Dividir polinomios con residuos

nos piden dividir x al cubo 5 x 4 entre x al cuadrado menos x + 1 muy bien déjame reescribir esta expresión así como fracción entonces en el numerador tenemos x al cubo más 5 x menos 4 y en el denominador nos queda x al cuadrado ahorita lo pongo x al cuadrado menos x + 1 muy bien esta es una segunda forma de escribirlo pero la forma que nos va a ayudar para hacer la división larga es pues ponerlo por aquí con todo y su casita entonces estamos dividiendo entre x al cuadrado menos x más 1 la expresión la expresión x al cubo x al cubo + + 5 x a pero ojo aquí no tenemos término cuadrática entonces déjame poner un espacio para indicar que ahí va el término cuadrática aunque no lo tengamos porque va a ser útil aprovechar este espacio cuando aparezcan términos cuadráticas entonces más espacio más 5 x más 5 x menos 4 menos 4 va entonces dejamos un espacio para los términos cuadra ticos ahora sí vamos a hacer la división larga entonces el término de mayor grado aquí es x al cuadrado y aquí es x al cubo cuántas veces cabe x al cuadrado en x al cubo pues vamos a hacer la división x al cubo entre x al cuadrado es igual a x a la 3 menos dos usando leyes de los exponentes que es igual x a la 1 que es igual a x entonces x al cuadrado cabe x veces en x al cubo aquí ponemos x vamos a realizar la multiplicación x por este trinomio y lo ponemos aquí abajo x por x al cuadrado es x cúbico x cúbica x x menos x es menos x al cuadrado viste esta padre tener el espacio de cuadrados x x 1 es x x y ahora lo que tenemos que hacer es restar tenemos que restar esta expresión entonces pues bueno restar una expresión es lo mismo que cambiar el signo a cada uno de sus términos voy a hacer eso voy a ponerle aquí menos aquí más y aquí menos va entonces restamos a ver cuánto nos queda x al cubo menos x al cubo se cancela este con x cuadrada queda x cuadrada aquí no había nada 5 x x 5 x x es 4 x + 4 x y finalmente este 4 baja no le estamos restando nada entonces baja como menos 4 muy bien ahora cuántas veces cabe x cuadrada en x cuadrada a pues es esta fácil verdad ni siquiera tenemos que copiar lo deja de tomar este otro color verde entonces cabe una vez x cuadrada cabe una vez en x cuadrada entonces le pongo aquí 1 ahora qué hacemos multiplicamos por 11 x x cuadrado es x cuadrada 1 x - x es menos x y uno por uno es 1 tenemos que restar entonces le cambiamos el signo a cada uno de estos menos + menos y este con este se cancelan 4 x con x nos queda 5x y menos 4 menos uno es menos 5 ahora podrías tener la tentación de seguir dividiendo pero ya no se va a poder porque porque ahora el el término de aquí afuera tiene mayor grado que el de aquí adentro entonces si x al cuadrado ya no cabe ninguna vez en 5 x 5 así que a esta expresión a esta expresión que sobra le llamamos el residuo residuo persigo vale déjame reescribir esto en términos de fracción entonces lo que acabamos de encontrar es que x al cubo más 5 x menos 4 entre x al cuadrado menos x más uno es igual a x más 1 x más 1 pero sobraron 5 x 55 x menos menos 5 / / / x al cuadrado menos x + entonces aquí tuviéramos un término cuadrática podríamos seguir dividiendo pero como ya no a esto de aquí le llamamos el residuo vale bueno entonces voy a volver a copiar esta respuesta de este lado es x + 1 x 1 + 5 x menos 5 dividido / x cuadrada menos x + 1 y ya nada más para terminar vamos a verificar que en efecto esta respuesta es correcta cómo le hacemos para verificar pues multiplicamos por x cuadrada menos x + 1 déjame multiplicar por x cuadrada x cuadrada menos x + 1 y el chiste es que tenemos que volver a llegar a este trinomio vale vamos a ver si sí o si no entonces para realizar esta multiplicación voy a usar la ley distributiva voy a usar este con este bueno multiplicar este con este este con este y luego este con este y vamos a ver que nos queda entonces empezamos con x cuadrada x x bueno perdón este este término x x todo el trinomio entonces que nos quedaría pues sería x cuadrada x x x cúbica luego menos x x x - x cuadrada luego 1 x x mas x entonces eso es x esta x vamos con este 1 entonces con este 1 que nos queda x cuadrada por 1 es x cuadrada a pues está fácil verdad multiplicar por 1 - x por 1 es menos x uno por uno es uno muy bien y ahora vamos a multiplicar este con este pero bueno sería muy latosos multiplicar esto por el numerador más bien el paso clave aquí es darse cuenta que el el denominador de este es esta misma expresión entonces este este se va a cancelar con este y simplemente nos queda más 5 x más 5 x menos 5 entonces queda nada más este de acá el numerador muy bien vamos a simplificar entonces simplificando tenemos un término de orden cúbico que es x al cubo al cubo y ya no hay ningún otro luego tenemos los cuadra ticos este menos x al cuadrado con este x al cuadrado se cancelan y nos queda nos queda pues nada más verdad ya no nos queda nada más cuadrática ahora vamos con los términos lineales x con menos x también se cancelan y todavía que de este término lineal el 5x más 5x y finalmente vamos con los términos de grado cero o las constantes pues que sería 15 es menos 4 menos 4 y b quedó x al cubo más 5 x 4 que es exactamente lo mismo que esto de acá