Problema verbal de la serie geométrica infinita: decimal periódico

digamos que tenemos el número 0.4 008 y este número se repite una infinidad de veces que queremos decir con esta con esta rayita en realidad tenemos 0.4 008 y luego se repite 4 008 y se repite otra vez 4 008 muy bien y así se sigue repitiendo una infinidad de veces entonces la pregunta que te hago es como podríamos escribir este número como una suma infinita y una vez que tengas una respuesta la pregunta es se puede escribir con una serie geométrica así que te invito a que hagas una pausa para que reflexiones sobre este problema y trates de resolverlo entonces suponiendo que ya lo hiciste vamos a ver qué pasa con este número primero tenemos esta parte de aquí que lo podemos expresar simplemente como 0.4 008 y luego podemos sumar esta parte de aquí que éste no es otra cosa más que 0.000 0 4 008 muy bien simplemente sumamos esta parte de aquí 4 008 pero con 4 ceros anteriormente a la hora de sumar estos dos nos da este término digamos hasta este término rojo muy bien qué pasa si ahora le sumamos esta parte azul la parte azul será 0 punto y hay que agregar 8 ceros 1 2 3 4 5 6 7 8 y luego ponemos 4 008 y así podemos ir sumando muchos más términos verdad simplemente al ir agregando 4 ceros entonces aquí y un patrón cada término le vamos agregando cuatro ceros y por supuesto esto ya está escrito en términos de una serie verdad es una serie no es una infinidad de términos que estamos sumando ahora la pregunta es será cierto que esto es una serie geométrica vamos a ver si es cierto lo que tendríamos entonces es encontrar una proporción común veamos por cuánto habría que multiplicar este término para que podamos obtener este de este rojo entonces si nos damos cuenta estamos recorriendo el punto decimal cuatro lugares a la izquierda entonces esto es lo mismo que multiplicar por diez a la menos cuatro o lo que digamos multiplicarlo por 0.0001 que es una diezmilésima verdad vamos a ver qué pasa de este rojo a este azul por cuánto hay que multiplicar para obtener este número pues nuevamente aquí estaría el punto decimal y hay que recorrer los cuatro espacios que es lo mismo que por 10 a la menos cuatro o lo que es lo mismo 0.001 muy bien entonces como te das cuenta este número de aquí es nuestra proporción común de hecho y este éste esté sumando amarillo lo podemos escribir como 0.4 0 0 8 por 10 a la menos 4 elevado a la 0 como escribimos el término rojo esto es más 0.4 0 0 8 x 10 a la menos 4 elevado a la 1 y el término azul será ahí vamos a ponerlo en azul 0.40 08 y aquí multiplicamos por 10 a la menos 4 pero dos veces verdad primero una para alcanzar el rojo y luego otra para para hacerlo el azul y así seguimos sumando entonces realmente esto es una serie geométricas y se demás claro que es una serie geométrica y de hecho la podemos expresar con la notación usando la letra griega sigma verdad esto es lo mismo que la suma desde acá igual a cero hasta infinito de 0.4 008 que multiplica a 10 a la menos 4 y vamos aumentando cada vez más el exponente entonces aquí va nuestra acá muy bien entonces la pregunta aquí bueno ya ya resolvimos la pregunta de si lo podemos expresar como una serie y de hecho vemos que es una serie geométrica donde la proporción comunes 10 a la menos 4 la pregunta es bueno y esto cuánto vale te invito a que hagas una pausa y utilices todo lo que ya sabemos sobre series geométricas infinitas para poner esto como una fracción así que si ya lo hiciste vamos vamos a darle rienda a este problema a la solución del problema y recordemos que si tenemos una serie geométrica digamos desde acá igual a cero hasta infinito de a por el real acá la forma de calcular esto es simplemente a que es nuestro término inicial entre uno menos la proporción común entonces vamos a utilizarlo en este ejercicio nuestra a vale 0.4 0 08 y esto lo dividimos lo dividimos entre 1 - 1 - la proporción común que son 10 a la menos 40.000 11 diezmilésimos vamos a ver entonces esto a que será igual bueno uno en diezmilésimos cuántos son pues son 10.000 diezmilésimos verdad y porque los expresamos así porque esto de aquí es un diezmilésimos entonces al expresar lo de esta forma un denominador común y se vuelve muy sencilla esta resta verdad porque entonces arriba quedará o que dejarlo con los mismos colores que dará 0.4 008 todo esto dividido entre 10 mil 10.000 decimos menos un 10 milésimo que son 9 mil 999 diezmilésimos muy bien entonces como como calculamos esta esta fracción pues esto será igual a 0.4 008 que multiplica a 10 mil a 10 mil y esto lo dividimos entre no 9 1999 ok y esto es muy bonito porque 10.000 por este número es simplemente recorrer el punto decimal cuatro lugares a la derecha y entonces nos queda simplemente cuatro mil ocho entre 9999 muy bien entonces esto de aquí ya es digamos la respuesta aunque todavía podríamos simplificarlo más por ejemplo en el numerador la suma de sus dígitos son 4 y 8 que son 12 y es divisible entre 3 y claramente el de aquí abajo es divisible entre 3 así que podemos simplificarlo todavía más por ejemplo si dividimos 4 mil 84 mil 8 entre 3 nos da 3 por una son 3 y restamos y nos quedan 4 son 3 3 y 4 menos 3 es 1 y bajamos el cero luego multiplicamos por 3 3 por 3 ó 9 entonces 10 menos 9 nos da 1 bajamos el otro 0 3 por 3 son 9 10 menos 9 1 y bajamos el 8 y 3 por 6 son 18 y nos queda un residuo de 0 entonces el numerador es 1.336 / dividido entre 9 1999 y aquí bueno yo creo que ya no creo que sea no se puede simplificar a lo mejor sí pero bueno yo me quedo ya con esta respuesta esto fue muy bonito logramos expresar un decimal periódico es decir un decimal que se repite una infinidad de veces no sólo como una serie geométrica sino que además esto nos ayudó para expresar lo como una fracción utilizando la fórmula de la suma de esta serie