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Álgebra (todo el contenido)
Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 14
Lección 2: Definiciones de seno, coseno y tangente a partir del círculo unitarioEl círculo unitario
Aprende cómo utilizar el círculo unitario para definir seno, coseno y tangente para todos los números reales. Creado por Sal Khan.
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- Hola
También hay un error en el léxico, lo pueden notar a partir del minuto. 8:22
La palabra para denotar el corte de dos curvas, dos superficies o dos sólidos, que es respectivamente, un punto, una recta o una superficie, se le conoce como ''intersecar''.
Por lo tanto la palabra intersectar es incorrecta (Esa palabra ''no existe''), lo correcto es intersecar.
P.D. Lo pongo en la sección de ''preguntas'' para que los usuarios puedan ver el error mas rápido.
Saludos.(24 votos) - Por favor corregir este video. La definición de tangente es incorrecta.(16 votos)
- en el min. 9 aparece la definición de tag=cos/sen
Creo que es al revés. tag=sen/cos(16 votos)- cos(X)/sen(X)= cot(X) su inversa es la cotangente.(6 votos)
- En el minuto¿Por qué pusieron que la tg(θ) = cos( θ) / sen(θ) si cuando lo reemplazamos no concuerda con el resultado del sen y cos de θ que se resolvió al principio donde se halló a y b ? 9:29(11 votos)
- No sé cómo era el video hace 5 años, pero ahora ya está bien, es decir, no ponen ese error que marcas.
Espero ayude.
Stay happy, sweet and healthy!(3 votos)
- describe las identidades trigonométricas del círculo unitario(5 votos)
- Entendí por qué y=sen y x=cos en triángulos rectángulos (es decir, primer cuadrante, por ejemplo), pero no me quedó claro por qué sucede lo mismo con ángulos mayores a 90°. Cuál seria la explicación o demostración?(4 votos)
- qué relación matemática existe entre, radio, diametro, un punto interio y/o un punto de la circunferencia, gracias por tu sabiduría(3 votos)
- porque el cateto,la hipotenusa y el circulo unitario tienen como resultado los mismos valores, teniendo diferentes numeros y signos(3 votos)
- en la ultima parte del video se explica tangente, que sabemos que es cateto opuesto, sobre adyacente. en el ciculo unitario sabemos que cateto opuesto es Y y cateto adyacente es x. tambien sabemos que y = seno y x= coseno.....¿porque entonces tangente queda igual a coseno/seno? osea x/Y?(1 voto)
- No, de hecho si lo ponen como tg(θ) = sen( θ) / cos(θ), revísalo de nuevo, en el min.9:20
Espero ayude.
Stay happy, sweet and healthy!(2 votos)
- Disculpe, pero la tangente deberian de revisarla, ya que la tangente es igual a seno sobre coseno y no veceversa.
Ustedes escribieron: tang=coseno/seno=y/x
Debe ser:tang=seno/coseno=y/x(1 voto)
Transcripción del video
Lo que he tratado de dibujar aquí es un círculo
unitario -círculo, círculo, unitario, unitario-, y lo llamo unitario porque tiene un radio de valor
1: la longitud desde el centro de este eje que, por cierto este círculo está centrado en
el origen, hacia cualquier punto de la circunferencia va a ser igual a 1. Así que ¿cuál
será la coordenada de este punto que interseca a la circunferencia en el eje? Bueno, la longitud de
aquí hasta acá va a ser igual a 1, la coordenada va a ser, va a ser x = 1, y = 0. ¿Cuál será
la coordenada de este punto de acá? Bueno, la coordenada aquí va a ser x = 0 y y va a ser
igual a 1. La coordenada de este otro punto de acá, como ustedes pueden ver, va a ser 1, pero en
el lado negativo del eje x, así que va a ser -1 y y va a ser igual a 0. Finalmente, este
último punto de aquí abajo tiene un 1 pero en el eje negativo de las ye por lo que va a ser...
bueno, primero la coordenada x va a ser igual a 0 y el valor en y es -1. Aquí tenemos todas las
coordenadas principales de este círculo unitario. Y ya que aclaramos esto, voy a dibujar un ángulo,
y para esto voy a establecer una convención para los ángulos positivos, yo voy a establecer que
un ángulo positivo, si yo establezco que este lado que estoy dibujando aquí -este lado rosa-
es el inicio del ángulo, el punto de partida, un ángulo positivo va a ser aquel que voy
a dibujar en sentido antihorario, es decir, que va a ir hacia acá en este sentido, entonces
un ángulo positivo es aquel que tiene sentido -sentido-, antihorario -antihorario-. Esta es la
convención que usaremos y que normalmente se usa en todas partes con respecto de estos ángulos.
