Factorizar polinomios de mayor grado

en la gráfica siguiente traza los ceros reales del polinomio dado y nos dan este polinomio pd x es igual a 2x alak internas x a la cuarta menos 2 x menos 1 y bueno esencialmente lo que hacemos es le damos clic en cualquier punto de esta gráfica y nos aparecen puntitos nos podemos desplazar como nosotros queramos y si ya no los queremos los podemos tirar a este basurero y desaparezca así que bien nos preguntan dónde están los ceros o que tracemos los ceros reales de este polinomio de este polinomio de aquí así que déjenme saco mi libreta para anotar entonces tenemos que considerar los ceros de este polinomio de aquí y bueno es un polinomio de grado 5 así que igual y esto se ve algo intimidante factorizar cosas de grado mayor a 2 generalmente es más un arte que una ciencia exacta pero bueno vamos a ver si realmente quieren que que hagamos esto sin la ayuda de una calculadora o de una computadora entonces debe haber algún patrón en este polinomio veamos déjenme le escribo el polinomio escribo px p v x es igual a 2 x a la quinta 2x a la quinta más x a la cuarta si quizá la cuarta menos 2x menos 1 y bien vamos a ver quiero encontrar un patrón este polinomio y esencialmente lo que quiero hacer es utilizar la propiedad distributiva varias veces comenzamos por observar que si me fijo en este primer caso en estos primeros dos términos es 2 x x a una potencia más x a una potencia de un grado menor y acá también tengo un patrón similar aquí tengo menos 2 x x a la 1 menos uno que puedo pensar como x a la cero o sea x a la potencia un grado menor así que veamos vamos a reescribir esto déjenme voy a voy a reescribir esto voy a factorizar este primer caso como el término de grado más alto que tienen en común es x a la cuarta así que lo puede escribir como x a la cuarta por 2 por x más 1 que ya de hecho se parece bastante a este cacho de acá así que voy a tomar este cacho y de hecho lo que voy a hacer es factorizar un -1 voy a factorizar un -1 y escribir menos 1 x 2 x + 1 así que al menos ya tengo este término en común este término y este término que puedo factorizar para sacar de la expresión traerlos al frente y escribir esto como 2 x 1 2 x 1 que multiplica que multiplica pues sin factores en 2 x 1 aquí me queda un x a la cuarta menos 1 muy bien ahora aquí tengo una diferencia de cuadrados y voy a escribir esto como pues veamos 2 x 1 los dejo así 2 x 1 y esto lo comenzó en la diferencia de cuadrados lo voy a expresar como x al cuadrado más 1 x x al cuadrado menos 1 bien vamos progresando ya casi lo tenemos en una forma reducida dejo esto igual 2 x + 1 aquí tengo x al cuadrado más uno que no lo puedo simplificar más así que lo paso como esta x al cuadrado más uno pero aquí también aquí también tengo una diferencia de cuadrados esto es una diferencia cuadrados por lo tanto lo puedo factorizar como x + 1 por x menos y creo que así px ya está bastante bastante factor izado creo que ya no se puede factorizar más así que p de x es igual a esto y la razón por la que quería descomponer apede x en sus factores es porque si quiero que p de x sea igual a 0 para algún valor de x eso equivale a que todo este producto hacia cero y eso pasa si solo si alguno de estos factores es cero así que vamos a analizar cuando se hacen cero esos factores comencemos con el primero 2 x + 1 digamos que quiero hacer que 2 x 1 sea igual a 0 entonces qué tiene que pasar pues si restó uno de ambos lados o sumo menos uno tengo que 2x tiene que ser igual a menos 1 y consecuentemente dividiendo entre 2 obtengo que x es igual a menos un medio así que si x es igual a menos un medio este factor de aquí es 0 y por lo tanto pd un medio de menos un medio es 0 así que esta es una raíz de mi polinomio bien ahora vamos con x al cuadrado más 1 este polinomio no tienen raíces reales les voy a explicar por qué si considero o trato de hacer que x al cuadrado más 1 sea igual a cero entonces necesariamente tendría que x al cuadrado tiene que ser igual a menos 1 pero no hay ningún número real cuyo cuadrados y el número negativo por lo tanto este factor me daría soluciones complejas por lo tanto lo puede ignorar ahora estos últimos dos factores que pasa pues cuando es x más uno igual a cero x más uno es igual a cero si y sólo si sumando menos uno ambos lados x es igual a menos uno por lo tanto x es igual a menos uno también es una raíz de este polinomio y qué hay de x1 pues x1 es igual a cero sí y sólo sí x es igual a 1 por lo tanto aquí tengo otra raíz vamos a checarlo en el sitio tengo que las raíces están en menos 1 menos un medio y 1 bien entonces las raíces estaban en menos 11 en menos un medio y en 1 vamos a checar la respuesta muy bien ahora solo quiero dejar algo muy en claro a pesar de que dije que factorizar este polinomio es algo así como un arte vamos a ver que hay distintos modos de llegar a la respuesta que no es algo así como magia vudú que simplemente se da veamos por ejemplo podríamos tener a p de x escrito pero no en orden descendente en el grado de de los mono mios sino podría estar escrito como no sé 2 x a la quinta menos 2 x más x a la cuarta menos 1 y en este caso que hubiera pasado pues para empezar podríamos de aquí factorizar 2 x éste tiene un factor de 2x y esto también así que vamos a escribir estos primeros dos términos como 2 x x si factor hizo 2x de 12 quizá la quinta me queda x a la cuarta menos 1 y después tengo este más déjenme voy a reescribir esto como 1 por equis a la cuarta menos 1 y noten como aquí ya apareció en los dos lados y entonces eso me permite eso me permite factorizar x a la cuarta de aquí y de acá factorizar lo traerlo al frente y escribir esto como x a la cuarta menos 1 x porque aquí tengo 2x y ya que tengo más 1 que es esencialmente lo que teníamos antes de nuevo esto es una diferencia cuadrados y regresaríamos a esta misma situación así que hay varios caminos que nos llevan a la misma respuesta así que bien como resumen la idea es tratar de utilizar la propiedad distributiva la mayor cantidad de veces posibles para que nos empiecen a aparecer cosas similares que podamos utilizar para continuar factor izando el polinomio aquí es la propiedad distributiva me aparecieron estos dos que eran iguales así que los factores etcétera etcétera pero sí admito que esto es algo que podríamos decir es un arte es algo que requiere intuición y práctica sobre todo