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Sumar vectores en la forma de magnitud y dirección (1 de 2)

Transcripción del video

en esta ocasión tenemos aquí a dos vectores el vector am que es este que estoy representando de color azul el cual tiene una magnitud de 3 y además tiene un ángulo de 30 grados con respecto a la horizontal o podríamos decir con respecto al eje de las x al eje positivo de las equis que bueno no he dibujado aquí pero vamos a hablar también de este otro vector el vector b el cual tiene una magnitud de 2 es decir la longitud de este vector es 2 y además tiene una dirección de 135 grados con respecto al eje horizontal al eje positivo de las equis y bueno lo que quiero hacer en este vídeo y tal vez en el siguiente es pensar cuál va a ser la magnitud y la dirección de la suma de estos dos vectores es decir yo lo que quiero saber es cuál va a ser la magnitud y la dirección de la suma de este vector a ok este que tenemos aquí este vector ve a esto le voy a sumar este vector b y yo lo que quiero saber es qué es lo que va a pasar con la suma de estos dos vectores ahora lo que quiero que hagas en este vídeo es que lo intente resolver por ti mismo y para eso sería muy bueno que pausar el vídeo e intentes llegar a una respuesta bueno una forma de obtener esto es primero descomponiendo cada uno de los vectores en sus componentes verticales y horizontales así como por ejemplo este vector am lo podemos descomponer y déjame tomar un nuevo color y lo podemos descomponer en un vector horizontal este vector horizontal que estoy dibujando justo aquí ok a este vector a lo podemos ver como la suma de este vector la suma de este vector horizontal más adam pues un nuevo vector y déjame tomar este color más otro vector vertical más este vector vertical que estoy dibujando justo aquí ok si nosotros nos tomamos la suma de este vector horizontal más este vector vertical entonces vamos a obtener el vector am y bueno esto no es otra cosa más que una versión escalada del vector unitario y a mí déjame ponerlo así si tenemos por ejemplo por aquí y déjame ver que este sea mi vector unitario aquí tengo uno 23 ok entonces más o menos director y se vería así mi vector y es el vector unitario en la dirección horizontal este de aquí vamos a ponerle que es mi vector y ok el vector un interior y entonces si te das cuenta éste es algo por este vector y es una cantidad por este vector unitario y es decir una versión escalada de este vector unitario y y si nosotros y déjame ponerlo con un color más llamativo si nosotros agarramos por ejemplo a éste a ésta como una versión escalada de este vector j es decir de la versión vertical del vector unitario y déjame dibujarlo por aquí por aquí tendríamos más o menos algo así este sería mi vector unitario vertical ok así que lo voy a poner aquí el vector unitario j si te das cuenta aquí tengo algo algo que multiplica a este vector unitario j es decir podemos descomponer a este vector como la suma de dos vectores algo por el vector horizontal unitario y le voy a agregar algo por el vector vertical unitario j es decir estoy descomponiendo a este vector a y si te das cuenta pasa lo mismo para ver si nosotros nos tomamos a d no podemos descomponer en un vector unitario en algo por un vector unitario horizontal algo más o menos así ok y déjame poner algo así ok de lujo y bueno también tenemos algo que multiplica al vector unitario vertical y bueno se vería algo más o menos así más o menos así ok entonces si te das cuenta para el vector de pasa es lo mismo lo podemos descomponer en algo por el vector unitario y más algo por el vector unitario j y bueno lo que sería muy bueno saber es por cuánto tenemos que escalar cada uno de estos vectores unitarios así que vamos a hacerlo lo primero que te puedes dar cuenta este vector am es que tenemos un triángulo rectángulo y además es un triángulo rectángulo de la forma 30 grados centãgrados este de aquí vale 60 grados 90 grados y los triángulos 30 60 90 cumplen la propiedad de que este lado mide la mitad de lo que mide la hipotenusa por lo tanto si la hipotenusa vale 3 este lado mide 3 entre 23 medios la mitad de este lado ok mientras que este otro lado de aquí bueno este lado de aquí ni de la raíz de 3 y lo multiplicamos por el lado pequeño es decir me quedaría tres veces la raíz de 3 entre 2 lo voy a por así tres veces la raíz de 3 ok todo esto entre dos de lujo ya sé cuánto vale cada uno de los lados ahora hay otra forma de verlo si no recuerdas qué es lo que pasa cuando los triángulos 30 60 90 entonces quiero que te des cuenta que tenemos un triángulo rectángulo y como tenemos este triángulo rectángulo y aquí tenemos un ángulo de 30 grados y entonces podríamos decir que este lado este lado el opuesto entre la hipotenusa que vale 3 es lo mismo que el seno de este ángulo es fácil hay que recordar solamente el soca tohá lo voy a poner aquí son cada hoja y por lo tanto ya con esto podemos decir que el seno de 30 grados y es máster que al cruzarlo por aquí el seno el seno de 30 