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Contenido principal
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Transcripción del video

en este vídeo vamos a hablar de soluciones extrañas si nunca has escuchado este término antes te encargo que veas algunos vídeos sobre soluciones extrañas en khan academy pero este es un pequeño repaso una solución extraña es la idea de que haces muchas operaciones algebraicas legítimas y al final llegas a una solución o algunas soluciones que cuando las compruebas en tu ecuación original no las satisfacen entonces la clave de este vídeo es preguntarnos por qué obtenemos las soluciones extrañas y todo esto se debe a la noción de reversibilidad hay ciertas operaciones en álgebra que puedes hacer en una dirección y siempre son ciertas en esta dirección pero no siempre son ciertas en la dirección contraria vamos a pensar en esas dos operaciones una de ellas es elevar al cuadrado y la otra es multiplicar de ambos lados por una expresión variable primero pensemos en el ejemplo de elevar al cuadrado y vamos a ver un escenario donde trabajamos con una solución extraña por ejemplo sabemos que si a es igual a b puedo elevar al cuadrado ambos lados y por lo tanto obtengo que a cuadrada es igual a b cuadrada pero en la dirección contraria no es cierto por ejemplo sea cuadrada es igual a de cuadrada no siempre es el caso que sea igual a p cuál es un ejemplo donde veamos que esto no es siempre es cierto de hecho pausa el vídeo y piénsalo un poco bueno menos 2 elevado al cuadrado en efecto es igual a 2 elevado al cuadrado pero menos 2 no es igual a 2 es decir lo que esto nos dice es que puede hacerle para ambos lados de una ecuación y deducir algo que es cierto pero la dirección contraria no es necesariamente cierta otra operación que algunas veces no es reversible es multiplicar de ambos lados por una variable multiplicar de ambos lados por una variable y escribir variable pero también puede ser una expresión variable por ejemplo si sabemos que a es igual a b y multiplicamos de ambos lados por una variable esto seguirá siendo cierto x por a es igual a x por b pero la dirección contraria no es siempre cierta si x por a es igual a x por b es siempre el caso que hace igual a b bueno la respuesta es simple no y como siempre te encargo que pausas el vídeo e intentes encontrar un ejemplo donde esto no pase qué pasa si a es igual a 2 y b es igual a 3 y la variable x tiene el valor de cero sabemos que en efecto 0 por 2 es igual a 0 por 3 pero dos no es igual a 3 ahora cómo se conecta todo esto con las soluciones extrañas que vemos cuando resolvemos ecuaciones radicales o ecuaciones con expresiones racionales de ambos lados bueno veamos un ejemplo vamos a trabajar con una ecuación radical si quiero resolver la ecuación la raíz cuadrada de 5 x 4 es igual a x menos 2 la forma típica de resolver es elevar al cuadrado ambos lados así que elevamos al cuadrado ambos lados y obtengo que 5 x 4 es igual a x cuadrada menos 4 x + 4 una vez más si esto te parece poco familiar vamos a profundizar en este tema en otros vídeos pero esta vez estamos introduciendo la idea de ecuaciones radicales y bueno podemos restar 5x de ambos lados y sumar 4 de ambos lados para intentar tener 0 del lado izquierdo de la ecuación y así obtengo que 0 es igual a x cuadrada menos 9 x + 8 y 0 es igual a x menos 8 por x menos uno o podemos decir que x menos 1 es igual a cero o x menos 8 es igual a cero de lo que obtenemos que x es igual a 1 y x es igual a 8 bueno ahora vamos a comprobar las soluciones si sustituimos x igual a 8 en color rojo que obtenemos en la ecuación original bueno obtengo que la raíz cuadrada de 36 es igual a 6 lo que es completamente cierto así que esta solución funciona qué hay de x1 nos queda la raíz cuadrada de 5 por 14 lo cual es igual a 1 la raíz cuadrada de uno es uno y esto es igual a uno menos dos que es igual a menos uno esta solución no funciona esta es una solución extraña y si te preguntarán cuáles son todos los valores que satisfacen la ecuación no debes dar en tu respuesta a x igual a 1 aunque le hayamos obtenido con pasos algebraicos legítimos y la razón del por qué pasa esto de hecho pausa el vídeo y piensa para cuáles de estos pasos funciona la solución x igual a 1 y para qué paso deja de funcionar bueno podrás observar que x igual a 1 funciona para todos estos pasos después de la recta en morado y para el único paso que no funciona es para la ecuación la raíz cuadrada de 5x menos 4 es igual a x menos 2 puedes empezar con x igual a 1 y cumplir todos estos pasos hasta la recta de aquí pero el problema es que elevar al cuadrado no es una operación reversible esto sana lo va a decir oye sabemos que ha elevado al cuadrado es igual a b elevado al cuadrado sabemos que esto es igual a esto pero sabemos que no es necesariamente igual a p para x igual a 1 y podemos hacer lo mismo con ecuaciones que tengan expresiones racionales por ejemplo queremos resolver x cuadrada entre x menos 1 es igual a 1 entre x menos 1 lo primero que queremos hacer es multiplicar a ambos lados por x menos 1 multiplicar por x menos 1 y queremos multiplicar a ambos lados por una expresión variable así que tenemos que ser un poco conscientes pero si de todas las formas multiplicamos ambos lados por x menos 1 entonces obtengo que x 4 desigualdad 1 o podemos decir que x es igual a 1 o x es igual a menos 1 pero podemos comprobar en la ecuación que para x igual a 1 estoy dividiendo de ambos lados por 0 así que esta es una solución extraña la clave es que multiplicamos a ambos lados por una expresión variable en este caso multiplicamos ambos lados por x menos 1 y podemos hacerlo podemos multiplicar de ambos lados por una expresión variable de hecho es una operación algebraica legítima pero la dirección opuesta no siempre es cierta es completamente análogo a lo que vemos acá abajo ten cuidado sólo porque 0 por 2 es igual a 0 por 3 eso no significa que 12 es igual a 3 10 completamente análogo porque estamos multiplicando por una expresión variable que evalúa al valor de cero cuando x es igual a 1 así que el panorama general es entender un poco más por qué pasan las soluciones extrañas cuando elevas al cuadrado o multiplicas ambos lados por una expresión variable es completamente legítimo mientras lo realices de manera correcta pero no siempre es cierto que la dirección opuesta sea verdadera puedes sumar o restar lo que sea de ambos lados de una ecuación y esa operación será siempre reversible esa operación no nos dará soluciones extrañas pasa lo mismo al multiplicar o dividir por una constante distinta de cero eso no nos dejará nada sospechoso pero si elevas al cuadrado o multiplicas ambos lados por una expresión variable debes tener un poco de cuidado