Ecuaciones con expresiones racionales (ejemplo 2)

aquí tenemos una ecuación que tiene algunas expresiones racionales en ella y necesitamos encontrar las soluciones a esta ecuación así que como siempre te invito a que hagas una pausa trates de resolver este problema por tu propia cuenta es decir deberías poder descubrir qué valores de x satisfacen a esta ecuación muy bien vamos a hacerlo todos juntos y bueno cuando cuando yo veo denominadores en algunas ecuaciones digamos mi primera estrategia casi siempre es manipular estas expresiones para que ya no aparezcan denominadores entonces como sería cómo sería esto bueno pues del lado izquierdo tenemos un factor x menos 1 así que lo que podemos hacer es multiplicar de ambos lados por x menos 1 entonces del lado derecho multiplicamos por x 1 y del lado izquierdo también multiplicamos por x menos 1 muy bien entonces también tenemos un denominador x + 1 verdad del lado derecho así que lo que podríamos hacer es multiplicar de ambos lados por x + 1 entonces espero que me quepa aquí tengo que multiplicar de ambos lados por x + 1 y por supuesto tenemos que multiplicar de ambos lados para que no cambien los valores verdad entonces veamos vamos vamos a tratar de continuar pues en este caso qué es lo que va a ocurrir este factor x menos 1 se cancela con este otro por supuesto que esto siempre es válido para x distinto de 1 verdad para x distinto de uno de estos dos factores se cancelan y veamos qué es lo que nos queda del lado izquierdo entonces vamos a tener x + 1 que multiplica a este factor de aquí es decir menos 2 x + 4 - 2 x + 4 y vamos a ver qué es lo que ocurre del lado derecho bueno lo que podemos ver aquí es que estos dos factores van a multiplicar a tres entre x más 1 entonces para este primer término estos factores x + 1 se cancelarían verdad y entonces sólo tendríamos 3 que multiplica a x menos 1 eso es 3 x menos 3 verdad simplemente nos queda multiplicar 3 x x 1 y además tenemos este término digamos menos 1 que multiplica a estos dos entonces tendríamos tendríamos menos 1 que multiplica a x menos 1 y que multiplica después a x más 1 entonces en realidad lo que nosotros podemos ver es que este producto en realidad son binomios conjugados verdad entonces tendríamos una diferencia de cuadrados verdad esto sería x cuadrada menos 1 verdad entonces déjenme cambiar esto que había puesto por equis cuadrada menos 1 aquí dijimos que todo esto es x cuadrada menos 1 entonces todo esto multiplica a x cuadrada menos 1 x cuadrada menos uno entonces mejor lo sigo en otra línea para no es tan rápido muy bien entonces qué es lo que vamos a poder hacer del lado izquierdo ahorita vamos a hacer una vamos a usar la propiedad distributiva del producto así que vamos a multiplicar x x menos 2 x esto nos da menos 2 x cuadrada x x 4 nos da más 4x ahora multiplicamos 1 x menos 2 x y nos da menos 2x y 1 por 4 será 4 verdad más 4 y esto que será igual bueno pues del lado derecho lo que tenemos será 3x menos 3 3 x menos 3 y ahora tenemos menos 1 por x cuadrada que es menos x cuadrada y menos 1 x menos 1 es una verdad entonces vamos a ver si podemos simplificar un poco aquí tenemos 4 x menos 2 x todo esto simplemente será 2x entonces aquí tendríamos menos 3 + 1 verdad esto lo podremos simplemente simplificar como menos 2 y vamos a reescribir lo digamos con un color más neutral aquí vamos a tener entonces menos 2 x cuadrada más 12 x verdad desde aquí más 4 y esto será igual a menos menos equis cuadrada aquí lo tenemos verdad poniendo primero lo que tiene digamos la potencia digamos 2 aquí tendríamos menos x cuadrada luego tendríamos más 3x y luego tendríamos menos 2 verdad entonces lo que vamos a hacer y esto ya digamos lo hemos visto varias veces en ecuaciones cuadráticas es digamos igualar hacer que esta expresión quede igualada a cero es decir sumamos de ambos lados digamos por ejemplo podríamos podríamos sumar voy a hacerlo con un color morado podríamos sumar x cuadrada para cancelar de este lado pero tenemos que sumar x cuadrada también de este lado podríamos sumar menos 3 x de este lado y sumar menos 3 x de este lado y sumar 2 del lado derecho y también sumar 2 del lado izquierdo entonces qué es lo que tenemos del lado izquierdo del lado izquierdo tenemos menos 2 x cuadrada más x cuadrada esto es menos x cuadrada tenemos 2 x menos 3 x esto es menos x y 4 2 son 6 y esto será igual a bueno pues esto se cancela esto también y esto también y nos queda todo esto igual a cero verdad y como en realidad a mí no me gusta poner aquí que no me gusta que tenga el signo menos el término digamos el principal el término con la potencia 2 pues podríamos multiplicar de ambos lados por menos 1 verdad multiplicar de ambos lados por menos 1 y aquí lo que obtenemos es x cuadrada más x menos 6 igual a 0 verdad entonces ahora lo que podríamos hacer es tratar de factorizar esta expresión así que déjenme hacerlo de este lado derecho tenemos la expresión x cuadrada más x menos 6 y esta expresión la podemos factorizar pensando en dos números que multiplicados nos den menos 6 y sumados nos den 1 entonces por ejemplo podemos ver que más 3 y menos 2 funciona verdad entonces sería x + 3 x2 es igual a 0 verifiquemos + 3 x menos 2 es menos 6 y 3 más menos 2 nos da una verdad más 1 entonces esta factorización es correcta y ahora si tenemos un producto de dos números que nos da cero pues algunos de ellos tienen que ser cero entonces x + 3 es igual a 0 o bien x menos 2 es igual a 0 en el primer caso si red si restamos 3 de ambos lados tendremos que x es menos 3 o del lado derecho si tenemos que x menos 12 0 sumamos 2 de ambos lados y tenemos que x es igual a 2 verdad entonces aquí tenemos nuestras soluciones pero debemos tener cuidado de que la ecuación original no tenga términos indefinidos verdad y para tener términos indefinidos deberíamos digamos sería cuando dividimos entre 0 verdad entonces aquí para dividir entre 0 sería cuando x a uno y aquí cuando dividí digamos para dividir entre cero sería cuando x es menos 1 que no es ninguno de estos dos así que podemos estar muy seguros de que estas dos soluciones son en realidad soluciones de nuestra ecuación original si digamos en cambio alguna de las soluciones tentativas en definir algún término de la ecuación entonces digamos es decir estamos pensando cuando se anula el denominador verdad entonces en realidad serían soluciones de los pasos intermedios que hemos desarrollado por aquí pero no serían soluciones de la ecuación original sin embargo este no es el caso por lo que podemos estar completamente seguros de que estas son soluciones de la ecuación original