grados esto es exactamente lo mismo que el lado opuesto a 30 grados el lado opuesto a 30 grados dividido entre lo que vale la hipotenusa la longitud de la hipotenusa que es 3 esto entre 3 y bueno de aquí podemos obtener que entonces el lado opuesto que es lo que nosotros estamos buscando el lado opuesto lo podemos obtener como tres veces que multiplica el seno de 30 lo voy a poner así tres veces que multiplica seno el seno de 30 grados ok y bueno si nosotros hacemos esto en la calculadora te vas a dar cuenta que el seno de 30 grados esto es lo mismo que un medio que un médium y por lo tanto me quedaría tres por un medio 10 por eso que llegamos a tres medios y pasa algo muy parecido con este lado de aquí si nosotros nos fijamos que este es el lado adyacente entonces ahora vamos a buscar a el coseno de este ángulo de 30 grados y déjame ponerlo aquí el coseno de este ángulo de 30 grados esto es exactamente lo mismo que el lado adyacente ok entre esto dividido entre la longitud de la hipotenusa que es 3 y de aquí entonces podemos decir que vamos a obtener el adyacente de la siguiente manera el lado adyacente es exactamente lo mismo que esto lo voy a pasar multiplicando multiplico todo por 3 y me queda tres veces el coseno el seno de 30 y bueno si tú haces en tu calculadora el po seno de 30 grados te vas a dar cuenta que esto es lo mismo que raíz de 3 raíz de 3 sobre 2 y por eso llegamos a esta expresión de aquí tres veces la raíz de tres sobre dos y si te das cuenta es exactamente lo mismo que encontramos aquí arriba y es más si no me crees podríamos corroborarlo déjame traer por acá la calculadora y vamos a ver que me sale cuando yo me tomo el seno de 30 grados a 30 le voy a sacar el seno es 0.5 ok justo este resultado que tenemos aquí y si tú quieres ver cuánto es el coseno de 30 grados veamos 30 grados le voy a sacar el cose no es esta cantidad de aquí y bueno esto es lo mismo que la raíz de 3 sobre 2 lo podemos ver 3 si yo le sacó raíz ya esto lo divido entre 2 a darte cuenta que llegamos al mismo resultado y por lo tanto estamos verificando que en efecto esto es cierto por lo tanto voy a quitar la calculadora y vamos a seguir trabajando con esto que tenemos aquí pero ahora pensemos qué es lo que pasa con este triángulo que tenemos aquí y si te das cuenta lo primero que me vas a decir es cuánto valen los ángulos y bueno este ángulo de aquí es suplementario a este ángulo de 135 grados por lo tanto este ángulo es de 45 grados lo voy a poner aquí 45 grados ok entonces este es mi ángulo recto y por lo tanto es de aquí también va a ser un ángulo de 45 grados de 45 grados estamos hablando de un triángulo 45 grados 90 grados 45 grados ok y de la misma forma que nosotros tenemos aquí abajo para encontrar este lado que es el lado adyacente a este ángulo de 45 grados bueno pues lo vamos a encontrar multiplicando la hipotenusa 2 la hipotenusa vale 2 que multiplica a su vez al coseno 'la coseno de 45 grados de 45 grados el soca tohá y bueno este lado este lado que sería en mi lado opuesto éste lo sacó con la medida de la hipotenusa que en este caso es 2 la hipotenusa que vale 2 ok y ya esto multiplicarlo por el seno el seno de 45 grados de 45 grados ok el lado adyacente siempre lo encontramos multiplicando a la hipotenusa por el coseno del ángulo que se forme en este caso es 30 grados y en este caso 45 grados mientras que el lado opuesto lo vamos a encontrar multiplicando la longitud de la hipotenusa por el seno del ángulo que se formen ok y bueno si tú agarras tu calculadora y metes seno de 45 grados te vas a dar cuenta que vas a encontrar un número con muchos decimales pero si nosotros recordamos los triángulos 45 grados 90 grados 45 grados bueno pues este es en 945 vale lo mismo que la raíz de 2 entre 2 así que lo voy a poner aquí la raíz de 2 entre 2 esto es lo mismo que el seno de 45 grados ok y si tú metes en tu calculadora y de igual manera quieres encontrar seno de 45 grados bueno pues te vas a dar cuenta que esto es exactamente lo mismo que raíz de dos raíz de dos sobre dos también ok y por lo tanto ya tengo el seno de 45 grados el corte de 45 grados y habrá que multiplicarlo por 2 para encontrar estos lados así que vamos a hacerlo si yo multiplico 2 por raíz de 2 entre 2 bueno pues de todo esto me va a quedar solamente que este lado vale a raíz de 2 ok porque este 2 con este 2 se van ok y solamente me va a quedar raíz de 2 por este vector unitario y ok y después de este lado va a pasar algo muy parecido si nosotros multiplicamos 2 por raíz de 2 entre 2 bueno pues este lado de aquí han dejado en ponerlo así este lado de aquí es lo mismo que raíz de dos que multiplica al vector unitario jota y por lo tanto esto nos va a dar pie a que ya podemos escribir nuestro vector a en nuestro vector ven como la suma de estas dos componentes una componente horizontal y una componente vertical así que vamos a hacerlo y para eso déjenme bajar un poco esta pantalla voy a bajar un poco la pantalla a algo más o menos así ok y vamos a escribir aquí cuánto vale ahí