If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:14:26

Transcripción del video

en el último vídeo pudimos calcular la suma de las raíces de un polinomio lo que vamos a intentar hacer en este vídeo es pensar en la suma de los cuadrados de las raíces de ese polinomio entonces digamos que empezamos con el polinomio de segundo grado x cuadrada más a 1x más a dos igual a cero y ya dijimos en el video pasado porque podríamos pensar que éste era una verdad si no fuera uno dividimos entre ese coeficiente muy bien entonces si tenemos este polinomio éste tiene dos raíces digamos r1 y r2 sale y esto también significa que podemos reescribir el polinomio como x - r 1 por x - r 2 y esto será igual a cero ahora bien si esto lo desarrollamos y ya lo hicimos de hecho en el vídeo anterior esto nos queda x cuadrada - r uno más r2 que multiplica x + r1 r2 igual a cero y por supuesto si no me crees que puedes hacerlo tú mismo usando la multiplicación de polinomios muy bien y en el video pasado lo que obtuvimos es lo siguiente sabíamos bueno eso concluimos el video pasado que era uno más r2 es menos a uno donde aún no es el coeficiente del de digamos del término de un grado menor que el más grande ok entonces lo que queremos resolver en este vídeo es lo siguiente a que equivale a la suma de los cuadrados de las raíces de este polinomio muy bien entonces para eso vamos a ver en lo siguiente vamos a ver lo siguiente algo que se puede parecer a esta suma de cuadrados es lo siguiente r uno más r2 si lo llevamos al cuadrado va a incluir estos términos verdad y esto sabemos que es a uno al cuadrado por qué pues porque erré más 1 + edr perdón r1 r2 es menos a uno si elevamos al cuadrado de ambos lados tenemos r1 más enredos elevado al cuadrado será menos a uno algo grado que es lo mismo que sólo elevar a 1 al cuadrado muy bien entonces éstos y los desarrollados es un es un binomio al cuadrado y esto nos queda r1 al cuadrado más dos veces r1 r2 más r2 al cuadrado muy bien y aquí ya tenemos justo 2 los términos que queríamos calcular verdad esencialmente lo que tenemos es lo siguiente digamos si llamamos s1 a esta suma entonces tendremos que que ese 1 al cuadrado déjame ponerlo con rosa tenemos ese 1 al cuadrado que fue justo esto que calculamos será nuestra suma de los cuadrados aquí tienen la suma de los cuadrados digamos esto es la suma dos que esencialmente lo que queremos calcular y nos da ese dos más dos veces el producto de r1 r2 y tú dirás oye pero no hemos visto quién es bueno este de aquí sí sabemos quiénes de hecho sabemos que es a uno al cuadrado esto es justo lo que queremos calcular quien sería r1 por r2 bueno regresemos a esta expresión que tenemos de nuestro polinomio y aquí justamente ésta r1 por rd 2 justamente aquí y que por lo tanto se relaciona con este término quiere decir que erré uno por rd 12 es a dos así que tenemos que esto es a 2 a 2 el coeficiente que en este caso es el que no tiene digamos la el término constante muy bien así que si despejamos s2 tendremos ese 2 será igual a ese 1 al cuadrado que es a uno al cuadrado es a uno al cuadrado menos dos veces reúno por r2 que es a dos menos dos veces a dos muy bien entonces aquí tenemos ya una forma rápida para calcular la suma de los cuadrados de las raíces de un polinomio cuadra tico muy entonces al menos para este caso fue sencillo por ejemplo si nos dijeran teniente damos el polinomio 7x cuadrada - pbi por equis más igual a cero entonces y y te preguntan haber calculado el cuadrado perdón la suma de los cuadrados de las raíces de este polinomio bueno pues en vez de calcular quiénes son las raíces es más fácil