Factorizar cuadrados perfectos: factores compartidos

las expresiones cuadráticas 4x cuadrada + 12 x + 9 y 4x cuadrada menos 9 tienen un factor binomial en común que factor binomial comparten ok como siempre te invito a que hagas una pausa y trates de resolver este problema tú solo ok hagamos esto al factorizar estas dos expresiones verdad y tratemos de ver si tienen un binomio en común así que vamos a comenzar con esta expresión que tenemos aquí 4x cuadrada más 12 x más 9 y lo que podemos observar es lo siguiente aquí tenemos una expresión al cuadrado verdad esto simplemente será 2x al cuadrado verdad y por otro lado tenemos este 9 que lo podemos ver simplemente como 3 al cuadrado muy bien entonces tendríamos 2x elevado al cuadrado verdad eso corresponde a esto que tenemos aquí y también tenemos 3 al cuadrado que es 9 verdad entonces uno podría intentar ver si es que esta expresión cumple el patrón que ya hemos distinguido para los trinomios cuadrados perfectos verdad entonces nos preguntamos si este término de aquí satisface ese patrón verdad es decir tendríamos que ver que 12 se puede ver como el doble este 2 por este 3 y si pensamos un poquito más a detalle podemos ver que el doble de este 2 por este 3 sería 2 por 2 por 3 2 por 2 son 4 por 3 son 2 de verdad entonces en efecto satisface ese patrón verdad es decir satisface el doble de este 2 que tenemos aquí por 2 por este 3 verdad por 3 y finalmente multiplicamos por nuestra letra x verdad y esto por supuesto lo estamos sumando entonces en realidad esto es un trinomio cuadrado perfecto verdad y si esto no te suena conocido te invito a que revises los los vídeos de khan academy que hemos desarrollado de este tema muy bien entonces lo que podemos hacer ahora es lo siguiente verdad esto que tenemos aquí será igual verdad a esta expresión elevado al cuadrado ya que es un trinomio cuadrado perfecto es en realidad se puede factorizar como un vino elevado al cuadrado y de hecho el binomio que va aquí sería 2x verdad más 3 elevado al cuadrado muy bien entonces 2 x 3 elevado al cuadrado sería el cuadrado de este que es 2 x al cuadrado el cuadrado de este otro número que es 3 3 elevado al cuadrado y luego el doble producto de 2x por 3 verdad el doble por producto de 2x por 3 muy bien por supuesto esto también lo podríamos reescribir simplemente como 2 x + 3 x 2 x 3 cierto sería multiplicar este binomio consigo mismo 12 veces verdad nada más ahora bien vamos a tomar la siguiente expresión que sería 4x cuadrada menos 9 muy bien entonces tenemos 4x cuadrada menos 9 y lo que podemos observar de esta expresión es que es una diferencia de cuadrados verdad 4x cuadrada en realidad es 2x elevado al cuadrado cierto y además tenemos este 9 que lo podemos ver como 3 al cuadrado entonces tenemos una diferencia de cuadrados y eso sabemos factorizar lo muy bien verdad nuevamente si esto no te suena conocido te invito a que revises los vídeos de khan academy en este tema de hecho la forma en la que podemos factorizar esta diferencia de cuadrados es como un binomio verdad donde aquí tenemos un más y aquí tenemos un menos verdad son binomios conjugados verdad y ya sabemos que aquí va 2x aquí también irá 2x y en el siguiente término irá tres y menos tres muy bien entonces aquí ya tenemos factorizar a la expresión 4x cuadrada menos 9 y ahora lo único que tenemos que hacer es ver si coinciden si tienen algún factor binomial en común y podemos ver claramente que este de aquí exactamente el mismo que tenemos acá muy bien entonces estos dos coinciden y es el binomio que comparten verdad 2 x 3 es un factor binomial en común