Multiplicación escalar: forma componente

lo que quiero hacer en este vídeo es darte algo de práctica y con suerte también algo de intuición sobre cómo multiplicar un escalar por un vector ahora de qué estoy hablando cuando digo multiplicar un escalar por un vector bueno pues para empezar dejen ponerte por aquí un pequeño vector dimensional así que lo voy a escribir aquí le voy a poner de nombre w y va a tener como componente x se me ocurre pensar en 1 y como componente yo le voy a poner y bueno ya que tenemos este vector aquí lo que te parece si lo representamos de una manera visual y para eso voy a dibujar por aquí un plano cartesiano me voy a tomar esta herramienta y vamos a dibujar aquí un pequeño plano cartesiano lo voy a hacer más o menos así aquí voy a tener mi eje y algo más o menos así y bueno por aquí voy a poner mi eje x algo más o menos así y bueno voy a poner que estos son mis ejes este es mi eje x este va a ser mi eje x bueno este va a ser mi eje y y ahora sí sí quiero graficar este vector en una forma estándar bueno pues podría decir que su punto inicial va a estar en el origen y su punto final va a estar en el punto 12 es decir su coordenada en x va a ser 1 aquí tengo 1 y su coordenada el lleva a ser 2 así que déjame poner 12 por aquí va a estar su coordenada el jem y entonces este vector de aquí se va a ver de esta manera aquí tengo mi punto inicial por aquí voy a tener mi punto final y mi vector se va a ver más o menos así en su forma estándar su gráfica se va a ver más o menos así y bueno por supuesto que puedes tener el mismo vector y moverlo de un lado para otro o cambiarlo de sitio siempre y cuando la flecha siga teniendo la misma longitud sigue apuntando en la misma dirección pero bueno ya sabes si nadie te dice otra cosa estaría bien poner el punto inicial aquí en el origen ahora vamos a multiplicar por un escalar y bueno que queremos decir por un escalar primero recuerda que un vector es algo que tiene una magnitud y una dirección una escalar por su parte es algo que solamente tiene magnitud am lo puedes pensar no sé cómo los números que empezaste aprendiendo cuando solamente tenía cuatro años esos son escalares entonces por ejemplo si quiero ver cuánto va a valer tres veces w es decir tres veces ni vector doble esto a que va a ser igual aquí dice que vamos a multiplicar el escalar 3 por el vector w y bueno la manera convencional que utilizamos para multiplicar un escalar por un vector es multiplicar cada uno de sus componentes por el escalar entonces en este caso vamos a tener que 3 que multiplica a w va a ser igual a bueno este 3 va a multiplicar primero a la componente x y entonces me va a quedar 3 que multiplica a esta componente x que es 1 y después en la siguiente componente en la componente y voy a tener a este mismo escalar a 3 que va a multiplicar a su respectiva componente y que en este caso es así que lo voy a poner aquí 3 que multiplica a 2 y esto y entonces esto a que va a ser igual bueno pues esto va a ser igual a la multiplicación de 3 por 1 lo cual es 3 y después tengo 3 por 2 lo cual me va a dar 6 entonces mi vector resultante que bueno lo podemos llamar tres veces w va a ser el vector que tenga como componente x al 3 y como componente y al 6 y bueno sí ahora lo queremos visualizar en forma estándar entonces voy a tener aquí a su punto inicial y después habrá que caminar 3 en x tengo 1 2 3 este de aquí base de 3 y para arriba 6 2 3 456 aquí tengo al 6 y entonces se va a ver más o menos así este va a ser su punto inicial y por aquí más o menos por aquí tengo al punto 36 recuerda esto lo estoy haciendo de manera manual así que en tal vez no sea tan perfecto como te lo imaginas pero este va a ser mi vector tres veces doble y este de aquí es tres veces w observa que cuando multiplicamos por 1 escalar la dirección no cambia mientras que la magnitud si y cuánto cambio esta magnitud bueno pues observan que la magnitud aumenta por un factor de 3 es decir la longitud de mi vector de azul es 3 veces la longitud de este vector magenta que teníamos aquí atrás ahora qué te parece si bueno si hacemos otro ejemplo y voy a seguir utilizando a este vector w que ya tenemos aquí pero esta vez lo voy a multiplicar por un escalar negativo quiero tomarme menos dos veces este vector w este vector w y de nuevo como siempre te encargó pausa en este momento el vídeo e intentar resolverlo por ti mismo para ver si llegas al resultado y bueno además si tienes tiempo gráfica lo ok entonces esto va a ser multiplicar cada una de estas dos componentes por este menos 2 y eso me va a quedar de la siguiente manera aquí tengo mi primer componente mi componente x por aquí tengo mi componente game y cada una de estas componentes las voy a multiplicar por menos dos entonces me va a quedar menos 2 que multiplica a 1 y menos 2 que va a multiplicar a 2 es decir menos 2 que multiplica la componente x y menos 2 que multiplica la componente i y esto aquí va a ser igual bueno pues me va a quedar menos 2 por 1 lo cual es menos 2 y después tengo menos 2 por 2 lo cual va a ser menos 4 y ahora que ya tengo aquí a este vector menos dos veces w si lo quiero ver graficado en este mismo plano cartesiano entonces qué tengo que hacer bueno pues se va a ver más o menos así date cuenta que ahora en x voy a ir menos dos unidades 1 2 aquí tengo el valor de menos 2 y bueno en que voy a bajar 4 unidades así que aquí tengo 1 2 3 4 este es el valor de menos 4 y si ahora lo quiero poner justo aquí entonces este se va a ver más o menos así empiezo en mi punto inicial y voy a jalar hasta este punto hasta este punto de aquí y bueno este de aquí va a ser mi vector menos dos veces w el vector w ok y pensemos un poco todo lo que está pasando aquí lo primero que quiero que observes es que como tenemos este signo negativo justo aquí lo que pasa esencialmente es que cambiamos la dirección por 180 grados vamos a ir en la dirección opuesta una forma de verlo es que seguimos en la misma línea pero en la dirección opuesta el negativo cambia la dirección así que si consideras cualquiera que sea la dirección lo que va a hacer este signo negativo es por completo la dirección y esta vez va a escalar sé por un factor de 2 eso quiere decir que va a tener el doble de largo que este vector w tiene el doble de magnitud pero recuerda va a ir en la dirección contraria porque tenemos este signo negativo así que espero que con todo esto ya tengas un gran sentido e intuición de lo que significa escalar un vector y es que literalmente la palabra escalar déjame ponerle aquí es que la tiene la palabra escala adentro tiene la palabra escala adentro lo cual literalmente es escala un vector es decir cambia su magnitud y bueno en este caso darle un giro de 180 grados si tienes un signo negativo pero lo más importante es la idea de cambiar su magnitud ya sea más grande o más pequeño y bueno recuerda cambiar su dirección en sentido contrario si tiene es un signo negativo