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Introducción a la simplificación de expresiones racionales

Transcripción del video

cuando platicábamos acerca de fracciones hablábamos de simplificarlas o bien de ponerlas en forma reducida por ejemplo si teníamos un 3 sextos con tres textos entonces el 3 y el 6 tenían un factor en común y por tanto podríamos escribir esto como bueno el 3 simplemente es un 30 el 6 lo factory sabemos cómo 3 x 2 y ahora podríamos dividir el numerador y el denominador entre 3 para cancelar estos tres o bien pensar esta fracción como 13 entre tres por un medio y nos quedaba igual a un medio porque este tres en tres es un 1 para darte otro ejemplo para que quede clarísimo a lo que me refiero por ejemplo también si teníamos no sé 8 entre 20 y 48 entre 24 entonces podríamos para actualizar el denominador y nos quedaba 8 entre tres por 24 3 por ocho perdón porque y 43 por 8 y pensando esto como un tercio por ocho entre 8 nos quedaba que la fracción original era igual a un tercio y éste un tercio y éste un medio eran las formas simplificadas o bien reducidas de cada una de estas fracciones bueno resulta que esa misma idea también se aplica en las expresiones racionales en las cuales el numerador y el denominador ya no son números concretos sino que son expresiones que pueden tener variables déjame poner un ejemplo para mostrarte a qué me refiero digamos que tenemos no sea la expresión racional 9 x + 3 dividida dividida entre 12 x 12 x + 4 vale entonces cuál va a ser la idea vamos a actualizar el numerador el denominador para ver qué nos queda en el numerador podemos actualizar un 3 pues ambos suman dos son múltiples de tres nos quedaría 3 x 3 x + + 1 y en el denominador ambos son múltiples de 4-4 por 12 entre 433 esa x queda ahí y cuatro entre 4 es una entonces observa una vez más el numerador el denominador tienen cosas en común ahora no es un número sino que es una expresión que tiene la variable x pero aplica exactamente la misma idea que aquí arriba podemos cancelar esta expresión y esta expresión y por lo tanto esto nos quedaría igual a tres cuartos salvo un detallito que ahorita te voy a decir nada más déjame darte un ejemplo un ejemplo aquí abajo un ejemplo adicional para seguir con estas ideas imagínate que ahora nos piden simplificar x al cuadrado - 9 / / vamos a ponerles 5 x 5 x + 15 kva 5x +15 bueno otra vez vamos a actualizar el numerador y el denominador el numerador es una diferencia de cuadrados y por lo tanto se puede actualizar como como x menos tres por x + 3 x + 3 y en el denominador ambos son múltiplos de 5 sacamos el 5 nos queda 5 por x + 15 35 que estrés vale entonces observa arriba y abajo tenemos un x + 3 de forma que podemos cancelar los pero tenemos que ser cuidadosos este es el detallito que te decía o sea esta expresión si es igual a x menos tres en tres x menos tres en 35 entre 5 pero siempre y cuando pidamos una condición adicional por qué pues porque hay que ser cuidadosos que al cancelar este x +3 7 x + 3 no estamos cancelando un cero por qué porque si x + 3 fuera cero entonces estaríamos dividiendo entre 0 entonces esta expresión que es la misma que ésta no estaría definida es decir es decir esta expresión es igual a x menos tres entre 5 siempre y cuando siempre y cuando pidamos la condición adicional de que x sea distinto a menos tres a menos tres para que el denominador no se anule no se vuelva a 0 entonces eso es algo muy importante sale esta expresión y esta expresión por sí mismas no son equivalentes porque está la podemos evaluar en -3 y están o no está definida pero esta expresión con todo esto hoy la condición x distinto al menos tres si son equivalentes entonces ahí sí son equivalentes vale bueno entonces vamos aquí arriba para para volver a ver cuál sería la condición que que tenemos que cuidar aquí lo que cancelamos un 3 x + 1 arriba y abajo entonces hay que cuidar que eso no sea cero es decir tenemos que pedir que x sea distinto de de menos un tercio menos un tercio vale no hay que irse con la cinta o sea si quisiéramos graficar ye igual a 9 x + 3 entre 12 x + 4 podríamos irnos con la tentación de simplificar y decir que la gráfica es exactamente la misma que la gráfica de de ye ye igual a 13 a tres cuartos pero no la gráfica de llegar a tres cuartos es una línea horizontal a la altura tres cuartos a la dura tres cuartos está definida en todos los reales pero esta expresión tiene problemas con x igual a menos un tercio porque en el denominador tenemos un 0 vale entonces ésta sí es equivalente a ésta siempre y cuando pidamos la condición adicional x distinto de menos un tercio menos un tercio bueno creo que ahí no se ve muy bien pero aquí está escrita sales estoy acá bueno vamos a hacer otro problema para seguir preparando estas ideas este va a ser un poquito más complicado y dice lo siguiente y se simplifica x al cuadrado x al cuadrado más 6 x + 56 x + 5 está más interesante más padre / x al cuadrado - x no va a poner menos 2 - x menos dos muy bien entonces misma idea actualizamos numerado y denominador y cancelamos siendo cuidadosos vamos a actualizar el numerador cómo le hacemos para factorizar una expresión cuadrática donde el primer coeficiente es uno pues