Eliminar el parámetro en las ecuaciones paramétricas

vamos a ejercitar la memoria en nuestro último vídeo estábamos viendo ecuaciones paramétricas y tomamos las ecuaciones x dt era igual a haber recuérdenme x dt era una función que dependía de t y era igual a 10 + 5 veces t esto lo estamos construyendo en el último vídeo y ya dt por su parte era igual a 50 estábamos separados en el punto 50 menos 5 veces de cuadrada si nosotros gráfica vamos esto recuerdan que graficar nunca se dañó entonces lo voy a graficar otra vez y si nosotros hacemos la gráfica de estas dos ecuaciones paramétricas obteníamos una parábola se acuerdan si teníamos que en el punto donde te valía 0 eran en el punto 10 50 y empezábamos a y ahí era donde nuestro móvil empezaba a caer hacia el precipicio y hacia la nada entonces teníamos que te igual a 0 era aquí y si te valía 1 estábamos en el 15,45 y si te valía 2 estábamos por acá y si te valía 3 estábamos muy cerca de llegó a la 0 y además nuestro móvil que ahí entonces lo voy a dibujar así pero esta gráfica realmente es una parábola y los parábolas también tienen el lado izquierdo entonces vamos a suponer que te puede tomar valores negativos y lo voy a poner con color rojo entonces con el color rojo o anaranjado una combinación de los dos voy a poner lo que pasaba con tiempos negativos entonces supongamos que te vale menos 15 x menos 1 pues me da menos cinco y diez menos cinco me das cinco pero por otro lado esos en x pero en el lado de pues me queda que menos 1 al cuadrado es 15 por 15 y 50 menos 545 o sea estaría aquí ahora bien si te valdría -2 pues tenemos por acá y si te valdría menos 3 pues tenemos por acá recuerdan que estas dos como decirlo estas dos ecuaciones paramétricas lo que realmente te dan es una gráfica de una parábola y es una parábola con propiedades importantes porque lo que sí sabemos es que tenía un sentido el sentido era para ella para acá iba a nuestra parábola y nosotros cuando llegábamos al punto más alto empezábamos a caer y fíjense lo hermoso de estas ecuaciones que nos están diciendo la verdad nos están diciendo que realmente tenemos que caer hacia abajo perdón la redundancia pero es muy importante esto no están diciendo esto en nuestras ecuaciones ahora bien en el problema que teníamos era un problema real no podíamos tener tiempos negativos y si ustedes se acuerdan el tiempo estaba acotado porque de aquí en adelante caía nuestro automóvil hasta llegar con el sueldo y darse un buen trancazo pero antes de eso pues no sabíamos de hecho más bien sabíamos que venía en una vereda en un precipicio ahora bien esto nos da una idea de poder acotar el tiempo el tiempo empezaba en cero acababa pues donde tocábamos con el piso y al chocar con el piso esto nos daba que llevarle a cero y esto lo hicimos en un cálculo muy rápido a la vez pasada pero ahorita me gustaría profundizar en este cálculo si lleva de cero pues entonces podemos despejar de aquí a de cuadrada vamos a hacerlo si ya vale cero entonces tenemos que cero es igual a 50 menos 5 t cuadrada y lo que quiero yo es despejar a t bien pues ahora pasaré el otro lado el 50 y cuadrada y lo voy a pasar sumando entonces me queda que 50 cuadrada es igual a 50 y ahora si divido todo entre 5 pues me queda que te cuadrada es igual a 10 y si yo paso a la raíz me va a quedar que te es igual a la raíz de 3 entonces en este punto de aquí va a ser la raíz de igual a la raíz de 3 no quede 3 ni que estos ocho cuartos es la raíz de 10 estaba yo pensando en el resultado que de hecho la raíz de 10 es como 3 punto y cachito eso yo les había comentado en el vídeo pasado la raíz de 10 es cercano o al 3.1 por ahí anda más o menos bien entonces en el tiempo 3.1 es cuando nosotros llegamos o tocamos el suelo de hecho si se dan cuenta estamos tomando el sentido positivo de la raíz cuadrada la raíz cuadrada positiva porque si nosotros tomamos la raíz cuadrada negativa es decir menos de raíz de 10 tomaríamos con el otro extremo de nuestra parábola es decir donde corta mi parábola en el eje de las equis perfecto entonces lo que sí quiero yo contarles es que esto era en un tiempo positivo y un tiempo negativo pero nosotros sabíamos que el móvil al principio iba por el precipicio hasta que llegó un punto en el que empezó a caer si nosotros quisiéramos describir cómo se movía el móvil antes de eso pues no podríamos hacerlo pero bueno si podemos hacerlo pero no con estas mismas ecuaciones con otras ecuaciones distintas y entonces como nosotros teníamos un problema real ya tenemos acotado el tiempo el tiempo está entre el cero y la