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Introducción a las sucesiones geométricas (avanzado)

Presentamos las sucesiones geométricas y damos algunos ejemplos. La notación usada en este video es relativamente avanzada. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

Hablemos sobre sucesiones geométricas  -sucesiones geométricas-, que son una   clase de sucesiones donde empezamos con un  cierto número y cada término siguiente es   el término anterior multiplicado por el mismo  valor. Entonces, ¿de qué estoy hablando? Bueno,   lo que haremos para obtener el segundo término  es multiplicar a por r, así obtenemos ar;   para obtener el tercer término multiplicaremos el  segundo de nuevo por r, entonces, ¿qué obtenemos?,   bueno, obtenemos ar². Si multiplicamos por r de  nuevo, obtenemos el cuarto término que es ar³,   y podemos seguir y seguir. Esta es la forma en la  que definimos una sucesión geométrica infinita;   podemos seguir y seguir y seguir y seguir.  Ahora, existen varias formas de denotar la   misma sucesión. Podemos definirla también de  manera explícita. Podemos decir que esta es la   sucesión a subíndice n que empieza en n = 1 en el  primer término y va hasta infinito con a subíndice   n igual a... Y, bueno, podemos verlo por aquí,  cualquier término de esta sucesión será ar elevado   a la... y tengamos cuidado por aquí, a es lo mismo  que ar elevado a la potencia 0, ya que r elevado a   la 0 es 1; el segundo término es ar¹, el tercer  término es ar², así que parece que el enésimo   término será ar elevado a la potencia n - 1. Y  podemos comprobarlo: si queremos, por ejemplo,   el segundo término, tenemos ar²¯¹, que es ar¹ que  es ar, funciona. Así que de esta forma podemos   definir la sucesión de manera explícita. También  podemos definirla de manera recursiva: la sucesión   a subíndice n, desde n = 1 hasta ∞, con a₁ = a,  este es el caso base, ar elevado a la 0 es sólo a,   y luego podemos decir que el término a subíndice  n es igual al término anterior a subíndice n - 1   por r, para n ≥ 2. Así que esto está diciendo:  "Mira, nuestro primer término será a -este de   aquí es a- ar⁰ es sólo a, y después cada término  siguiente será igual al término anterior por r",   que es exactamente lo que hicimos por aquí.  Así que veamos algunas sucesiones geométricas.   Por ejemplo, podemos tener la siguiente  sucesión: a subíndice n, desde n = 1 hasta ∞,   con a subíndice n igual a no sé, digamos que  el primer término es, es 20, y r, es decir, el   número por el cual multiplicamos para obtener el  siguiente término, supongamos que es 1/2, 20 (1/2)   elevado a la n - 1. ¿Cómo se ve esta sucesión?  Bueno, el primer término es 20, si n = 1, tenemos   20 (1/2) elevado a la potencia 1 - 1, es  decir, 1/2 elevado a la potencia 0, lo cual es 1,   1 x 20 es 20, y entonces el primer término es 20.  Y para obtener cada término siguiente, ¿por cuánto   tenemos que multiplicar? Bueno, en este ejemplo  estamos multiplicando por 1/2, 20 (1/2) es 10,   10 (1/2) es 5, 5 (1/2) es 2.5 pero lo escribiremos  como fracción 5/2, y 5/2 x 1/2 es 5/4, y podemos   seguir y seguir y seguir. Esta es una sucesión  geométrica. Ahora te voy a dar una sucesión nueva,   y quiero que me digas si es geométrica o no.  Digamos que empezamos en 1, después tenemos 2,   después 6, y después tenemos 24, y después tenemos  120 y podemos seguir y seguir. ¿Es geométrica esta   sucesión? Bueno, pensemos qué es lo que pasa:  para pasar de 1 a 2 multiplicamos por 2, para   pasar de 2 a 6 multiplicamos por 3, para pasar de  6 a 24 multiplicamos por 4; así que, observa:   no estamos multiplicando siempre por la misma  cantidad, mientras que, recuerda, en una sucesión   geométrica siempre debemos multiplicar por la  misma cantidad. Aquí estamos multiplicando por   cantidades distintas, es decir, esta sucesión que  acabamos de construir tiene esta forma: tenemos el   primer término; el segundo término es dos veces el  primer término, 2 • a; el tercer término es tres   veces el segundo término, es decir, 3 • 2 • a; el  cuarto término es cuatro veces el tercer término:   4 • 3 • 2 • a, y podemos seguir y seguir. Y esta  sucesión, que no es una sucesión geométrica,   también podemos definirla explícitamente como la  sucesión a subíndice n desde n = 1 hasta ∞, con a   subíndice n igual a... Y veamos: el cuarto término  es 4 factorial por a, de hecho si vemos este caso   de arriba en particular, donde a es 1, tenemos  que el primer término es 1, el segundo es 2 • 1,   el tercero es 3 • 2 • 1, el cuarto es 4 • 3 • 2  • 1, y por lo tanto a subíndice n = n factorial.   Esta sucesión que tenemos aquí, la cual no es  una sucesión geométrica, describe exactamente   esta sucesión de aquí, esta es la forma explícita  de esta sucesión y también podríamos definirla de   manera recursiva. Podemos decir: a subíndice  n desde n = 1 hasta ∞, con a subíndice 1 = 1;   este es nuestro primer término, y cada término  siguiente será igual al término anterior por n,   es decir, el segundo término es el  término anterior por 2, por lo tanto,   el término n será igual al término n - 1 • n. Y  esta es otra forma válida de definir una sucesión.