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Demostración de la fórmula de una serie aritmética finita por inducción

Transcripción del video

voy a definir una función s que depende de nuestra variable n como la suma la suma de todos de todos los números enteros positivos de todos los enteros positivos hasta n ok quizás también en algún libro lo puedas buscar como la suma de todos los naturales hasta n muy bien es lo mismo entonces esta definición de lo que es la suma pues inmediatamente me me arroja valores para cada número natural o entero positivo que yo le ponga por ejemplo qué tal que quiero calcular esta función en 3 eso me dice que voy a tomar todos los enteros positivos hasta 3 entonces es uno más 2 + 3 esto es 6 verdad uno más dos son tres tres más tres son seis por ejemplo quién sería ese de 4 s de 4 es uno más dos más tres que ahí son seis más cuatro y esto es 10 entonces esto es una función que a cada número la asocia otro número natural entonces lo que quiero hacer en este vídeo es es demostrar que aunque hay muchas formas de demostrar esto que voy a decir lo que voy a demostrar es que sn es decir puedo yo encontrar una fórmula que depende de n para esta para esta expresión y de hecho es n por n 1 sobre 2 muy bien entonces como es que lo voy a hacer pues esto va a ser una demostración por inducción una demostración por inducción y eso es una una cosa fantástica puede es una forma filosófica y muy interesante de demostrar algunas afirmaciones matemáticas lo primero que tengo que hacer es demostrar un caso base caso base aunque hay que que en realidad aquí para nuestro problema pues nuestro caso o nuestro caso base va a ser 1 ok vamos a demostrar que nuestra fórmula es cierta vamos a demostrar que la fórmula es cierta para para n igual a 1 es decir si yo tengo la suma de todos los enteros positivos hasta 1 quiero ver que la fórmula se cumple luego ya que tenemos un caso base voy a cuando ya voy a hacer el paso inductivo el paso inductivo y esto el paso inductivo es fundamental es es lo que le da razón de ser a todo esto el paso inductivo consiste en suponer suponer que la formulita es cierta para algún número natural digamos para para algún k ok digamos que que esta fórmula de aquí está que voy a enmarcar esta de aquí es cierta para algún número ok entonces lo que voy a tratar de demostrar en el paso inductivo es que la formulita va a ser cierta para el siguiente número natural es decir vamos a demostrar que si se vale para un número entonces se vale para el siguiente número entonces qué es lo que estamos haciendo tenemos digamos aquí el 1 el 2 el 3 el 4 el 5 o el 6 de así ok entonces nosotros vamos a demostrar el caso base vamos a demostrar que se vale para uno y después vamos a demostrar bueno el paso inductivo te dice bueno suponte que se vale para algún número en particular entonces se tiene que valer para el siguiente pero nosotros ya demostramos el caso base entonces se tiene que valer para el siguiente pero como se vale para dos entonces se va a tener que valer para tres y si se vale para tres se va a tener que valer para cuatro y así sucesivamente nos podemos seguir y demostrar entonces que se vale para todos los números naturales ok entonces lo que vamos a hacer es demostrar el caso base que esta formulita es cierta para cuando en es igual a 1 después vamos a suponer que la fórmula se va se vale para cierto número acá y vamos a demostrar entonces que la fórmula se vale para el siguiente número entonces empecemos con el paso inductivo ese uno por definición es la suma de todos los enteros positivos hasta uno y pues no hay otro número entero positivo más allá que el uno verdad entonces esto es sumar todos los enteros positivos hasta uno pues es uno ahora bien que nos dice la fórmula si yo sustituyó uno por uno más uno que entre dos esto es igual a uno por dos sobre dos que es dos entre dos y esto es igual a uno entonces la formulita se vale para cuando me tomo n igual a uno ok y realmente el caso base aquí me está diciendo que se va que va a ser cierto a partir de 1 en adelante por ejemplo a lo mejor para otro problema en particular puede ser 55 o algún número que tú quieras muy bien en este caso se vale a partir de 1 entonces ahora vámonos al paso inductivo vámonos al paso inductivo suponemos cierto suponemos si suponemos cierto para algún número que cierto para acá esto es que nuestra nuestra nuestra suma de todos los enteros positivos hasta acá vale lo que nos dice la fórmula cada por acá más uno entre dos muy bien entonces lo que yo quiero hacer ahora es calcular quién es la fórmula para el siguiente muy bien entonces la fórmula para el siguiente dijimos que es uno más dos más tres y así sumamos todos sumamos acá y hasta acá más uno que esté en un solo número entonces ya que tenemos esto lo que podemos hacer es agrupar de esta forma agrupamos los primeros cannes y te das cuenta los primeros acá es justamente la suma de los primeros k enteros verdad positivos entonces esto es justo la formulita de aquí tenemos la la suma de los primeros k enteros positivos me dice que vale cada por acá más 1 / 2 esto es acá porque uno sobre dos y luego le sumamos esta otra parte ahora sumamos acá más uno que es esto bueno saquemos un denominador común esto será 2 2 entre 2 es uno por acá porque amazon está por acá más uno muy bien simplemente esto es exactamente esto de aquí y ahora le sumamos dos veces acá más uno si si te fijas sólo en esta parte sólo en esta parte de aquí tenemos dos veces camas 1 / 2 pues simplemente escamas o lo que es lo que teníamos aquí ok entonces ahí es desde ahí ya lo tenemos y ahora lo que podemos hacer es factorizar camas o no acá arriba podemos factorizar camas o no en verde factorizar mosca más uno en el numerador y ahora eso multiplica a quien esto multiplica acá + 2 verdad este 22 simplemente lo que hice fue factorizar y todo esto va dividido entre 2 entonces si te das cuenta esto es lo mismo que acá más 1 x por acá más uno más uno sobre dos y qué es lo que nos diría la fórmula para acá más una verdad aquí debería ir camas uno aquí acá más uno más uno sobre dos entonces lo que acabamos de demostrar es que si se vale para cierto número acá entonces también se vale para el siguiente verdad es decir aquí aquí esta fórmula se vale para acá entonces se vale para cada mazón y como además demostramos nuestra base es decir para n igual a 1 entonces aquí ya digamos demostramos este entonces cómo se vale si se vale para cierto número se vale para el siguiente como se vale para uno entonces se vale para dos pero ahora se vale para dos y como se vale para el siguiente entonces se vale para tres y así sucesivamente verdad ahora sólo lo que hicimos fue esto la idea básica de la inducción es tener un caso base demostrar que se vale lo que uno quiera demostrar verdad en este caso sería nuestra fórmula pues el paso inductivo consiste en suponer que se vale para cierto número acá y demostrar que se vale para el siguiente ok entonces de esta forma nosotros estamos demostrando que la formulita es cierta para todos los números naturales y puedes pensar que la inducción es como como las piezas de dominó cuando las acomodas y dejas caer una como que como que funciona en cascada verdad funciona para uno y después empieza a funcionar para todos los siguientes y podemos seguir y seguir y seguir de esta forma por siempre esa es la idea de la inducción así que tenemos que esta fórmula es cierta para todos los enteros positivos