Se podrán imaginar que un ángulo negativo -un ángulo negativo- pues tendrá su sentido
horario -irá en sentido, sentido horario-, en el mismo sentido que las manecillas
del reloj. Vamos a dibujar un ángulo positivo. Aquí comencé con esta flechita y el
ángulo positivo va a llegar más o menos aquí. Este es mi ángulo positivo y lo voy a llamar theta
[θ]. Lo que quiero hacer es pensar en este punto de intersección entre la línea del ángulo y
la circunferencia, y digamos que este punto va a tener unas coordenadas a,b. El objetivo
de lo que estoy haciendo aquí es cómo este círculo unitario podría ayudarnos a extender
nuestras definiciones trigonométricas. Quiero hacer que este ángulo θ sea parte de un triángulo
rectángulo, así que vamos a dibujar lo que nos haría falta para convertirlo en un triángulo
rectángulo, que es hacer una línea recta acá, y aquí tener un ángulo de 90°. Veamos si podemos
calcular los lados del triángulo. Mi primera pregunta para ustedes es: ¿cuál es el valor de
la hipotenusa? Pues la hipotenusa es el radio de este círculo unitario y vale 1, así que esto
vale 1, y ¿cuál será la longitud de este lado, de aquí arriba, de aquí acá? Bueno, pues va a
ser la longitud que tenga en el eje de las yes, y viendo las coordenadas pues va a valer b,
este lado vale b. Finalmente, ¿cuál va a ser el valor de este lado que está aquí abajo,
que voy a dibujar o resaltar en azul oscuro, este lado de acá? Pues va a tener el valor de
la coordenada x, es decir, va a valer a. Ahora que tenemos todo establecido, ¿cuál será el coseno
del ángulo θ? -¿cuál será el coseno del ángulo θ?-, ¿cuál será este valor? Ah, pues para esto vamos
a usar nuestro mnemónico SOH CAH TOA -soh cah toa-, que justamente estamos en proceso de expandir, así
que de este mnemónico la parte que nos interesa para resolver nuestra pregunta es la de CAH,
el coseno es igual al cateto adyacente entre la hipotenusa. La longitud del cateto adyacente es
a, lo vimos aquí del adyacente a nuestro ángulo θ, por lo que el coseno del ángulo θ es
igual al adyacente que es la letra a, de nuestra coordenada, entre la hipotenusa que
vale 1, por lo que el coseno de θ va a ser igual a, por lo que es igual a la coordenada x del
punto de intersección con esa circunferencia. Ahora, pensemos en el caso de seno de θ -seno del
ángulo θ-. Vemos de nuestras definiciones, vamos a usar ahora SOH, que es igual al cateto opuesto
entre la hipotenusa, nuestro cateto opuesto es b, la hipotenusa sigue siendo 1, por lo que
el seno va a ser igual a b, a la coordenada en y. ¡Qué interesante! Las coordenadas de
este punto de intersección entre el ángulo y la circunferencia unitaria también la podemos
ver como el coseno de θ, el seno -seno- de θ. Ahora, ¿podremos utilizar este círculo unitario
para mejorar nuestro SOH CAH TOA? Ya que este tiene un problema, pues funciona bien cuando
nuestro ángulo es mayor a 0 y menor a 90°, ya que siempre podemos convertirlo en un triángulo
rectángulo. Pero no nos va a funcionar cuando el ángulo sea negativo o cuando sea mayor a
90°. Trataré de ilustrarlo aquí. Imaginemos que tenemos aquí un triángulo rectángulo y
queremos que este ángulo vaya siendo más grande, entonces vamos a poder hacer, seguir haciendo
triángulos rectángulos, pero va a llegar un momento en el que, pues, aunque queramos, no vamos
a poder tener un triángulo con dos ángulos de 90°, y en este punto es cuando deja de funcionar SOH
CAH TOA, y más aún cuando tenemos ángulos que son mayores a 90°. Veamos si podemos usar lo que
tenemos aquí para encontrar una nueva definición de las funciones trigonométricas como extensión
de SOH CAH TOA. En lugar de hacer referencia a triángulos rectángulos, ahora vamos a usar
esta convención para establecer la referencia con respecto a un círculo unitario, ya que
siempre voy a poder dibujar un ángulo dentro de un círculo unitario. Digamos que el coseno
del ángulo θ... Lo voy a escribir aquí abajo: el coseno del ángulo θ es igual a la
coordenada x, donde -donde- el lado terminal -terminal- del ángulo
-del ángulo- interseca al círculo -interseca, interseca- al círculo. Y esta es
mi definición de coseno de θ con respecto a un círculo unitario, y también definimos
que el seno del ángulo θ va a ser igual a la coordenada en y, donde el lado terminal del
ángulo interseca al círculo. Esencialmente, para cualquier ángulo en este punto de intersección
entre el ángulo y la circunferencia, este punto va a definir el seno y el coseno de θ. Y ¿qué
pasa con la definición de tangente de θ? Bueno, la tangente de θ del SOH CAH TOAH podemos ver
que es el lado opuesto entre el lado adyacente, por lo tanto, esto va a ser igual
al seno θ, que es el lado opuesto, entre el lado adyacente que es el coseno
de θ, que en este caso viene siendo igual a la coordenada y entre la coordenada x.
En siguientes videos veremos ejemplos de cómo usar esta definición del círculo unitario
para evaluar algunas razones trigonométricas.