Ecuaciones con una expresión racional (avanzado)

resuelve la ecuación x cuadrada menos equis cuadrada menos 4 / x2 igual a 4 con la restricción de que x no puede ser igual a 2 porque no puede ser igual a 2 porque si x fuera igual a 2 esta fracción esta expresión racional estaría indeterminada porque estaríamos dividiendo entre 0 entonces pues porque nos encontramos que el valor de x satisface esta ecuación o sea resolvemos la ecuación y bueno hay muchas formas de hacerlo de hecho lo primero que se te puede ocurrir es decir ok vamos a tomar este x al cuadrado y multiplicarlo por x menos 2 entre x menos 2 para que tengan el mismo denominador y poder sumarlo con esto pero como siempre hay un camino más fácil que otro y ahorita por lo menos a mí y seguramente a ti también si has hecho los ejercicios de diferencias de cuadrados este numerador de aquí es una diferencia de cuadrados y además no es cualquier diferencia de cuadrados es una muy conveniente es x2 x x2 entonces podríamos cancelar ese x2 con el denominador y nos quedaría algo muy sencillo no entonces pues propongo que hagamos paso por paso volviendo a escribir esto tenemos que x cuadrado menos y aquí en lugar de escribir x al cuadrado menos 4 vamos a escribir x + 2 por equis menos 2 baja porque la multiplicación de estos dos es igual a esto y en el denominador tenemos x menos 2 y todo esto tiene que ser igual a 4 y estamos asumiendo y vamos a asumir a lo largo del resto del vídeo que x tiene que ser distinto de 2 pero por el momento justo como x es distinto de 2 entonces esto de aquí es distinto de 0 y por lo tanto esto entre esto es igual a 1 y entonces nos queda simplemente x + 2 por el 1 que representan estos dos aunque entonces podemos tachar los y nos queda simplemente x cuadrada menos 2 igual a 4 aunque entonces lo primero que tenemos que hacer es distribuir este signo menos dentro de este paréntesis así es que nos queda x cuadrado menos x menos 2 igual a 4 y aquí lo que queremos hacer es modificar esta ecuación para que nos quedó de la forma a x cuadrada más bx más e igual a cero ok cero porque entonces podemos factorizar este lado o utilizar la fórmula de la ecuación cuadrática que algunos los llaman la chicharronera o cualquier otro tipo de técnica que tengamos para resolver ecuaciones de segundo grado que el chiste es que queremos dejar aquí un cero y la mejor forma de hacerlo es restar cuatro de los dos lados del igual así es que nos queda x cuadrada menos x menos 6 igual a cero entonces déjame le escribo por aquí tenemos aquí x menos x menos 6 es igual a cero estamos asumiendo también que x es distinto de 2 pero bueno el chiste es que este polinomio se ve como que lo podemos factorizar fácilmente no o sea el 6 no tiene tantos factores el chiste es que buscamos dos números tales que si ponemos aquí x x y esto se va a ser igual a cero entonces buscamos dos números que es sumar aquí de tal forma que este número por este número nos quede menos 6 y como tenemos aquí un menos entonces estos dos símbolos van a ser distintos así que aquí tenemos un más algo y un menos algo y además estos dos números con todo y su signo a la hora de sumarlos nos tiene que quedar menos x entonces pensemos yo digo que es menos 3 y más dos que hay dos por menos 3 es menos 6 y 2 más menos 3 es menos 1 ya está así es la factorización de este polinomio aunque entonces ya que tenemos este polinomio factor izado de esta forma ahora sabemos que hay únicamente dos formas en las que esta multiplicación podría ser igual a cero y eso es que este paréntesis sea igual a cero o que este otro paréntesis sea igual a cero ok tenemos aquí x 2 es igual a cero x menos tres es igual a cero ahora x más 12 es igual a cero si y sólo si x es igual a menos 2 y x menos tres es igual a cero sí solo si x es igual a 3 entonces este polinomio es igual a 0 si x es igual al menos 2 o x es igual a 3 ok entonces las x que satisfacen esta ecuación que la resuelven son menos 2 y 3 pero sería muy bueno verificar nuestra respuesta entonces empecemos por verificar si x igual a menos 2 en efecto si satisface esta ecuación para hacerlo tenemos que sustituir x igual a menos 2 en la ecuación y de eso tenemos menos 2 al cuadrado que está x al cuadrado menos x cuadrada que es otra vez menos 2 al cuadrado menos cuatro menos 4 y luego aquí tenemos x menos 2 que es menos dos menos dos y tenemos que verificar que todas estas cuentas sean igual a cuatro porque si son igual a cuatro entonces está x si satisface esta ecuación si es que veamos menos dos al cuadrado eso es un 4 menos menos dos al cuadrado eso es un 4 menos 4 menos 4 y aquí tenemos menos dos menos 2 que es menos 4 pero aquí tenemos 4 menos 4 y todo esto es un cero así es que todo esto de aquí no nos importa porque es simplemente un cero y esto es simplemente 4 -0 que si es igual a 4 así es que si x igual a menos 2 si satisface la ecuación muy bien vamos a chequear si x igual a 3 también satisface esta ecuación y para hacerlo pues vamos a sustituir x igual a 3 entonces tenemos x cuadrada que es es al cuadrado - x cuadrada que es otra vez 3 al cuadrado menos 4 / x menos 2 que es 3 - 2 ok y queremos verificar si eso es igual a 4 entonces 3 al cuadrado es 9 menos 3 al cuadrado es 9 menos cuatro menos 4 y aquí tres menos 2 es un 1 así es que podemos poner esto entre paréntesis y borrar esto porque cualquier cosa entre 1 es esa misma cosa y entonces aquí tenemos nueve menos nueve que 0 y luego menos menos cuatro que simplemente 4 así es que esto también es igual a 4 y entonces x igual a 3 también satisface esta ecuación de estos dos valores son solución a esta ecuación