raíz de 10 bien ahora lo que yo voy a querer hacer es escribir estas ecuaciones de una manera que me graphic en una parábola pero una parábola que no dependa del tiempo sino que sea una parábola como nosotros la conocemos ya iguala a una función de x o x igual a una función de y entonces lo que voy a hacer es ahora una un proceso que se llama eliminación de parámetros con este método la idea que está detrás es quitar a la t y poner a x como función de ayer como función de x pero voy a escribir de nuevo mis ecuaciones paramétricas tengo que x es igualdad 10 más 5 t y que 50 menos 5 t cuadrada era igual a y ahora para eliminar el parámetro mi parámetro que éste lo que tengo que hacer es pues despejar de una ecuación a te voy a despejar de esta ecuación que es la más fácil ate para ello puedes sustituirlo en donde bate en y ojo se puede despejar arte de cualquier ecuación yo voy a despejar de la primera ecuación porque es una ecuación lineal y si yo despejar a de la segunda ecuación pues me tendría que quedar una raíz cuadrada por ahí que es la verdad no quiero sustituir y no me quiero meter más problemas así que pues sustituyamos me va a quedar que x menos 10 es igual a 5 t o dicho de otra manera si yo divido entre 5 pues es x en 35 menos 210 entre 52 es igual a tres días después de la primera ecuación entonces ahora lo que voy a hacer es meter a t o sea a equis entre cinco menos dos en la segunda ecuación sustituir a t en mi segunda ecuación para que me da una nueva ecuación que tengo que es igual a 50 menos 5 por t perote es x entre 5 menos dos al cuadrado todo esto elevado al cuadrado entonces pues aquí apoyo simplificar un poco y es igual a 50 voy a cambiar de color 50 menos 5 x pues el cuadrado del primero que es x cuadrado entre 25 menos dos veces el primero por el segundo o sea cuatro quintos de x más el cuadrado del segundo que es 4 y esto era y ahora hay que simplificar un poco que voy a obtener que lleva a ser igual a 50 menos 5 y ahora voy a multiplicar el menos 5 por cada uno de mis factores adentro de mi paréntesis entonces tengo que menos x cuadrada entre 5 porque pues el 5 con el 25 se van y ahora cuantos menos cinco por cuatro quintos pues es menos más 4x y menos cinco por cuatro pues es menos 20 y el 50 y el 20 yo los puedo reducir todavía entonces que me va a quedar con otro color que es igual que no lleva un poco más clara porque está estaba muy oscura y es igual a menos x cuadrada entre 5 + 4 x + 30 bien y aquí ya tengo una ecuación que solamente depende de x y nosotros teníamos o partimos de unas ecuaciones paramétricas y haciendo la eliminación del parámetros obtengo una ecuación que solamente depende de x y ya no está involucrada aquí te ahora bien qué pasaría si nosotros quisiéramos graficar esta función bueno lo primero que quiero que se den cuenta que es una parábola y si nosotros hiciéramos la gráfica con mucho cuidado de esta función vamos a obtener ni más ni menos que la parábola original la que teníamos allá arriba es decir esta de acá esta que voy a dibujar the swell va a ser nuestra parábola cuando eliminamos el parámetro bien pero yo sé que ustedes me van a preguntar ahora oye sal y entonces si teníamos dos ecuaciones paramétricas y aquí yo solamente tengo una ecuación de guía que depende de x porque es necesario tener un tercer parámetro porque es necesario tener una tercer variable t no es más fácil solamente tener esta parábola y ya pues la respuesta es no tengas mucho cuidado pues se pierde información sin el parámetro t no sabríamos si recorremos la parábola hacia él o hacia la izquierda entonces realmente lo que estamos haciendo es perdiendo información además si nosotros nos damos cuenta en la ecuación que tenemos aquí abajo ya no depende de ti entonces ya no sabríamos dónde está nuestro móvil en algún tiempo si nosotros quisiéramos saber dónde está nuestro móvil en el tiempo 1.25 pues ya no habría forma de saberlo recuerdan que en la gráfica que tenemos arriba nosotros sabíamos qué pasaba con cualquier tiempo por ejemplo aquí en el tiempo igual a cero aquí aquí en el tiempo igual a uno igual haya 2 igualdad 3 en el tiempo igual a raíz de 10 etcétera entonces lo que acabamos de ver es inservible pues las respuestas que no lo que acabamos de ver nos sirve para simplificar las cosas en alguna gráfica o en alguna idea rápida que tengamos nos va a servir la eliminación de parámetros sin embargo dese cuenta que el tener una ecuación paramétrica nos sirve mucho porque nos da información adicional de cualquier manera nos vemos en el siguiente vídeo cuídense mucho