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Eliminar el parámetro en las ecuaciones paramétricas. Ejemplo 2

Transcripción del video

hagamos un ejemplo más acerca de ecuaciones paramétricas pero esta vez voy a hacer unas ecuaciones paramétricas un poco más difíciles me voy a tomar que x va a ser igual a 3 veces el coste no de t y voy a decir que ya va a ser igual a dos veces el seno de t esta vez me quiero tomar este tipo de ecuaciones paramétricas de un grado de dificultad un poco más grande debido a que si nosotros nos recordamos como eliminábamos el parámetro en mis otro ejercicio van a decir que despeja vamos a que en una ecuación y sustituye a mohsén la otra para no quedarnos con la duda voy a hacer eso sin embargo ustedes se van a dar cuenta que no es la solución más sencilla voy a sus a tomar ahora mi segunda ecuación y de ahí voy a despejar a t entonces ya entre 2 es igual al seno de t y ahora como pasó el seno del otro lado de mi ecuación pues utilizando su función inversa y cuál es la función inversa del seno pues espero que ustedes se acuerden y me digan la función de inversa es el arco cuyo seno y entre dos dicho de otra manera el arco cuyo seno es la función inversa del seno muchas personas les agrada decir que el arco cuyo seno es igual al seno al menos uno es como otra anotación a mí en lo particular y en lo personal realmente no me gusta porque el seno a la menos uno se puede confundir o hacerse ambiguo con una potencia del seno por ejemplo muchas personas en que el arco cuyo seno de que supongamos es lo mismo que el seno a la menos uno lo voy a escribir aquí pero miren yo no me gusta escribirlo así porque puede confundirse fíjense el seno a la menos uno que estoy cuadriculado de verde se podría confundir o podría hacerse ambiguo con el seno elevado a la menos uno es decir el seno de jett todo esto elevado a la menos uno que por las leyes de los exponentes esto es lo mismo que uno entre el seno de iu y uno entre el seno del 10 de hecho la con secante de iu y realmente la co secante de jett no es la función inversa del seno por eso no me gusta esta anotación porque de hecho nosotros tenemos otra anotación para las potencias de las funciones trigonométricas dicho y yo tengo el seno cuadrado de esto por la anotación que siempre hemos utilizado es el seno de iu elevado al cuadrado esto es porque siempre hemos definido así las potencias del seno y ahora el problema se va a volver más grande si nosotros ponemos un -2 si nosotros le pusiéramos por ejemplo aquí el menos y aquí también al menos entonces esto otra vez utilizando las leyes de los exponentes que sería uno entre el seno de iu elevado al cuadrado y pues es por esa razón donde yo veo que realmente el tener el ser al menos un 9 y se vuelve un problema ambigua pero bueno ya tenemos por fin despejada t si yo ya tengo a t y ahora quiero sustituir a t en mi primera ecuación es decir estoy sustituyendo mi segunda ecuación en ecuación eliminando el parámetro obtendría que x es tres veces el coseno dt pero quien esté pues este es el arco cuyo seno es entre 2 entonces x es tres veces el coseno del arco seno y entre dos y esto suena horrible x es igual a tres veces el coseno del arco seno y entre 2 híjole yo hasta de leerlo me dan un poco de nauseas realmente trabajar con esta ecuación no es nada sencilla pues de hecho graficar esto no es nada fácil si se dan cuenta ya despeje aquí y más bien de aquí t de aquí al ate o dicho de otra manera ya expresé a x como función de y sin embargo esto se complica un poco y realmente trabajar con esto no vale la pena entonces voy a utilizar ahora la creatividad y el ingenio para hacer una forma distinta de solucionar este problema ahora al menos se puede graficar este problema voy a escribir de nuevo mis ecuaciones yo tenía que x era igual a tres veces el coseno de t y era igual a dos veces el seno de t bien ahora lo que se me ocurre es utilizar una de las identidades trigonométricas más importantes que hay espero que ustedes se acuerden de las identidades trigonométricas es muy importante que de vez en cuando repasan los vídeos que ya hemos hecho en