que estar por aquí y puede tomar cualquier valor por acá hasta el infinito ahora lo que nosotros necesitamos es una equis que cumpla estas dos desigualdades así es que x definitivamente tiene que estar dentro de este intervalo y entonces tiene que estar en este intervalo tiene que estar en la intersección de estas dos cosas o sea tiene que estar en cualquier punto por acá que no incluye al menos cuatro pero si incluye al menos 11 todas estas x satisfacen esta desigualdad entonces pues necesito más espacio porque ahora lo que vamos a hacer es resolver esta desigualdad pero de la otra forma ok entonces vamos a volver a escribir el problema pero ahora en otro color tenemos que x menos 3 / x + 4 es mayor o igual que 2 aunque hay queremos encontrar todas las x que hacen que se satisfaga esta ecuación y espero que te acuerdes de un problema que hicimos por ahí donde teníamos a / t mayor que 0 y lo que dijimos es que a / b es mayor que 0 si sólo si hay b tienen el mismo signo o sea si es mayor que 0 y b es mayor que 0 o si a es menor que 0 y b es menor que cero que entonces vamos a hacer lo mismo con esta ecuación pero aquí tenemos el asunto de que de este lado de la desigualdad tenemos 12 en lugar de un 0 y si en serio necesitamos que haya un 0 por acá entonces la solución es restar menos dos de los dos lados de la desigualdad así es que tenemos que 3 / x + 4 menos dos es mayor o igual que 0 y aquí no tenemos ningún problema a la hora de restar el 2 no se modifica esta desigualdad recuerda que a la hora de sumar o restar las desigualdades se quedan tal cual como están el único problema el único momento en el que tenemos que poner mucha atención es cuando estamos multiplicando aquí pero aquí nada más restamos así es que todo está muy bien el único asunto es que esto no está en una forma de una fracción pero eso se arregla muy fácilmente ok porque este menos 2 lo podemos ver como una fracción de menos 2 es exactamente igual a menos 2 por 1 cierto bueno pero este uno puede tomar muchísimas formas por ejemplo puede tomar la forma de x + 4 entre x + 4 así es que esto es igual a menos 2 por x + 4 / x 4 porque además estamos suponiendo que la x es distinta de menos 4 para que esta fracción esté bien determinada entonces esto está muy bien y esto es exactamente igual a menos 2 por x más 4 - 2 por x es menos 2x y luego menos 2 x más 4 eso es menos 8 / x 4 esto de aquí es igual a menos 2 gay es exactamente igual a esto de aquí así es que podemos simplemente sustituirlo x menos 3 / x + 4 y sustituimos nuestro menos 2 - 2 y entonces tenemos aquí más - 2 x menos 8 / x + 4 y convenientemente de hecho ese es el truco principal estos dos tienen el mismo denominador ok pero bueno esto es igual a esto que es mayor o igual que 0 entonces como tiene el mismo denominador podemos sumarlo y lo que nos queda es tenemos aquí x más 4 x menos 2x eso es simplemente un menos equis y luego menos tres menos ocho eso es un -11 y queremos que esto sea mayor o igual que cero ok entonces acabamos de llevar esta desigualdad a esta forma esta forma de aquí estas dos desigualdades son exactamente equivalentes aquí está todo el proceso y esta desigualdad ya tiene la forma que estábamos buscando que es esta forma entonces ya podemos aplicar lo que vimos en este vídeo para desigualdades de esta forma aunque entonces lo que vimos en este vídeo es que el numerador y el denominador tienen que ambos ser mayores que 0 osea necesitamos que menos x menos 11 sea mayor o igual que 0 y que x más 4 sea mayor estricto que 0 tiene que ser distinto de 0 porque si no esta fracción está indeterminada y este es uno de esos dos casos en los que esta fracción es mayor o igual que 0 este es un caso entonces puede pasar esto o puede pasar que el numerador y el denominador sean menores que 0 así es que menos x menos 11 es menor o igual que 0 y el denominador es menor que 0 y x4 es menor que 0 x + 4 es menor que cero si esto pasa es porque pasan alguno de estos dos casos y si pasa alguno de estos dos casos entonces sucede esta desigualdad así es que pues vamos a analizar estos casos si menos x menos 11 es mayor o igual que 0 menos 11 tiene que ser mayor o igual que x y xi x + 4 es mayor que 0 x tiene que ser mayor que menos 4 así es que en este caso x tiene que ser menor o igual que menos 11 y también tiene que ser mayor que menos 4 así es que las dos cosas tienen que pasar pero en este momento nos damos cuenta que hay cierto problema con este caso y es el hecho de que menos 4 es mayor que menos 11 entonces no existe ni un solo número que sea mayor que menos 4 y menor que menos 11 aunque no hay ni un solo número que cumpla con estas dos desigualdades así es que este caso no nos aporta ninguna solución a la desigualdad y entonces nos vamos con el siguiente caso que íbamos a buscar x que cumplen estas dos desigualdades y si x satisface esta desigualdad menos 11 es menor o igual que x aunque hay nada máximo no la x de los dos lados y por aquí vamos a sumarle menos cuatro de los dos lados nos queda la desigualdad x menor que menos 4 entonces estamos buscando x que cumplan con estas dos desigualdades y como menos 4 si es mayor que menos 11 entonces sí puede haber x que cumplan con ambas desigualdades que tenemos aquí nuestra recta numérica al menos cuatro el menos once y entonces buscamos una equis que sea menor estricto que menos cuatro o sea aquí no tomamos al menos cuatro pero buscamos x que estén de este lado y por aquí tenemos que x tienen que ser mayor o igual que menos 11 aunque hay como este es mayor o igual entonces xy puede tomar el valor de menos 11 y estamos buscando x que sean mayores o iguales que menos 11 o sea que se encuentren por acá así es que cualquier x que se encuentre en este pedazo de recta numérica que no incluye al menos 4 pero si incluye al menos 11 es una solución a estas dos desigualdades y por lo tanto el numerador y el denominador ambos son negativos y por lo tanto su cociente es mayor o igual a cero ok pero si este cociente era mayor o igual a cero entonces se daba esta desigualdad si es que sí se encuentra entre menos 11 y menos 4 esas x satisfacen la desigualdad bueno espero que lo hayas encontrado divertido y útil y nos vemos en el próximo vídeo