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IIT JEE manipulación algebraica

2010 Paper1 problema 35: manipulación algebraica. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es algo fuera de lo común he intentado este problema antes de empezar a grabar el vídeo y de varias formas lo he intentado y siempre obtuve una respuesta distintas de una respuesta distinta a las que están aquí así que suponiendo que los que hicieron el examen lo hicieron bien y es que este examen es muy serio y es para para ingresar a muchas universidades de prestigio así que vamos a suponer que no cometieron errores y me gustaría que alguno de ustedes que está viendo este vídeo me dijera dónde estoy cometiendo un error y el problema dice así dice sean pq números reales tales que no es 0 p elevado al cubo es distinto de q y p elevado al cubo es distinto de menos q ahora si alfa y beta son números complejos distintos de 0 que cumplen que su suma es decir alfa + beta es menos p y alfa al cubo más beta al cubo es decir la suma de sus cubos es q entonces una ecuación cuadrática que tienen como raíces a alva / beta beta / alfa es y nos dan estas cuatro opciones entonces yo no he podido encontrar la respuesta correcta entonces vamos a tratar de hacerlo en el vídeo y ustedes me dirán dónde estoy cometiendo el error muy bien entonces vamos a ver esto si yo quiero un polinomio o una una ecuación cuadrática y si escuadra tica es decir es un polinomio de grado 2 y debe tener como raíces a estos dos entonces podemos ir explorando qué pasa con x - alfa / beta verdad por x menos beta / alfa este es una ecuación cuadráticas y luego lo igualamos a 0 verdad y además estos dos son nuestras raíces así que ahora vamos a ir desarrollando tenemos x cuadrada si x por x luego x por menos beta entre alf es 3 menos beta entre alfa x luego - alfa entre beta x - alfa entre beta x y luego - alfa entre beta por - beta entre alfa y realmente los signos se cancelan se hacen más y alfa / alfa se cancela beta / beta se cancela y nos queda 1 igual a 0 muy bien entonces lo que podemos hacer ahorita es multiplicar de ambos lados por alfa beta es decir multiplicamos este lado por alfa beta y también multiplicamos del lado derecho ahora del lado derecho realmente pues multiplicar 0 por lo que ustedes quieran sigue siendo 0 verdad entonces esto será igual a 0 y el detalle es que al multiplicar por alfa beta de este lado que es lo que nos queda si distribuimos nos queda alfa beta por equis cuadrada muy bien y luego alfa beta por menos beta entre alfa las alfa se cancelan y me queda beta cuadrada y con el signo menos - ve está cuadrada por equis y ahora alfa beta por menos alfa / beta las betas se cancelan y me queda menos alfa por alfa que es alfa cuadrada x muy bien y luego alfa beta por 1 pues simplemente es alfa beta y déjenme déjenme poner reacomodar esto donde debería ir muy bien entonces aquí me falta escribir más alfa beta y esto debe ser 0 muy bien entonces si nos damos cuenta aquí ya está todo en términos de alfa si de betas pero en realidad nuestras opciones que nos dan aquí sólo están en términos de p y q entonces este problema lo tenemos lo tenemos que convertir a en términos de pq nada más voy a simplificar un poco esto porque puedo agrupar esto tengo alfa beta x cuadrada esto lo dejamos igual y luego voy a restar alfa cuadrada + beta cuadrada que multiplica x y aquí estamos agrupando este término y este otro verdad factor izamos un menos factor izamos la equis y luego nos queda alfa cuadrada más beta cuadrada y ahora sumó alfa beta igual a cero entonces esta expresión de aquí insisto ya está en términos de alfa y beta ahora hay que tratar de convertirlos a pq para ver cuál de estas opciones es la que nos da entonces qué es lo que podemos usar podemos usar que alfa más beta es - p entonces fíjense si tengo menos p igual a alfa más beta esto esto es esta hipótesis verdad nos dicen que alfa + beta es menos p entonces queremos llegar digamos como alfa al cubo más beta al cubo vamos a ver si podemos lograrlo entonces qué pasa si elevamos al cuadrado de ambos lados y nos queda menos p al cuadrado y esto simplemente es p cuadrada verdad - p por menos p - por menos es más p por p esp cuadrado entonces ahí quedamos y luego elevamos alfa más beta al cuadrado eso es alfa cuadrada más 2 alfa beta más beta cuadrada verdad es simplemente la fórmula de un binomio al cuadrado y ahora porque estoy elevando a las potencias pues justamente quiero encontrar alfa al cubo y beta al cubo suma 2 entonces quizás sí elevó yo p al cubo puede encontrarlo vamos a ver si tenemos vamos a ver si tenemos menos pe al cubo esto simplemente será menos p al cubo verdad porque menos 1 al cubo es menos 1 x menos 1 x menos uno que es menos uno y luego p al cubo éste al cubo y ya y ahora pues no sé podríamos hacerlo de distintas formas por ejemplo podríamos multiplicar esto por alfa + beta o simplemente elevar alfa más beta al cubo y eso resolverlo con el triángulo de pascal vamos a hacerlo de esa forma se acaban del triángulo de pascal es 1 pongo 1 y 1 1 2 y 1 y aquí voy en el piso 2 y aquí vamos al piso 3 13 31 entonces estos son los coeficientes de cuando elevamos un binomio al cubo verdad si si tienes duda de cómo estamos utilizando el triángulo de pascal te recomiendo que vayas a los vídeos de sobre todo el teorema del binomio muy bien entonces este menos p al cubo va a ser