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Contenido principal

Resolver cuadráticas al completar el cuadrado

Por ejemplo, resuelve x²+6x=-2 al convertirla en (x+3)²=7 y luego sacar la raíz cuadrada.

Con lo que debes estar familiarizado antes de hacer esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

Hasta el momento, has resuelto ecuaciones cuadráticas al sacar la raíz cuadrada o por factorización. Estos métodos son relativamente simples y eficientes, cuando se pueden utilizar. Desafortunadamente, no siempre es así.
En esta lección, aprenderás un método para resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática.

Resolver ecuaciones cuadráticas al completar el cuadrado

Considera la ecuación x2+6x=2. La raíz cuadrada y los métodos de factorización no se aplican aquí.
¡Pero no perdamos las esperanzas! Podemos usar un método llamado completar el cuadrado. Comencemos con la solución y luego revisémosla más detenidamente.
(1)x2+6x=2(2)x2+6x+9=7Suma 9 para completar el cuadrado.(3)(x+3)2=7Factoriza la expresión de la izquierda.(4)(x+3)2=±7Saca la raíz cuadrada.(5)x+3=±7(6)x=±73Resta 3.
En conclusión, las soluciones son x=73 y x=73.

¿Qué pasó aquí?

Sumar 9 a x2+6x en el renglón (2) tiene el resultado afortunado de hacer la expresión un cuadrado perfecto que puede factorizarse como (x+3)2. Esto nos permite resolver la ecuación al sacar la raíz cuadrada.
Claro que esto no fue una coincidencia. El número 9 se escogió cuidadosamente para que la expresión resultante fuera un cuadrado perfecto.

Cómo completar el cuadrado

Para entender cómo escogimos el 9, deberíamos hacernos la siguiente pregunta: si x2+6x es la parte inicial de una expresión cuadrada perfecta, ¿cuál debería ser el término constante?
Vamos a suponer que la expresión puede factorizarse como el cuadrado perfecto (x+a)2 donde se desconoce el valor de la constante a. Esta expresión puede desarrollarse como x2+2ax+a2, de lo que podemos concluir dos cosas:
  1. El coeficiente de x, que sabemos que es 6, debe ser igual a 2a. Esto significa que a=3.
  2. El número constante que debemos sumar es igual a a2, la cual es 32=9.
Trata de completar algunos cuadrados por tu cuenta.
Problema 1
¿Cuál es el término constante que falta en el cuadrado perfecto que empieza con x2+10x?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 2
¿Cuál es el término constante que falta en el cuadrado perfecto que empieza con x22x?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 3
¿Cuál es el término constante que falta en el cuadrado perfecto que empieza con x2+12x?
  • Tu respuesta debe ser
  • una fracción propia simplificada, como 3/5

Problema de desafío
¿Cuál es el término constante que falta en el cuadrado perfecto que empieza con x2+bx?
Escoge 1 respuesta:

Esta pregunta de desafío nos da un atajo para completar el cuadrado, para aquellos a los que les gustan los atajos y no les molesta memorizar cosas. Nos muestra que para completar x2+bx en un cuadrado perfecto, donde b es cualquier número, necesitamos sumarle (b2)2.
Por ejemplo, para completar x2+6x en un cuadrado perfecto le sumamos (62)2=9

Resolver ecuaciones una vez más

¡Muy bien! Ahora que eres un completador de cuadrados certificado, regresemos al proceso de resolver ecuaciones usando nuestro método.
Veamos un nuevo ejemplo, la ecuación x210x=12.
(1)x210x=12(2)x210x+25=13Suma 25 para completar el cuadrado.(3)(x5)2=13Factoriza la expresión a la izquierda.(4)(x5)2=±13Saca la raíz cuadrada.(5)x5=±13(6)x=±13+5Suma 5.
Para convertir la expresión original x210x, que está del lado izquierdo, en un cuadrado perfecto, le sumamos 25 en el renglón (2). Como siempre con las ecuaciones, hicimos lo mismo del lado derecho, lo que lo hizo que 12 aumentara a 13.
En general, la elección del número a sumar para completar el cuadrado no depende del lado derecho, pero siempre debemos sumar el número a ambos lados.
Ahora es tu turno para resolver algunas ecuaciones.
Problema 4
Resuelve x28x=5.
Escoge 1 respuesta:

Problema 5
Resuelve x2+3x=14.
Escoge 1 respuesta:

Arreglar la ecuación antes de completar el cuadrado

Regla 1: separar los términos variables del término constante

Así se obtiene la solución de la ecuación x2+5x6=x+1:
(1)x2+5x6=x+1(2)x2+4x6=1Resta x.(3)x2+4x=7Suma 6.(4)x2+4x+4=11Suma 4 para completar el cuadrado.(5)(x+2)2=11Factoriza.(6)(x+2)2=±11Saca la raíz cuadrada.(7)x+2=±11(8)x=±112Resta 2.
Completar el cuadrado en uno de los lados de la ecuación no sirve si tenemos un término con x en el otro lado. Esta es la razón por la que restamos x en el renglón (2), así tenemos los términos variables en el lado izquierdo.
Además, para completar x2+4x como cuadrado perfecto, necesitamos sumarle 4. Pero antes de hacer eso, necesitamos asegurar que todos los términos constantes están al otro lado de la ecuación. Por esto sumamos 6 en el renglón (3), para dejar solo a x2+4x.

Regla 2: asegúrate de que el coeficiente de x2 sea igual a 1.

Así se obtiene la solución de la ecuación 3x236x=42:
(1)3x236x=42(2)x212x=14Divide entre 3.(3)x212x+36=22Suma 36 para completar el cuadrado.(4)(x6)2=22Factoriza.(5)(x6)2=±22Saca la raíz cuadrada.(6)x6=±22(7)x=±22+6Suma 6.
El método de completar el cuadrado solo funciona si el coeficiente de x2 es 1.
Es por esto que en el renglón (2) dividimos entre el coeficiente de x2, que es 3.
Algunas veces, dividir entre el coeficiente de x2 dará como resultado otros coeficientes que serán fracciones. Esto no significa que hiciste algo mal, simplemente necesitarás trabajar con fracciones para poder encontrar la solución.
Ahora es tu turno de resolver una ecuación como esta.
Problema 6
Resuelve 4x2+20x3=0.
Escoge 1 respuesta:

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