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Intuición acerca de la fórmula para una serie geométrica infinita

Transcripción del video

lo que quiero hacer es otra especie de demostración para calcular la suma de una serie geométrica infinita y usaremos una idea similar como cuando calculamos la suma de una serie geométrica pero finita así que digamos que yo quiero calcular esta suma la suma y vamos a empezar desde acá igual a cero hasta infinito de de nuestro término inicial que es a por nuestra proporción común elevado a la k muy bien esta es una serie geométrica infinita y a este valor a este valor vamos a llamarle s sub infinito muy bien estamos calculando la suma para una infinidad de términos muy bien entonces esto quién es esto sí sí lo vamos desarrollando pues será a por ere a la 0 muy bien sería por ere elevado a la 0 ahora qué pasa cuando k es igual a 1 tendremos a por r elevado a la 1 más digamos a por r ahora elevado al cuadrado y así podemos ir sumando todos estos términos de forma consecutiva aquí seguiría a por r al cubo más a por erre a la cuarta y así sucesivamente hasta infinito muy bien entonces aquí es en donde vamos a utilizar una técnica parecida al caso finito multiplicamos ese infinito por r ok por nuestra proporción común y eso fue lo que hicimos en el caso finito verdad hacemos r por s su infinito muy bien y esto que nos da por por supuesto esto es una especie de demostración cuando cuando nosotros jugamos con el infinito hay que hay que tener mucho cuidado hay que pensar un poco más profundo porque podemos estar haciendo cosas que no son necesariamente válidas pero en este caso si multiplicamos por r este término nos queda por ere elevado ahora la 1 más más a por ere elevada al cuadrado al cuadrado más a por ere a por ere elevado al cubo y así sucesivamente verdad estamos simplemente elevando a un exponente mayor cada cada término de esta suma muy bien entonces si nosotros restamos si nosotros restamos es decir si tenemos ese infinito - r por ese infinito verdad es decir restamos el de arriba con el de abajo esto que nos da bueno pues lo que tenemos que observar es que a poder real a ceros sobreviven o se cancela y eso simplemente es a pero ahora a por él a la 1 se cancela con este de aquí a por el real a dos se cancela con este de aquí a por el real a tres se cancelará y así sucesivamente todos estos se cancelan hasta el infinito verdad todos esos se van a cancelar ok entonces simplemente nos quedó que esta diferencia es igual a a muy bien sin embargo lo que podemos hacer aquí es factorizar ese infinito y si nosotros factor izamos ese infinito nos queda ese infinito que multiplica a uno - cr y esto debe ser igual aa muy bien entonces como nosotros realmente queríamos calcular quién es ese infinito entonces basta pasar dividiendo a 1 - r ya que hay que tener cuidado verdad hay que tener cuidado siempre vamos a dejarlo en los mismos colores tendremos ese infinito será igual a a a- entre entre 1 - 0 y el cuidado que hay que tener es que para poder dividir r no puede ser uno no puede ser uno muy bien entonces ahora ya tenemos el valor de la suma de esta serie geométrica infinita y esto es algo que a mí me parece sorprendente es es increíble pensar como una suma infinita de números puede dar un resultado finito verdad y por supuesto aquí como les decía hay que tener mucho cuidado con con todas las restricciones que estamos o que el mismo problema nos impone muy bien entonces vamos a ver un ejemplo digamos que nuestro término iniciales 5 y nuestra proporción común r es tres quintos entonces si multiplicamos cinco por tres quintos nos queda simplemente tres si multiplicamos por tres quintos nos queda tres por tres son nueve y dividido entre cinco si multiplicamos por tres quintos nos quedan nueve por tres son 27 entre 5 por 5 que son 25 si volvemos a multiplicar por tres quintos nos da 3 por 27 son 81 entre 125 que es 5 por 25 verdad y así podemos seguirnos entonces esta es una serie geométrica infinita y aquí nuestra proporción común cumple que es más chica que 1 entonces este resultado vamos a utilizarlo a es nuestro término inicial que 5 entonces esta serie geométrica vale 5 1 - la proporción común que son tres quintos entonces esto simplemente será esto será cinco entre uno menos tres quintos son dos quintos y esto lo mismo que cinco por cinco medios entonces son 25 medios esto es esto es exactamente 12.5 entonces esto es lo maravilloso de las series geométricas como pueden dar resultados finitos a partir de cosas infinitas y recordemos que todo esto funciona siempre y cuando nuestra proporción común cumple que su valor absoluto es menor que 1 ahora por qué porque tiene que pasar esto porque cada uno de estos términos tiene que irse haciendo cada vez más y más chico porque si se hacen muy grandes esto se va a disparar hacia el infinito se hace muy muy grande entonces necesitamos que el valor absoluto de nuestra proporción común sea más chico que uno de hecho uno puede ver que ya hay problemas cuando r es igual a 1 verdad esta fórmula ya no tiene sentido porque estaríamos dividiendo dividiendo entre 0 y eso no tiene sentido sin embargo si r fuera uno tendríamos aquí a más a por uno que es a más a por uno al cuadrado que es a entonces estaríamos sumando muchas muchas muchas muchas as muy bien entonces si sumamos muchas hadas pues esto claramente no no convergen se hace un número cada vez más y más grande ok sí por si por el contrario fuera menos uno por ejemplo aquí tendríamos a menos a más a menos a más a menos a y entonces esto es un valor que bout oscilando y no converge verdad va entre oscilando de esta forma aunque entonces para er igual a 1 y r igual a menos 1 no tiene sentido así que sólo nos podemos quedar con las proporciones comunes que tienen valor absoluto menor que 1 lo que es lo mismo esto esto es otra forma de decir esto es que menos 1 es menor que r y es menor que 1 para estos valores la serie geométrica se converge