If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:6:43
CCSS.Math:
HSA.APR.B.2
,
HSA.APR.B

Transcripción del video

conozcamos el teorema del residuo para polinomios al principio nos va a parecer un poco mágico pero en un próximo vídeo lo vamos a probar ya medida que hagamos ejemplos con este teorema nos vamos a dar cuenta que como todo en matemáticas no es tan mágico bien en qué consiste el teorema del residuo para polinomios establece que si tenemos un polinomio fx así es que este de aquí es un polinomio y lo dividimos / / x menos a entonces el residuo entonces el residuo el residuo que se obtiene después de hacer la división larga entre polinomios el residuo que se obtiene va a ser igual a efe de a va a ser igual a efe de a esto que en un principio parece un poco abstracto estoy hablando de fx de x menos a hagámoslo más concreto supongamos que tenemos un polinomio fx y tomemos un polinomio de segundo grado es válido para cualquier tipo de polinomios pero empecemos con uno muy sencillo uno de segundo grado que es 3x cuadrada menos 4 x más 7 y supongamos que a es igual a 1 así es que vamos a dividir este polinomio vamos a dividirlo entre x menos 1 x 1 así es que a en este caso es igual a 1 hagamos entonces la división larga de polinomios y si no la conoces o no la recuerdas te invito a que veas el vídeo de la división larga de polinomios antes de continuar con este vídeo voy a suponer que hacer es hacer ese tipo de divisiones así es que la división de 3 x 4 menos 4 x 7 entre x menos 1 y verifica que efectivamente el residuo corresponde a efe de 1 bien supongo que ya lo intentaste hagámoslo juntos vamos entonces a dividir entre x menos 1 el polinomio vamos a dividir entre x menos 13 x cuadrada menos 4 x más 7 muy bien una división de polinomios larga no está mal para empezar el día pues es de mañana para mí no sé para ti vienen las divisiones largas nos fijamos en el término de mayor orden aquí y en el término de mayor de por acá así es que tenemos que 3x cuadrada entre x esto nos da 3x cuadra entre x es igual a 3 x 3 x y lo voy a poner en el lugar donde se encuentran los términos de primer orden por así decirlo entonces 3x x x es 3x cuadrada y 3 x x menos 1 es menos 3x y esto lo queremos restar es la manera como se hace la división larga así es que que obtenemos 3x cuadrada menos 3x cuadrada este término se cancela este término se hace cero y por acá tenemos menos 4x más 3x porque menos por menos es más menos 4 x 3 x es menos x voy a usar otro color aquí nos queda entonces - x y voy a bajar este 7 este 7 lo bajamos esto es muy similar a la división que aprendimos hacia en aritmética cuando íbamos en la primaria tan sólo multiplica de 3x por esto para obtener 3x cuadrada menos 3x lo cual lo restamos de aquí para obtener menos x 7 o más bien podríamos decir que lo restamos del polinomio para obtener menos x más 7 y ahora tenemos que dividir entre x menos 1 - x 7 - x entre x es igual a menos uno menos uno por x es menos x y menos 1 x menos 1 es más uno pero esto lo tenemos que restar hacemos la resta y que nos queda menos x x esto es menos x mas x estos términos se cancelan esto es igual a 0 y 7 menos 17 menos 1 esto es igual a 6 el residuo es 6 y una manera de ver esto es podríamos decir que podríamos decir que no esto mejor te lo voy a mostrar en un próximo vídeo así es que este de aquí es el residuo el residuo y para saber cuando se tiene un residuo y éste es tan sólo una revisión de la división larga es que aquí tienes un término de un orden inferior este de alguna manera es un polinomio de grado 0 este es de un orden menor que el denominador que x menos uno que es de orden 1 así es que el 6 que podemos considerar con un polinomio de orden 0 es de un orden menor es el residuo ya no puede decir 6 entre x menos 1 ahora bien si se cumple el teorema del residuo para polinomios y esté aquí es tan sólo un ejemplo tomado al azar de ninguna manera una demostración he desarrollado este problema en concreto para que podamos verificar de manera tangible que el teorema del residuo para polinomios se cumple lo cual quiere decir en este caso que f es decir f de 1 efe de uno tiene que ser igual a seis vamos a verlo efe de uno es igual tres por uno al cuadrado es tres menos cuatro por uno menos cuatro más siete esto es igual 3 - 4 - 17 esto es igual a 6 de hecho es igual a 6 nuestro residuo y aquí nos merecemos unas pequeñas fanfarrias así que lo que hemos hecho aquí es verificar que efectivamente el teorema del residuo para polinomios funciona pero lo realmente práctico de esto es que si alguien nos pide por ejemplo el residuo de esto 3x cuadra menos 4 x 7 dividido entre x menos 1 y no le interesa el cociente entonces lo que tenemos que hacer en este caso es identificar que el valor de a es igual a 1 calcular efe de uno evaluar esto en uno para obtener que el residuo es 6 no tuvimos que hacer la división larga sólo tuvimos que hacer esto para obtener el residuo así de simple obtuvimos el residuo de dividir 3 x 4 menos 4 x + 7 entre x menos 1