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Demostración de la fórmula de una serie aritmética finita por inducción

Transcripción del video

voy a definir una función ese que depende de nuestra variable n como la suma la suma de todos de todos los números enteros positivos de todos los enteros positivos hasta n ok quizás también en algún libro lo puede hacer es buscar cómo la suma de todos los naturales hasta n muy bien es lo mismo entonces esta definición de lo que es la suma pues inmediatamente me me arroja valores para cada número natural o entero positivo que yo le ponga por ejemplo qué tal que quiero calcular esta función en 3 eso me dice que voy a sumar todos los enteros positivos hasta tres entonces es uno más dos más tres esto es 6 verdad no más lo son 33 más tres son seis por ejemplo quién sería sd 4 sb4 es uno más dos más tres que hay son seis +4 y esto es 10 entonces esto es una función que a cada número natural la socia otro número natural entonces lo que quiero hacer en este vídeo es es demostrar que aunque hay muchas formas de demostrar esto que voy a decir lo que voy a demostrar es que s n es decir puedo yo encontrar una fórmula mixta que depende de n para ésta para esta expresión y de hecho es n por ende más uno sobre dos muy bien entonces cómo es que lo voy a hacer pues ésta va a ser una demostración por inducción una demostración por inducción y eso es una una cosa fantástica puede es una forma filosófica y muy interesante de demostrar algunas afirmaciones matemáticas lo primero que tengo que hacer es demostrar un caso base caso base aunque hay que que que en realidad aquí para nuestro problema pues nuestro caso de ohl nuestro caso va se va a ser uno aunque vamos a demostrar que nuestra fórmula es cierta vamos a demostrar que la fórmula es cierta para para en a igual a uno que ella es decir si yo tengo la suma de todos los centros positivos hasta 1 quiero ver que la fórmula se cumple luego ya que tenemos un caso base boyle ha jugado ya voy a hacer el paso inductivo el paso inductivo y esto el paso inductivo es fundamental es lo que le da razón de ser a todo esto el paso inductivo consiste en suponer suponer que la formulita es cierta para algún número natural digamos para para algún caso ok digamos que que esta fórmula y está de aquí hasta que voy a enmarcar esta de aquí es cierta para algún número key entonces lo que voy a tratar de demostrar en el paso inductivo es que la formulita va a ser cierta para el siguiente número natural es decir vamos a demostrar que sí se vale para un número entonces se vale para el siguiente número entonces qué es lo que estamos haciendo tenemos digamos aquí el 1 el 2 el 3 el 4 y el 5 o el 6 días y ok entonces nosotros vamos a demostrar el caso base vamos a demostrar que se vale para uno y después vamos a demostrar el paso inductivo te dice 'bueno supone que se vale para algún número en particular entonces se tiene que valer para el siguiente pero nosotros ya demostramos el caso base entonces se tiene que valer para el siguiente pero cómo se vale parados entonces se va a tener que valer para tres y si se vale para tres se va a tener que valer para cuatro y así sucesivamente nos podemos seguir y demostrar entonces que se vale para todos los números naturales ok entonces lo que vamos a hacer es demostrar el caso base que esta fórmula y te cierta para cuando me es igual a 1 después vamos a suponer que la fórmula se vale se vale para cierto número acá y vamos a demostrar entonces que la fórmula se vale para el siguiente número de ok entonces empecemos con el paso inductivo ese 1 por definición es la suma de todos los centros y vos hasta 1 y pues no hay otro número entero positivo más allá que el 1 verdad entonces esto es sumar todos los centros positivos hasta 1 pues es uno ahora bien que nos dice la fórmula si yo sustituyó uno por uno más uno que entre dos esto es igual a 1 x 2 sobre 232 entre dos y esto es igual a 1 entonces la formulita se vale para cuando me tomo en e igual a un ok si realmente el caso base aquí me está diciendo que se va que va a ser cierto a partir de uno en adelante por ejemplo lo mejor para otro problema en particular puede ser 55 o algún número que tú quieras muy bien en este caso se vale a partir de 1 entonces ahora vámonos al paso inductivo vámonos al paso inductivo suponemos cierto suponemos que suponemos cierto para algún número k cierto para acá esto es que nuestra fe nuestra fe nuestra suma de todos los centros positivos hasta acá vale lo que nos dice la fórmula k por camas o no entre dos muy bien entonces lo que yo quiero hacer ahora es calcular quien es la fórmula para el siguiente bien entonces la fórmula para el siguiente dijimos que es uno más dos más tres y así sumamos todos sumamos acá y hasta camas 1 y este es el mío un solo número entonces ya que tenemos esto lo que podemos hacer es agrupar de esta forma agrupamos los primeros cannes y te das cuenta los primeros acá es justamente la suma de los primeros caja enteros verdad positivos entonces esto es justo la formulita de aquí en la zona de los primeros que ante los positivos me dice que vale cada por camas 1 / 2 entonces esto es k por camas 1 sobre dos y luego le sumamos esta otra parte ahora sumamos acá más qué es esto buenos aquí hemos un denominador común será de 22 entre 12 sonó por camps porque amazon no es acá porque amazon o bien simplemente esto es exactamente esto de aquí y ahora le sumamos dos veces cada más uno si si te fijas sólo en esta parte sólo en esta parte de aquí tenemos dos veces camas 1 / 2 pues simplemente escamas o lo que es lo que teníamos aquí ley entonces ahí es desde ahí ya lo tenemos y ahora lo que podemos hacer es factorizar camas o no acá arriba podemos factorizar camas 12 verde actualizamos camas uno en el numerador y ahora eso multiplica a quien esto multiplica acá acá +2 verdad es que dos más dos simplemente lo que hice fue factorizar y todo estaba dividido entre dos entonces si te das cuenta esto es lo mismo que acá más uno por por camas uno más uno sobre dos y que es lo que nos diría la fórmula para camas una verdad aquí debería ir camas uno aquí camas uno más uno sobre dos entonces lo que acabamos de demostrar es que si se vale para cierto número acá entonces también se vale para el siguiente verdad es decir aquí aquí esta fórmula se vale para acá entonces se vale para nada más uno y como además demostramos nuestra base es decir para en iguala 1 entonces aquí ya digamos demostramos este entonces cómo se evalúa si se vale para ciertos números se vale para el siguiente cómo se vale para uno entonces se vale parados pero ahora se vale parados y cómo se vale para el siguiente entonces se vale para tres y así sucesivamente verdad ahora sólo lo que hicimos fue esto la idea básica de la inducción es tener un caso base demostrar que se vale lo que no quiera demostrar verdad en este caso sería nuestra forma después el paso inductivo consiste en suponer que él se vale para cierto número acá y demostrar que se vale para el siguiente ok entonces de esta forma nosotros estamos demostrando que la formulita es cierta para todos los números naturales y puede pensar que la inducción es como como las piezas de dominó cuando las acomoda si dejas caer una como que como que funciona en cascada verdad funciona para uno y después empieza a funcionar para todos los siguientes y podemos seguir y seguir y seguir de esta forma por siempre esa es la idea de la inducción así que tenemos que esta fórmula es cierta para todos los enteros positivos