tenemos que buscar dos números que sumados nos den 6 y que multiplicados nos den 5 está fácil son 5 y 1 entonces te factoría como x + 5 x x + 1 es más vamos con el denominador otra vez vamos a factorizar lo que habrá que buscar dos números que sumados los del -1 y multiplicados del -2 11 sería x son cómodos y uno solo que el más grande debe ser negativo para que aquí nos quede menos entonces sería x menos dos por x mas no puedes verificar haciendo la multiplicación para ver que en efecto queda esto de acá pero observa una vez más nos queda x + 1 en el numerador y en el denominador entonces podemos cancelar lo podemos cancelarlo y estoy aquí es igual a la mezquita el paréntesis a x + 5 / / x menos dos pero cuidando que nunca dividamos en 30 es decir que esta cancelación se puede hacer y para eso necesitamos que x sea distinto de menos un vale entonces otra vez esta expresión y esta expresión son equivalentes siempre y cuando pidamos x distinto de -1 si no pedimos eso y nos quedamos nada más con estadía acá pues no son equivalentes porque ésta se puede evaluar en -1 y está de acá no se puede evaluar en -1 al entonces tenemos que pedir las dos para que sean equivalentes muy bien bueno vamos a hacer un último que está un poquito más complicado porque ahora la factorización no queda tan fácil y dice lo siguiente lo voy a hacer en color lo voy a hacer con los colores para que sea más claro lo que estamos haciendo no voy a hacer con este naranja brillante entonces vamos a ponerle 3x cuadrada sx cuadrada más 3 x menos 18 y eso lo vamos a dividir entre con este color rosa vamos a poner aquí abajo 12 x al cuadrado 2 x al cuadrado más 5 x menos tres creo que es como morado bueno no importa vale entonces tenemos que actualizar el numerador y el denominador ahora es un poquito más complicado porque el coeficiente principal no es uno pero podemos actualizar por agrupamiento vamos a hacer eso aquí a la derecha entonces tenemos que factorizar 39 hacer poco más acá 3x al cuadrado más 3 x menos 18 y la idea de factorizar por agrupamiento es que ahora tenemos que buscar números a y b tales que a más veces el coeficiente lineal o sea 3 y que apruebe sea el producto de los coeficientes de los extremos y tres por -18 es menos 54 haber es tan nuestro tan fácil pero pero a ver si estoy aquí es múltiplo de 9 y está en la diferencia 3 creo que 96 funcionan y ya nada más hay que elegir los signos y a igual a 9 y b igual a menos seis fue la menos seis funcionan así 9 - 639 por menos 66 54 muy bien entonces la idea de factorizar por agrupamiento es que ahora esté 3x los separamos en los humanos en un 9 x y un -6 x entonces déjame poner el 9 x con el 3 x cuadrada porque tienen el mismo signo entonces nos quedaría 3x cuadrada más 9 x menos 6 x -18 dijo puede haber puesto el 6 acá porque también es múltiplo de tres pero como los múltiplos de tres me voy a guiar por el signo vale bueno entonces este 9 x con este menos 6 x estos dos de acá son exactamente lo mismo que este 3 x así que no he cambiado nada pero ahora tenemos la ventaja de que aquí podemos actualizar un 3 x podemos ponerlo como 3 x x x + 3 sale hacer la multiplicación y queda esto y aquí podemos actualizar un 6 pues ambos son múltiplos de 6 - 6 x x + 3 18 entre 63 y menos entre menos es más ok mira eso está padre función nuestra factorización por agrupamiento aquí queda x + 3 y aquí también entonces desde distribuyendo esto nos quedaría 3 x menos 6 x x + 3 muy bien entonces la factorización de el numerador deja la copia que arriba esto es igual a 3 x menos 63 x menos seis x x + 3 con un poco de suerte en el denominador también vamos a tener algunos de estos factores déjame factorizar la que a la derecha entonces nos quedaría lo voy a copiar 2x cuadrada más 5 x menos tres ahora buscamos a y b tal que la suma sea el coeficiente lineal que acompaña la x 2 a 5 y que el producto sea el producto de los de los extremos de los coeficientes extremos dos por menos 3 - is entonces qué números sumados dan 5 y multiplicados dan menos seis pues seis y menos uno a igual a 6 ve igual a menos uno funciona vale 6 - unos 5 ó 6 por menos uno es menos seis separamos esto es de 5 x lo partimos en un 6 x y un - x el 6 lo voy a poner con el 2 porque es múltiplo de dos entonces nos quedaría 2x al cuadrado más 6 x - x men x menos tres actualizamos de aquí un 2 x actualizándose x mosqueda 2 x x x + 3 y aquí voy a factorizar un -1 por x + 3 excelente hay quedó el x + 3 que también aparece acá estos son muy buenas noticias este 2 x + 1 y esté menos uno se pueden factorizar o más bien de distribuir 2 x - 1 x x + 3 y entonces la factorización del denominador queda como dos equis menos 12 x - 1 x x + 3 buff muchísimo trabajo verdad pero bueno finalmente llegamos a nuestro resultado aquí podemos cancelar el x + 3 con el x + 3 y entonces esta expresión es igual a 3 x menos seis entre 2 x + 1 y hay que recordar la cosa que es bien importante que para poder hacer esta cancelación necesitamos pedir que x sea distinto de menos -3 vale tenemos que pedir que es más tres no sea cero muy bien espero que te haya gustado estos problemas y que ésta pues este video de simplificar expresiones racionales que sea de utilidad nos vemos hasta la próxima