alfa más beta al cubo y esto es alfa al cubo y va el 13 que es el siguiente coeficiente alfa cuadrada beta + 3 alfa beta cuadrada + beta al cubo entonces lo único que puse fueron los coeficientes de este nivel del triángulo de pascal y después puse potencias de alfa y beta las potencias de alfa van disminuyendo hasta desaparecer y las de beta van aumentando muy bien entonces lo que podemos notar aquí es que tengo ahora si mi alfa al cubo y me beta al cubo muy bien entonces esto lo puedo poner como menos p al cubo es menos b al cubo y sabemos que alfa al cubo más beta al cubo por hipótesis es q entonces aquí podemos poner déjenme ponerlo así al funk hubo más beta al cubo primero y luego terminamos sumando el resto 3 alfa cuadrada beta + 3 alfa beta cuadrada y ahora lo que voy a hacer es ir simplificando fíjense muy bien tenemos ya esto y entonces me queda menos p al cubo ya empezamos de aquí debe ser igual a alfa el cubo más beta al cubo pero alfa el cubo más beta al cubo es q verdad entonces aquí tengo aquí tengo aquí y luego factor hizo de esto verde que me queda por factorizar tres veces alfa beta tengo tres veces alfa beta que multiplica a alfa más beta verdad simplemente fue factor izando 3 alfa beta pero alfa más beta alfa más beta es menos p es menos p y eso está aquí verdad entonces vamos a reescribir lo esto simplemente es menos p p al cubo igual a q mas 3 alfa beta por menos p muy bien y entonces nosotros podemos despejar alfa beta y que nos sirve mucho justamente porque aquí tenemos alfa civetas de hecho alfa beta verdad entonces vamos a tratar de despejarlo por ejemplo pasamos restando q y nos queda menos p al cubo menos q igual a igual a menos 3 alfa beta por p verdad simplemente pasando el signo menos hasta acá y ahora dividimos todo entre menos 3 p dividimos todo entre menos 3 p y nos quedan menos p al cubo menos q sobre menos 3 p esto es igual a alfa beta muy bien y este menos lo que puede hacer es simplemente tengo aquí menos esto entre menos esto pues los menos se cancelan y simplemente escribir p al cubo sobre 3 p esto es igual a alfa por beta muy bien y esto esta expresión nos cae muy bien y justamente por lo siguiente notemos notemos que hay quien sería alfa cuadrada más b está cuadrada aquí aquí tenemos un alfa cuadrada más b está cuadrada tenemos que determinar quién es eso verdad pero también tenemos aquí esta parte este alfa si no tenemos aquí alfa cuadrada más b está cuadrada es p cuadrada muy bien entonces y además tenemos aquí dos alfa beta y ya sabemos quién es alfa beta entonces podemos calcularlo muy bien alfa cuadrada más b está cuadrada verdad si lo tomamos de esta ecuación es p cuadrada menos dos alfa beta y eso sale de aquí arriba muy bien pero alfa beta ya sabemos quién es entonces esto será p cuadrada menos dos veces alfa beta que es p outs gp al cubo más q sobre 3 p muy bien entonces tenemos esto y vamos a sacar un común divisor entonces si dividimos bueno si queremos expresar t cuadrada con denominador 3 p esto será 3 p al cubo entre 3 p verdad los tres se cancelan y p al cubo entre p esp cuadrada menos 2 p al cubo déjenme ponerlo así incluso - 2 p al cubo vamos a distribuir lo menos 2 q entre 3 p y si nosotros sumamos esto que nos queda tenemos 3 p al cubo menos 2 p al cubo así que me queda solo uno solo me queda 1 verdad entonces esto será igual a p al cubo menos 2 q entre 3 p porque tenemos el mismo el mismo denominador entonces ya podemos ir simplificando todo esto de la siguiente forma porque fíjense tengo alfa beta entonces este alfa beta este alfa beta lo puedo sustituir por esta expresión de aquí entonces tengo p al cubo más q entre 3 p que multiplica nuestra x cuadrada - - esta expresión de aquí entonces de hecho esta expresión de aquí es justamente esta de aquí muy bien tenemos esta de aquí entonces menos p al cubo menos 2 q entre 3 p que multiplica a x muy bien más alfa beta nuevamente tenemos alfa beta por segunda ocasión aquí entonces más p al cubo más q entre 3 p y esto debe ser igual a 0 verdad entonces seguimos teniendo la misma ecuación cuadrática pero alfa y beta después de resolver muchas operaciones ya lo dejamos en términos de pq muy bien entonces en realidad si nos fijamos en nuestras respuestas en nuestras posibles respuestas aquí nunca están dividiendo entre 3 p y la ventaja que tenemos en ese sentido es que estamos igualando a cero así que si por ejemplo multiplicamos de ambos lados por 3 qué es lo que nos quedaría pues se cancela se cancelan los tres que quedan abajo en el denominador de cada término entonces nos queda p al cubo más q que multiplica a equis cuadrada menos p al cubo menos 2 q que multiplica x más p al cubo más q verdad que bueno esto lo podemos agrupar en derecho y esto es igual a cero entonces déjenme copiar déjenme seleccionar esto para ver si coincide con alguna de nuestras respuestas vamos a copiarlo y ver si coincide aquí lo tenemos y estamos muy contentos porque ahora sí no sé cómo le dice ahora que sí me salió y de hecho la respuesta es la ve verdad así que ahí está la respuesta esto es esta es la respuesta correcta estoy bastante emocionado me retracto de lo que les había dicho al inicio realmente creo que no necesite su ayuda al final bueno quizás si necesita su ayuda verdad en el proceso de enseñanza esa era la ayuda que necesitaba pero bueno de cualquier forma espero que este ejercicio te haya resultado útil