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Demostración de la identidad trigonométrica pitagórica

CCSS.Math:
HSF.TF.C.8
,
HSF.TF.C

Transcripción del video

vamos a recordar un poco algunas definiciones de las funciones trigonométricas que salen del círculo unitario pero bueno antes recordemos que su círculo unitario un círculo unitario es justo este que tengo aquí es aquel círculo que tienen de radio 1 por lo tanto si tienen como radio 1 entonces o esperan déjenme que me la herramienta este punto de aquí es el punto 10 este de aquí es el 0.1 ok 0 en x 1 en este punto de aquí sería el menos 10 en menos 10 y este punto de aquí sería el 0,21 y es un círculo unitario porque cualquier punto que nos tomemos en este círculo no se supongamos este de aquí este punto de aquí va a tener a una distancia al origen de uno es decir que su radio es uno de lujo ok pero en algunos vídeos previos hemos visto que cuando nosotros queremos definir funciones trigonométricas sobre este círculo unitario lo que hacemos es lo siguiente nosotros tomamos a este eje de las equis fijo lo ponemos fijo y ponemos por aquí uno de los lados de este ángulo ok vamos a ponerlo más o menos así ok y nosotros nos tomamos otro de los lados que forman un ángulo a partir de este punto del origen entonces si nosotros nos tomamos por ejemplo este otro lado vamos a decir que el ángulo que se forma entre estos dos lados entre este y este de aquí le voy a poner el nombre de teta y entonces decimos que el punto en donde intersecta al círculo unitario es decir este punto de aquí tiene como coordenadas y aquí es donde entra todo lo importante acerca del círculo unitario en este punto de que tiene como coordenada en x por definición coordenada en x por definición el coche no detecta el coche no detectan justo así era como nos tomábamos la definición de este círculo trigonométrico esto en el valor de x mientras que en el valor de james la altura de este punto es decir este valor de aquí este valor de aquí tiene como coordenada seno de teta ok y justo así es la definición de las funciones trigonométricas dada este círculo trigonométrico si nosotros hacemos variar este ángulo entonces según el punto del interceptemos a este círculo unitario va a ser el coseno de ese ángulo y el seno de ese ángulo y lo padre de todo esto es que en vídeos previos nos dimos cuenta de que funciona para cualquier ángulo nosotros lo probamos para la muda de 90 grados el ángulo de 180 grados y algunos otros al final nos dimos cuenta que esta es una forma extendida de ver el soca tohá ahora utilizando este círculo trigonométrico lo que quiero ver en este vídeo es encontrar la relación de la identidad trigonométricas pitagórica y para eso quiero que veamos este círculo trigonométrico y recordemos un poco como sacar la ecuación de un círculo cuyo radio es 1 y está centrado en el origen y bueno si hacemos un poco de memoria tal vez en algunos vídeos has visto que este círculo tiene como ecuación x cuadrada x cuadrada ok más más cuadrada más cuadrada esto igual al radio al cuadrado esto igual al radio el cual dado que bueno en este caso es 1 el radio de este círculo es uno es igual a 1 elevado al cuadrado en radio elevado al cuadrado ahora primero uno elevado al cuadrado pues el mismo que uno así que lo voy a quitar de aquí y lo segundo que quiero que veas es que esta es la ecuación de un círculo cuyo radio es 1 y además está centrado en el origen ahora si nosotros decimos que este punto está en esta es la circunferencia eso quiere decir que cumple esta ecuación que tengo aquí y si cumple esta ecuación que tengo aquí entonces podemos decir que el valor del punto de este punto de x y de james cumple esta relación dicho de otra manera el coche no el coseno cuadrado del ángulo teta el coseno cuadrado de la mud o teta y pongo el coseno cuadrado porque es justo el valor que toma este en x el coste no cuadrado estoy sustituyendo aquí que es nuestro valor de x de este punto de aquí que por cierto está en la circunferencia más más bien cuadrada pero en este punto ya cuadrada vale seno de teta por lo tanto va a ser seno cuadrado de teta ok esto es exactamente igual esto es exactamente igual a 1 porque está en este círculo unitario y con esto llegamos a esta igualdad que tengo aquí que por cierto justo en el vídeo pasado habíamos dicho que ésta se llama la identidad trigonométricas pitagórica y pitagórica porque salen de las funciones trigonométricas y del teorema de pitágoras y yo te había dicho que esto es muy importante es la identidad trigonométricas más importante porque si nosotros ya sabemos no sé por ejemplo el coseno de un ángulo con esta relación de aquí ya podemos saber también el seno del ángulo y viceversa y si ya tenemos el coseno y el seno de un ángulo entonces ya también tenemos la tangente de un ángulo y todas más funciones trigonométricas y bueno si tú no entiendes bien o no recuerdas bien de dónde sale esta identidad trigonométricas del círculo unitario también puedes pensar en un teorema de pitágoras porque recuerda que estos valores de este punto que tenemos aquí coseno beteta seno beta lo que me representan son los valores de xy de james de este punto de aquí es decir que esta distancia esta distancia que tengo aquí es el coseno bueno de hecho va a ser el valor absoluto del coseno de teta y le pongo el valor absoluto porque recuerda que esta es una distancia y todas las distancias son positivas digo en este cuadrante si estamos hablando de una distancia positiva pero como este ángulo puede estar definido para cualquiera de estos cuadrantes entonces podría tomar un valor negativo ok entonces el valor absoluto del coche no detecta es esta distancia que tengo aquí por otra parte sé que esta distancia que sube es decir esta altura es mi valor de james y por lo tanto este de aquí es el valor absoluto del seno de teta ok el seno de teta y lo pongo en valor absoluto porque recuerda que es una distancia y debe ser siempre positiva y bueno puede variar en cualquier parte de este círculo y esto habla de un triángulo rectángulo este es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa vale 1 y bueno si nosotros no recordamos como encuentro esta identidad trigonométricas dado este círculo trigonométrico entonces puede utilizar el teorema de pitágoras porque yo sé que el teorema de pitágoras me dice que uno de los catetos elevado al cuadrado ambos seno de teta en valor absoluto elevado al cuadrado más más el otro de los catetos que es el valor absoluto del seno de teta más el otro de los catetos el seno de teta en valor absoluto elevado al cuadrado esto debe ser igual esto debe de ser igual a la hipotenusa elevada al cuadrado pero le imputamos en este caso vale uno a uno elevado al cuadrado que fue uno a uno elevado al cuadrado y bueno uno elevado al cuadrado es uno y lo que quiero que veas es que coseno de teta en valor absoluto elevado al cuadrado bueno pues esto es exactamente lo mismo que el coseno josé no cuadrado de teta porque al final sea el valor que tome aquí el concepto de teta si lo llevo al cuadrado siempre voy a obtener un número positivo si a esto le sumó el seno de teta en valor absoluto elevado al cuadrado bueno por cierto es lo mismo que el seno cuadrado de t está ok porque el final siempre se convierte en positivo sea negativo o positivo el seno de tdt cuando el nuevo al cuadrado se hace positivo esto es exactamente igual a uno a uno y otra vez obtuve la relación que yo quería esta relación que nosotros hemos nombrado como la identidad trigonométricas pitagórica de las funciones trigonométricas muy bien y de hecho es justo por eso que se llama identidad trigonométricas pitagórica porque sale de un teorema de pitágoras de hecho también esta es la base de cómo definimos una circunferencia y cómo encontramos su ecuación