utilizar este resultado verdad primero recordemos que tenemos que hacer que el polinomio tengo a tenga coeficiente 1 en el de grado más grande así que dividimos de ambos lados entre 7 y nos queda x cuadrada - pi sobre 7 x mas es sobre 7 es igual a cero y ahora sí podemos calcular la verdad simplemente tendremos que calcular aún al cuadrado que es este terminal cuadrado sería y cuadrada entre 49 bien ahí tienen este término al cuadrado menos dos veces a dos que que en este caso es sobre 7 y ahí está vivo no se la habría que simplifican más de esto lo que sea pero con eso basta esto fue muy bonito para para no tener que calcular las raíces porque aunque tenemos la fórmula de de de cómo calcular esas raíces no fue necesario y simplemente habría que calcular esta fórmula mixta que obtuvimos muy bien a una miel pensemos en esta idea tratar de extenderla a un polinomio de grado 3 porque queremos hacer esto para que a lo mejor después si nos da tiempo podamos hacer un proceso de inducción y demostrarlo para cualquier polinomio ok entonces vamos a bajar un poco digamos ahora que tenemos el polinomio de tercer grado x al cubo vamos a quitar eso x al cubo más a 1x cuadrada más a 2 x más a tres y esto es igual a cero muy bien entonces esta ecuación tiene tres raíces hereu r2 y r3 a algo que hay que aclarar es que éstos a lo mejor pueden ser algunos de ellos iguales entre sí ahora sí tiene tres raíces esto nos dice que el polinomio se descompone como x men o se reunó por x - r 2 x x - r 3 y esto es igual a cero y quizás debería regresar esto acá arriba porque lo que sí sabemos es quién es el producto de estos dos primeros el producto de estos dos es lo que ya había más habíamos calculado aquí es justamente esto así que va a ser mucho más sencillo calcularlo ya que hemos hecho este producto antes muy bien entonces no se va a bajar un poquito y lo que tenemos es lo siguiente vamos a multiplicar estos dos estén binomio x - r 3 por este polinomio que ya tenemos acá arriba entonces vamos a hacerlo con mucha dedicación y con mucha tranquilidad así que empezamos multiplicando x por cada uno de estos términos y lo que obtenemos en lo siguiente x y multiplica x cuadrada es x al cubo x x - r uno más cerrados por equis eran - r uno más r2 y x x x x cuadrada y ahora x por r1 r2 será más r1 r2 x vamos ahora con - r 3 - r 3 x x cuadrada es - r 3 x cuadrada - r 3 por este término se lo bueno los signos menos se cancelan y nos da más y tendremos r3 que multiplica a r uno más r2 por equis muy bien y luego finalmente menos con más es menos y nos queda r1 r2 por r3 r1 r2 r3 así que ya podemos efectuar esta suma y vamos a ver cómo nos queda nos quedan de este lado nos queda x el cubo - r uno más r2 más r3 que multiplica x cuadrada y aquí no tenemos que distribuimos podemos poner de la siguiente forma r1 r2 que este primero luego r1 por rtve es que es re uno por rr tres más r2 por r 3 y r 2 por r 3 que multiplica x - r1 r2 r3 que fue este último termina muy bien uu entonces ya lo que sí sabemos y que de hecho de aquí mismo se puede ver y que obtuvimos también en el vídeo anterior es que la suma de las raíces r1 más rr2 más r3 eso ya lo sabemos de hecho es menos a uno verdad ahora qué pasa si elevamos esto al cuadrado muy similar a lo que hicimos en el en el caso anterior para el polinomio cuadra tico esto será multiplicar r1 r2 más r3 multiplicarlo por él mismo y que será multiplicar por rr 1 más rr2 más r3 muy bien ok entonces vamos a hacerlo con mucha paciencia r1 por rr 1 nos da r 1 al cuadrado r uno por r2 es r1 r2 era uno por rr treces r1 r3 vamos ahora con rd 2 r2 por hereu no es lo mismo que reúno