El círculo unitario

Lo que he tratado de dibujar aquí es un círculo  unitario -círculo, círculo, unitario, unitario-,   y lo llamo unitario porque tiene un radio de valor  1: la longitud desde el centro de este eje que,   por cierto este círculo está centrado en  el origen, hacia cualquier punto de la   circunferencia va a ser igual a 1. Así que ¿cuál  será la coordenada de este punto que interseca a   la circunferencia en el eje? Bueno, la longitud de  aquí hasta acá va a ser igual a 1, la coordenada   va a ser, va a ser x = 1, y = 0. ¿Cuál será  la coordenada de este punto de acá? Bueno,   la coordenada aquí va a ser x = 0 y y va a ser  igual a 1. La coordenada de este otro punto de   acá, como ustedes pueden ver, va a ser 1, pero en  el lado negativo del eje x, así que va a ser -1   y y va a ser igual a 0. Finalmente, este  último punto de aquí abajo tiene un 1 pero en   el eje negativo de las ye por lo que va a ser...  bueno, primero la coordenada x va a ser igual   a 0 y el valor en y es -1. Aquí tenemos todas las  coordenadas principales de este círculo unitario.   Y ya que aclaramos esto, voy a dibujar un ángulo,  y para esto voy a establecer una convención para   los ángulos positivos, yo voy a establecer que  un ángulo positivo, si yo establezco que este   lado que estoy dibujando aquí -este lado rosa-  es el inicio del ángulo, el punto de partida,   un ángulo positivo va a ser aquel que voy  a dibujar en sentido antihorario, es decir,   que va a ir hacia acá en este sentido, entonces  un ángulo positivo es aquel que tiene sentido -sentido-, antihorario -antihorario-. Esta es la  convención que usaremos y que normalmente se usa   en todas partes con respecto de estos ángulos.  Se podrán imaginar que un ángulo negativo -un   ángulo negativo- pues tendrá su sentido  horario -irá en sentido, sentido horario-,   en el mismo sentido que las manecillas  del reloj. Vamos a dibujar un ángulo   positivo. Aquí comencé con esta flechita y el  ángulo positivo va a llegar más o menos aquí. Este es mi ángulo positivo y lo voy a llamar theta  [θ]. Lo que quiero hacer es pensar en este punto   de intersección entre la línea del ángulo y  la circunferencia, y digamos que este punto   va a tener unas coordenadas a,b. El objetivo  de lo que estoy haciendo aquí es cómo este   círculo unitario podría ayudarnos a extender  nuestras definiciones trigonométricas. Quiero   hacer que este ángulo θ sea parte de un triángulo  rectángulo, así que vamos a dibujar lo que nos   haría falta para convertirlo en un triángulo  rectángulo, que es hacer una línea recta acá, y aquí tener un ángulo de 90°. Veamos si podemos  calcular los lados del triángulo. Mi primera   pregunta para ustedes es: ¿cuál es el valor de  la hipotenusa? Pues la hipotenusa es el radio   de este círculo unitario y vale 1, así que esto  vale 1, y ¿cuál será la longitud de este lado,   de aquí arriba, de aquí acá? Bueno, pues va a  ser la longitud que tenga en el eje de las yes,   y viendo las coordenadas pues va a valer b,  este lado vale b. Finalmente, ¿cuál va a ser   el valor de este lado que está aquí abajo,  que voy a dibujar o resaltar en azul oscuro,   este lado de acá? Pues va a tener el valor de  la coordenada x, es decir, va a valer a. Ahora   que tenemos todo establecido, ¿cuál será el coseno  del ángulo θ? -¿cuál será el coseno del ángulo θ?-,   ¿cuál será este valor? Ah, pues para esto vamos  a usar nuestro mnemónico SOH CAH TOA -soh cah toa-, que justamente estamos en proceso de expandir, así  que de este mnemónico la parte que nos interesa   para resolver nuestra pregunta es la de CAH,  el coseno es igual al cateto adyacente entre   la hipotenusa. La longitud del cateto adyacente es  a, lo vimos aquí del adyacente a nuestro ángulo θ,   por lo que el coseno del ángulo θ es  igual al adyacente que es la letra a,   de nuestra coordenada, entre la hipotenusa que  vale 1, por lo que el coseno de θ va a ser igual   a, por lo que es igual a la coordenada x del  punto de intersección con esa circunferencia.   Ahora, pensemos en el caso de seno de θ -seno del  ángulo θ-. Vemos de nuestras definiciones, vamos   a usar ahora SOH, que es igual al cateto opuesto  entre la hipotenusa, nuestro cateto opuesto es b,   la hipotenusa sigue siendo 1, por lo que  el seno va a ser igual a b, a la coordenada   en y. ¡Qué interesante! Las coordenadas de  este punto de intersección entre el ángulo y   la circunferencia unitaria también la podemos  ver como el coseno de θ, el seno -seno- de θ.   Ahora, ¿podremos utilizar este círculo unitario  para mejorar nuestro SOH CAH TOA? Ya que este   tiene un problema, pues funciona bien cuando  nuestro ángulo es mayor a 0 y menor a 90°,   ya que siempre podemos convertirlo en un triángulo  rectángulo. Pero no nos va a funcionar cuando   el ángulo sea negativo o cuando sea mayor a  90°. Trataré de ilustrarlo aquí. Imaginemos   que tenemos aquí un triángulo rectángulo y  queremos que este ángulo vaya siendo más grande,   entonces vamos a poder hacer, seguir haciendo  triángulos rectángulos, pero va a llegar un   momento en el que, pues, aunque queramos, no vamos  a poder tener un triángulo con dos ángulos de 90°,   y en este punto es cuando deja de funcionar SOH  CAH TOA, y más aún cuando tenemos ángulos que   son mayores a 90°. Veamos si podemos usar lo que  tenemos aquí para encontrar una nueva definición   de las funciones trigonométricas como extensión  de SOH CAH TOA. En lugar de hacer referencia   a triángulos rectángulos, ahora vamos a usar  esta convención para establecer la referencia   con respecto a un círculo unitario, ya que  siempre voy a poder dibujar un ángulo dentro   de un círculo unitario. Digamos que el coseno  del ángulo θ... Lo voy a escribir aquí abajo:   el coseno del ángulo θ es igual a la  coordenada x, donde -donde- el lado terminal -terminal- del ángulo  -del ángulo- interseca al círculo -interseca, interseca- al círculo. Y esta es  mi definición de coseno de θ con respecto a   un círculo unitario, y también definimos  que el seno del ángulo θ va a ser igual a   la coordenada en y, donde el lado terminal del  ángulo interseca al círculo. Esencialmente, para   cualquier ángulo en este punto de intersección  entre el ángulo y la circunferencia, este punto   va a definir el seno y el coseno de θ. Y ¿qué  pasa con la definición de tangente de θ? Bueno,   la tangente de θ del SOH CAH TOAH podemos ver  que es el lado opuesto entre el lado adyacente,   por lo tanto, esto va a ser igual  al seno θ, que es el lado opuesto,   entre el lado adyacente que es el coseno  de θ, que en este caso viene siendo igual   a la coordenada y entre la coordenada x.  En siguientes videos veremos ejemplos de   cómo usar esta definición del círculo unitario  para evaluar algunas razones trigonométricas.