el teatro cuando métrica que voy a usar es la que dice coseno cuadrado de supongamos en este caso t más seno cuadrado de t es igual a 1 esta es la relación pitagórica y de hecho yo tengo un vídeo dedicado a probar esta relación pitagórica es sería muy bueno que le llevan un ojo y vieran cómo lo demostré en este caso no me voy a basar en demostrar esta identidad trigonométricas simple y sencillamente la voy a utilizar entonces la voy a cuadricular de verde porque va a ser muy importante para lo que sigue por cierto ahorita que me acordé la forma de mostrar esto tenía que ver con el círculo unitario y decíamos que x era el coseno y el seno y que x cuadrada más y cuadrada igual a uno era el círculo unitario y de ahí salía esta demostración y de hecho más o menos esto es lo que voy a utilizar ahorita lo que voy a hacerte aquí es despejar al coseno y de aquí despejar al seno para meterlo en ecuación pitagórica bien entonces de aquí voy a despejar al coseno o dicho otra manera x entre 3 es igualdad coseno de t perfecto y de aquí pues voy a despejar al seno o dicho de otra manera y entre 2 es igual al seno de t y esto lo hago porque lo voy a sustituir en mi identidad que yo tengo acá entonces conocen al cuadrado quien es pues es x entre 3 al cuadrado y seno de t al cuadrado pues es de entre 2 elevado al cuadrado voy a cambiar de color para escribirlo aquí y sustituir entonces x entre 3 elevado al cuadrado es coseno cuadrado de t más quien era y entre 2 elevado al cuadrado porque ese no cuadrado claro y esto es igual a 1 perfecto y si se dan cuenta esto tiene como que una forma de elipse si esto tiene la forma de elipse es decir que esta sustitución no me iba a servir de nada para dibujar una elipse de hecho si yo viera la ecuación pasada no tendría ni idea de qué es espero que también ustedes acuerden de mis vídeos de secciones cónicas porque aquí ya se ve claramente la relación con una elipse es decir que x cuadrada entre 9 más de cuadrada entre 4 igual a 1 esto me dibuja una elipse en el plano cartesiano muy bien voy a cambiar de color para no hacerlo tan monótono no quiero ni azul ni verde ni azul claro va a ser morado entonces este es mi eje de las x y este es mi eje de las 10 y como yo dibujaba esta elipse ustedes se acuerdan pues estaba centrada en el origen porque pues porque no tenemos ni h ni acá no tenemos a nadie al lado de la equis ya nadie al lado de la y bien para ver el eje mayor veíamos quién era más grande entre 9 y 4 y nos dábamos cuenta que era 9 entonces le sacábamos su raíz cuadrada y como 9 está abajo de x habría que caminar en x 3 para la derecha y 3 para la izquierda ahora bien nos fijamos en el número que estaba abajo de la iv que es 4 y le sacábamos también su raíz entonces había que caminar 2 para arriba y 2 para abajo bien déjenme ver si puedo graficar esta elipse espero que me salga bien dibujada en el ipse así que creo que este es un buen punto para empezar a graficar la y entonces no tengo que ajustar y que quede muy bien un poquito más para arriba y ahí está perfecto ya tengo mi elipse que graficaba con mis dos ecuaciones paramétricas pero fíjense muy bien si yo tenía mis dos ecuaciones paramétricas x igual a 3 coseno de t y 12 9 t pues no estaba tan fácil ver que era una elipse de hecho si nosotros sustituyamos un parámetro en el otro pues no estaba nada fácil saber que a una elipse tuvimos que utilizar un poco de ingenio y de imaginación para darle al clavo de llegar a que era una elipse pero una cosa que quiero analizar es que estas ecuaciones paramétricas donde aparece t al pasarlas a estas ecuaciones donde no aparece t también como en el vídeo anterior perdimos información algo pasó que no sabemos cómo se recorre esta elipse no sabemos si la recordemos de derecha a izquierda o de izquierda a derecha entonces para eso hay que no olvidar las ecuaciones paramétricas e intentar utilizar algunos parámetros dt para los cuales nos sirva la idea de saber cómo podemos recorrer esta elipse ahora bien para saber cómo recorre una elipse voy a hacer una tabla como en la vez pasada en donde yo voy a poner ate algunos valores de t a x y voy