r 2 r2 por rd 2 es r2 al cuadrado y finalmente r2 por rr 3 r2 r3 ahora con el último r3 por ere uno es r1 r3 r3 por r12 lo mismo que r2 por r 3 y r3 por r3 3 y r3 al cuadrado ahora sumamos sumamos y lo que nos queda es lo siguiente r1 al cuadrado más r2 al cuadrado más r 3 al cuadrado eso fue tomar este esta primera columna y ahora si nos fijamos tenemos dos de cada uno de los productos combinados entre r1 r2 y r3 esto es lo mismo que dos veces dos veces r1 r2 más r1 r3 más r2 r3 y eso es muy agradable porque esto es justo lo que queremos calcular si esto sale de calcular la suma de las raíces al cuadrado que también ya lo sabemos verdad esto esto recordemos esencialmente que es r1 r2 r3 al cuadrado muy bien entonces qué es lo que obtenemos esto de aquí está esta parte de aquí es a uno al cuadrado muy bien la suma de las raíces es menos a uno pero si elevamos al cuadrado es lo mismo que a uno al cuadrado ahora bien quién es esto de aquí está esta suma de los productos digamos cruzados esencialmente es el coeficiente que se encuentra aquí acompañando a la x y heces a 2s es a 2 a 12 es justamente este producto entonces esto de aquí es a dos así que la suma de los cuadrados de las raíces de este polinomio se calcula de la siguiente forma r1 al cuadrado más r2 al cuadrado más rr3 al cuadrado será lo mismo que aún al cuadrado que ya lo tenemos de este lado aún al cuadrado y ahora pasamos éste terminó restando sería menos dos veces esta suma que es a dos muy bien y que coincide muy bien con la fórmula que habíamos obtenido para el polinomio de segundo grado entonces de hecho se va a cumplir para todos los polinomios esto lo puedes demostrar tu por inducción de forma muy similar a cómo hemos trabajado todo este tiempo con inducción y no sé quizás sería bueno dar un ejemplo por ejemplo tenemos que tener en el polinomio 10x al cubo o menos 5 x cuadrada más 7 x + 2 igual a cero y entonces siempre hay que recordar que este mismo polinomio tenemos que convertir o más bien esta misma ecuación tenemos que convertir la a un equivalente en donde el coeficiente de x al cubo del gol el de grado más grande su coeficiente sea uno entonces hay que dividir entre diez y nos queda x al cubo -5 entre 10 que es un medio x cuadrada más 7 sobre 10 x + 2 sobre 10 que esencialmente es un quinto esto es igual a cero muy bien entonces si nosotros queremos calcular r1 al cuadrado más r2 al cuadrado más r3 al cuadrado lo que tenemos que hacer simplemente nos dice elevar a 1 al cuadrado pero en este caso es menos un medio así que si elevamos menos un medio al cuadrado tendremos un cuarto verdad - un medio por menos un medio es un cuarto y luego restar dos veces de a2 que nuestro caso es siete décimos siete décimos entonces no sé esto esto con todo esto es un cuarto menos 14 décimos obtenemos un denominador común que en este caso pues puede ser fácilmente 20 vamos a hacerlo separado cuántos y cuántos veinteavos es un cuarto pues eso esencialmente son cinco verdad 20 entre cuatro son cinco por unos 15 y restamos cuantos 20 ambos son 14 décimos estos son 20 a voz pues son 20 entre 10 son 22 por 14 son 28 entonces tenemos 5 - 28 y todo eso son veinteavo son menos 23 sobre 20 y tú dirás hoy a ver a ver cómo está eso de que la suma de unos cuadrados medio algo negativo como que eso no tiene sentido pero hay que recordar algo que las raíces de un polinomio no necesariamente son números reales pueden ser números complejos y definitivamente aquí es uno de esos casos así que espero que hayas encontrado esto muy útil porque al menos a mí me parece fascinante cómo calcular esta suma de los cuadrados de las raíces