cuánto vale ve el vector a el vector am lo voy a poner con este color al vector lo podemos descomponer en dos componentes una componente horizontal que es esta de aquí entonces la voy a escribir al vector am lo podemos ver como tres veces la raíz de tres entre dos por el vector unitario y estamos escalando el vector unitario y y entonces si lo multiplicamos por tres veces la raíz de tres entre dos encaminamos esta distancia entonces debemos ponerlo tres veces la raíz de tres ok esto dividido entre dos multiplicado por el vector unitario y ok ya esto le estamos sumando déjame ponerlo así a esto le vamos a sumar bueno la otra componente la componente vertical y esta componente vertical es escalar este unitario j multiplicando por este número de aquí por tres medios entonces si a esto le sumamos tres medios del vector unitario jota el vector unitario vertical y está de lujo porque ya con esto tenemos una nueva forma de representar a este vector y si yo me tomo este vector ya este vector le sumo este otro vector entonces llegó a mi vector y por lo tanto puedo ver al vector am como tres veces la raíz de tres sobre dos por el vector unitario y que es el vector que se mueve de manera horizontal más tres medios el vector unitario jota que es el que se mueve de forma vertical y bueno de manera similar para el vector b y lo voy a poner aquí mi vector b entonces lo voy a descomponer ahora en sus dos componentes en su componente horizontal y bueno su componente horizontal es raíz de dos a pero negativo porque recuerda que en nuestro vector y apunta hacia este lado hacia acá apunta nuestro vector unitario y raíz de 2 x y se vería más o menos así se vería un vector que va hasta acá y como estamos del otro lado entonces tenemos que tomar la versión negativa de este vector unitario y entonces este vector b lo podemos escribir como déjeme poner esto así lo podemos escribir como a menos la raíz de 2 menos la raíz de 2 ok por este vector unitario y por este vector unitario y ahora estamos yendo hacia la izquierda y después tenemos este vector unitario jota entonces a esto le voy a sumar la componente vertical y la componente vertical es raíz de 2 raíz de 2 que multiplica a este vector unitario vertical j ok justo esto y una vez que ya tenemos separados en su componente vertical y en su componente horizontal ahora creo que ya podemos pensar en cuánto va aa en la suma del vector a con el vector b y para eso déjenme bajar un poco más la pantalla porque ahora vamos a pensar en cómo podemos representar a la suma y déjeme tomar este color de aquí la suma de este vector a ok con este vector b a esto le voy a sumar le voy a sumar este otro vector b le voy a sumar este vector ven ok y si nosotros nos fijamos en la suma de estos dos vectores bueno pues esto va a ser exactamente igual a tomarme la suma de estas dos componentes más estas dos componentes y es más déjame atraparlas para pegarlas aquí voy a copiar esta parte de aquí le voy a pegar ok entonces esto lo voy a poner justo por aquí ok ya esto le voy a sumar esta parte de aquí que es mi vector me por lo tanto también voy a tomar esta parte de aquí ok la voy a atrapar la voy a pegar ok y ya la tengo justo x es decir que si yo me tomo la suma de este vector con este vector es exactamente lo mismo que tomarme estas dos componentes y a estas dos componentes sumarle estas otras dos componentes y bueno si te das cuenta esto lo podemos reorganizar de una manera distinta podemos juntar lo que tenga que ver con la componente horizontal y lo que tenga que ver con la componente vertical así que déjeme bajar un poco más la pantalla y ahora vamos a pensar qué es lo que nos sale de tomarnos a esta suma de aquí si yo atrapo esta suma de aquí ok y la copio y después la pego ok entonces esta suma va a ser exactamente lo mismo ok antes me ponerla por acá que tomarme esta primera parte que tenemos aquí que tiene que ver con el vector unitario y ya esto sumarle esta otra parte que también tiene que ver con el vector unitario y y por lo tanto esto lo podemos escribir como tres veces la raíz 3 ok esto dividido entre 2 - menos la raíz de 2 ok esto todo esto que multiplica a este vector unitario y que multiplica a este vector unitario y ya esto habrá que sumarle am y déjeme abre paréntesis tres medios tres medios más la raíz de dos más la raíz de dos ok todo esto que multiplica a este vector unitario jota y ya está aquí tenemos una representación de esta suma que nosotros queríamos es esta parte de aquí que tal vez se vea un poco complicada pero no te preocupes esto lo podemos poner en la calculadora y obtener una buena aproximación pero lo que quiero que veas es que ya tenemos esta suma que nosotros queríamos descompuesta en sus dos componentes en su componente horizontal y en su componente vertical lo que quiero ver en el siguiente vídeo es una vez que ya obtuvimos esto de aquí y obtuvimos esta suma separada en sus dos componentes voy a tratar de obtenerla y la dirección de este vector que me resulte de la suma del vector am con el vector