a escribir de nuevo mis ecuaciones para que no se nos olvide cuáles eran mis ecuaciones será que x era igual a tres veces el coseno de t y que era igual a dos veces el seno de t y como nosotros tenemos coseno y cenó pues voy a ponerle a t valores de de radiales para no hacerlo más difícil y ponerle valores que no podamos saber cuánto es el coseno y el pse no voy a decir que te valga 0 y medios que acuérdense que primero son 90 grados y pues son 180 grados muy bien y ahora sí vamos a sustituir si te vale 0 pues el coche no de 0 1 por 3 estrés bien ya tengo el valor de x ahora qué pasará con pi medios el coche no deprime dioses 0 por 3 pues es 0 entonces pues se va no aquí no hay mucho que calcular es cero y de pi pues el coche no de pies menos uno por tres me va a quedar menos tres entonces x va a valer menos tres cuando te vale si bien ya tenemos los valores de x ahora habrá que sacar los valores de jeff vamos a sustituir el seno de cero pues es cero por dos pues es cero entonces en el primero me da cero en prime dios el seno de pri medios es uno por dos pues me va a quedar dos y de pi pues es el seno de pie 0 por 20 y entonces pues me queda cero bien ya tengo los valores de x ya tengo los valores de james ahora vamos a ver qué me sale si te vale 0 entonces x vale 3 y lleva de 0 o sea que cuando te vale 0 estoy en este punto ahora entre igualdad y medios es decir estoy creciendo late x vale cero y lleva de dos donde es ese punto en el plano cartesiano donde x valora 0 y lleva alga 2 es este de aquí aquí estoy cuando te vale y medios es decir estoy aumentando t yo le voy a aumentar t otros primeros y me va a quedar en el menos 30 entonces mover para acá voy recorriendo menos 30 es este punto de aquí y te crees y otra vez ahora sí ya notamos claramente qué es lo que está pasando mi elipse la estoy recorriendo de derecha a izquierda o dicho de otra manera pues puedo decir que mi elipse la estoy recorriendo en contra de las manecillas del reloj fíjense qué importante era tener los valores de t porque aquí ya le estoy dando un movimiento en el ipse ya sé cómo estoy recorriendo esta elipse y si no tuviera los valores de t en nuestra ecuación es paramétricas yo no podría saber cómo recorro éste elipse supongamos que tenemos de hecho un móvil moviéndose alrededor de mí él dice ya sabríamos cómo se mueve entonces las ecuaciones paramétricas me dan un sentido de modo son muy importantes y no quiero que las olviden de hecho este es un ejemplo magnífico acerca de varias cosas la primera cosa que me doy cuenta es que si yo tuviera las ecuaciones paramétricas y no hiciera la eliminación de parámetros graficar no era nada sencillo otra cosa que me doy cuenta es que el parámetro t me da la sensación de movimiento es por eso que es muy importante si yo no tengo el parámetro t que por cierto si te estuviera entre cero e infinito cero menor o igual que t menor o igual que infinito lo que estaríamos haciendo es dar vueltas y vueltas y vueltas y vueltas alrededor de mi elipse y de hecho qué pasaría si te estuviera entre infinito y en lugar de cero menos infinito entre menos infinito infinito pues seguiríamos dando vueltas y vueltas y vueltas y vueltas pero si nosotros solamente quisiéramos dar una vuelta tendríamos que estar entre cero y dos pi o sea una vuelta completa a mi elipse solamente entre cero y dos pi de hecho si se dan cuenta que en este caso es un ángulo estamos manejando a t como una unidad angular este de aquí este y lo que estamos haciendo es darle la vuelta a este ángulo cambiando su magnitud de hecho si quisiéramos que la elipse diera muchas vueltas pues tendremos que hacer el ángulo para extender a infinito bien a una de las cosas que me gustan de las ecuaciones paramétricas es que nos dan una gran idea de cómo poder resolver o cómo poder plantear unos problemas de una manera distinta el tener un parámetro muchas veces nos ayuda a la idea de movimiento o la idea de resolver un problema de una manera muy distinta espero que este vídeo se haya hecho mucho bien y les haya agradado mucho para que ustedes vean la siguiente parte en el siguiente vídeo cuídense mucho