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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es llegar a una expresión para hallar la suma esta suma la suma de y cuadrada de las y cuadradas de que y vale cero hasta n muy bien entonces voy a sumar los primeros en enteros elevados al cuadrado enteros no negativos digamos y esto por ejemplo empezamos en cero empezamos con cero al cuadrado más uno al cuadrado más 2 al cuadrado más 3 al cuadrado y así sumamos sucesivamente hasta llegar a n cuadrada muy bien y esto por supuesto sería muy útil encontrar una función donde tú me dices oye te doy esta este número n entonces con esa función yo pueda decirte cuánto vale esta suma desde de los cuadrados desde cero hasta n y esto por supuesto para cuando en es muy chico pues es fácil de calcular no por ejemplo si fuera hasta 3 simplemente sumamos estos pero esto de encontrar una función sería muy útil para cuando queremos en es mucho muy muy muy grandes así que vamos a vamos a pensar un poquito qué significa esto tenemos un valor de entrada en 'para nuestra función y que puede tomar por ejemplo el valor 0 1 2 3 4 en fin sale podemos seguirnos hasta cualquier número que se nos ocurra ahora bien si yo quiero calcular nuestra función que va a ser la suma desde igual a cero hasta n de y cuadrada cuánto vale esto cuando n0 bueno sumamos los cuadrados desde cero hasta 0 proceso es cero ahora si sumamos 0 al cuadrado más uno al cuadrado nos da uno qué pasa si sumamos el cuadrado más uno al cuadrado más 2 al cuadrado tenemos 0 +1 +4 que esto es 5 ahora bien si yo sumo los los cuadrados hasta el 3 tengo cero al cuadrado más uno al cuadrado más 2 al cuadrado más 3 cuadrado esto es 0 +1 más cuatro son cinco más nueve son 14 muy bien son 14 y finalmente si yo sumo todos los cuadrados hasta el 4 al cuadrado tenemos cero más uno más cuatro van cinco más nueve son 14 + 4 al cuadrado que son 16 y 16 y 14 son 30 muy bien entonces vamos a estudiar un poquito esta tabla para ver qué tipo de función podemos proponer y lo primero que vamos a hacer es qué pasa con la diferencia entre estos números por ejemplo la diferencia aquí 1 - 0 es 1 hora 5 - 1 eso es 414 -5 estos nueve y treinta menos 14 estos son 16 entonces si nos damos cuenta esta sucesión de de valores son justamente los cuadrados verdad y si porque estamos restándole a los cuadrados los los cuadrados anteriores entonces nos queda el cuadrado más grande muy bien entonces ahora qué pasa si nosotros hacemos esta diferencia si nosotros sí nosotros respetamos esto sí nos queda 4 - 1 nos da 39 menos cuatro nos da 516 menos -9 nos da 7 entonces cómo puede saber esta sucesión nos va dando más bien lo que es la diferencia de las diferencias nos da una sucesión de valores que son números consecutivos o es una progresión aritmética verdad porque si nosotros hacemos la diferencia de estos dos nos da dos la diferencia de 7 y 5 nos da dos y así sucesivamente entonces llegamos a que la diferencia de las diferencias de las diferencias es constante ahora esto último no sugiere que la función que tenemos que proponer es una función kubica y esto quedaría mucho más claro en cuanto empiece a saber un poquito más de cálculo de cálculo diferente diferencial e integral entonces lo que nos está diciendo esto que acabamos de hacer es que la función que tenemos que proponer debe ser más o menos o bueno debe kubica es decir debe ser un polinomio ubicó ok no sabemos cuáles son los coeficientes aquí es a en el cubo más bn cuadrada más cnn + d ahora bien lo que necesitamos encontrar es el valor de abc y de para que esta fórmula funcione muy bien entonces cómo podemos encontrar estos valores y eso es él esa es la razón principal por la cual empecé con esta tablita porque por ejemplo cuando en el vale cero cuando n vale cero lo que tenemos es que esta fórmula vale de sin embargo cuando n vale cero nos debe dar cero quiere decir entonces que dé tiene que ser cero y que esté realmente no no importa en la fórmula así que sólo nos quedan estas tres muy bien ahora bien vamos a estudiarlo vamos a vamos a sustituir para estos valores 1 2 y 3 muy bien entonces para cuando n vale 1 nuestra fórmula nos dice a más ve más se y nos debe dar eso uno verdad nos dice esto no se está talita nos dice que cuando n vale uno la fórmula debe valer 1 muy bien vamos a ver qué pasa cuando n vale 2 cuando n vale dos tenemos dos al cubo que son ocho que multiplica a más 2 al cuadrado que son cuatro que multiplica ave más dos por se nos debe dar cinco nos debe dar cinco muy bien y aquí como te puedes dar cuenta es un sistema de ecuaciones donde tenemos tres variables y dos ecuaciones así que necesitamos encontrar una tercera ecuación y eso lo podemos obtener para cuando n vale 3 así que quien tiene vale 3 tenemos tres al cubo que son 27 a más 3 al cuadrado que son 9 + 3 x c +3 porsche y esto debe ser exactamente 14 14 muy bien así que ahora lo que tenemos es un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas y tenemos que resolver ese este sistema para obtener nuestra fórmula que nos va a dar la suma de los primeros n cuadrados muy bien así que voy a parar a el video aquí pero te invito a que intente resolver este sistema de ecuaciones de hecho en el siguiente vídeo voy a resolverlo yo mis