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Contenido principal

Factorizar monomios

Aprende a factorizar completamente expresiones monomiales, o encontrar el factor faltante en la factorización de un monomio.

Con lo que deberías de estar familiarizado antes de esta lección

Un monomio es una expresión que es el producto de constantes y potencias enteras no negativas de x, como 3, x, squared. Un polinomio es una suma de monomios, como 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.
Si A, equals, B, dot, C, entonces B y C son factores de A, y A es divisible entre B y C. Para repasar este material, revisa nuestro artículo sobre factorización y divisibilidad.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás a factorizar monomios. Usarás lo que sabes acerca de factorizar enteros como ayuda en esta aventura.

Introducción: ¿qué es la factorización monomial?

Factorizar un monomio significa expresarlo como un producto de dos o más monomios.
Por ejemplo, a continuación hay varias posibles factorizaciones de 8, x, start superscript, 5, end superscript.
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, x, start superscript, 4, end superscript, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, right parenthesis
Observa que cuando multiplicas cada expresión de la derecha, obtienes 8, x, start superscript, 5, end superscript.

Pregunta para reflexionar

A Andrei, Amit y Andrew se les pidió que factorizaran el término 20, x, start superscript, 6, end superscript como el producto de dos monomios. Sus respuestas se muestran a continuación.
AndreiAmitAndrew
20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 10, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, left parenthesis, 5, x, cubed, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 20, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis
1) ¿Quién factorizó 20, x, start superscript, 6, end superscript correctamente?
Elige todas las respuestas adecuadas:

Factorización total de monomios

Repaso: factorización de enteros

Para factorizar un entero por completo, lo escribimos como un producto de números primos.
Por ejemplo, sabemos que 30, equals, 2, dot, 3, dot, 5.

Y ahora para monomios...

Para factorizar un monomio por completo, escribimos el coeficiente como un producto de primos y desarrollamos la parte variable.
Por ejemplo, para factorizar por completo 10, x, cubed, podemos escribir la factorización en primos de 10 como 2, dot, 5 y escribir x, cubed como x, dot, x, dot, x. Por lo tanto, esta es la factorización completa de 10, x, cubed:
10, x, cubed, equals, 2, dot, 5, dot, x, dot, x, dot, x

Comprueba tu comprensión

2) ¿Cuál de las siguientes es la factorización completa de 6, x, squared?
Escoge 1 respuesta:

3) ¿Cuál de las siguientes es la factorización completa de 14, x, start superscript, 4, end superscript?
Escoge 1 respuesta:

Encontrar factores faltantes de monomios

Repaso: factorización de enteros

Supón que sabemos que 56, equals, 8, b para algún entero b. ¿Cómo podemos encontrar el otro factor?
Bueno, podemos resolver la ecuación 56, equals, 8, b para b al dividir ambos lados de la ecuación entre 8. El valor faltante es 7.

Y ahora para monomios...

Podemos extender estas ideas a monomios. Por ejemplo, supón que 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, left parenthesis, C, right parenthesis para algún monomio C. Podemos encontrar C al dividir 8, x, start superscript, 5, end superscript entre 4, x, cubed:
8x5=(4x3)(C)8x54x3=(4x3)(C)4x3Divide ambos lados entre 4x3.2x2=CSimplifica con las propiedades de los exponentes.\begin{aligned}8x^5&=(4x^3)(C)\\ \\ \dfrac{8x^5}{4x^3}&=\dfrac{(4x^3)(C)}{4x^3}&&\small{\gray{\text{Divide ambos lados entre }4x^3.}}\\ \\\\\\ 2x^2&=C&&\small{\gray{\text{Simplifica con las propiedades de los exponentes.}}} \end{aligned}
Podemos revisar nuestro trabajo al mostrar que el producto de 4, x, cubed y 2, x, squared es, de hecho, 8, x, start superscript, 5, end superscript.
(4x3)(2x2)=42x3x2=8x5\begin{aligned}(\purpleC{4}\tealD {x^3})(\purpleC{2}\tealD{x^2})&=\purpleC 4\cdot \purpleC{2}\cdot \tealD {x^3}\cdot \tealD{x^2}\\ \\ &=\purpleC{8}\tealD{x^5} \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

4) Encontrar el factor faltante B que hace verdadera la siguiente ecuación.
28, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, B, right parenthesis, left parenthesis, 7, x, right parenthesis
Escoge 1 respuesta:

5) Encuentra el factor faltante C que hace que la siguiente igualdad sea verdadera.
40, x, start superscript, 9, end superscript, equals, left parenthesis, C, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis
C, equals

Una nota acerca de múltiples factorizaciones

Considera el número 12. Podemos escribir cuatro diferentes factorizaciones de este número.
  • 12, equals, 2, dot, 6
  • 12, equals, 3, dot, 4
  • 12, equals, 12, dot, 1
  • 12, equals, 2, dot, 2, dot, 3
Sin embargo, solo hay una factorización en primos del número 12, que es 2, dot, 2, dot, 3.
La misma idea se aplica a los monomios. Podemos factorizar 18, x, cubed de muchas formas. Aquí hay algunas factorizaciones.
  • 18, x, cubed, equals, 2, dot, 9, dot, x, cubed
  • 18, x, cubed, equals, 3, dot, 6, dot, x, dot, x, squared
  • 18, x, cubed, equals, 2, dot, 3, dot, 3, dot, x, cubed
¡Sin embargo, hay solamente una factorización completa!
18, x, cubed, equals, 2, dot, 3, dot, 3, dot, x, dot, x, dot, x

Problemas de desafío

6*) Escribe la factorización completa de 22, x, y, squared.
22, x, y, squared, equals

7*) El rectángulo de abajo tiene un área de 24, x, cubed metros cuadrados y su largo es de 4, x, squared metros.
Se muestra un rectángulo cuyo ancho está etiquetado como ancho y la longitud como cuatro x al cuadrado. Dentro del rectángulo se lee veinticuatro x al cubo.
¿Cuál es el ancho del rectángulo?
start text, A, n, c, h, o, end text, equals
metros.

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