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Contenido principal

Factorizar polinomios al sacar un factor común

Aprende a factorizar un factor común de una expresión polinomial. Por ejemplo, factoriza 6x²+10x como 2x(3x+5).

Con lo que deberías de estar familiarizado antes de esta lección

El MCD (máximo común divisor) de dos o más monomios es el producto de todos sus factores primos comunes. Por ejemplo, el MCD de 6, x y 4, x, squared es 2, x.
Si esto es nuevo para ti, querrás revisar nuestro articulo sobre máximos comunes divisores de monomios.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás a sacar factores comunes de polinomios.

La propiedad distributiva: a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c

Para entender cómo sacar factores comunes, debemos entender la propiedad distributiva.
Por ejemplo, podemos usar la propiedad distributiva para encontrar el producto de 3, x, squared y 4, x, plus, 3 como se muestra a continuación:
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
Observa que cada término en el binomio se multiplicó por un factor común de start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99.
Sin embargo, como la propiedad distributiva es una igualdad, ¡el opuesto de este proceso también es correcto!
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis
Si comenzamos con 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, 3, x, squared, left parenthesis, 3, right parenthesis, podemos usar la propiedad distributiva para factorizar start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99 y obtener 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.
La expresión resultante está en forma factorizada porque está escrita como un producto de dos polinomios, mientras que la expresión original es una suma de dos términos.

Comprueba tu comprensión

Problema 1
Escribe 2, x, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, plus, 2, x, left parenthesis, 5, right parenthesis en forma factorizada.
Escoge 1 respuesta:

Factorizar el máximo común divisor (MCD)

Para factorizar el MCD del polinomio, haz lo siguiente:
  1. Encuentra el MCD de todos los términos en el polinomio.
  2. Expresa cada término como un producto del MCD y otro factor.
  3. Usa la propiedad distributiva para factorizar el MCD.
Vamos a factorizar el MCD de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared.
Paso 1: encuentra el MCD
  • 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
  • 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Así que el MCD de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared es start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99.
Paso 2: expresa cada término como un producto de start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99 y otro factor.
  • 2, x, cubed, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
  • 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
Así que el polinomio puede escribirse como 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Paso 3: factoriza el MCD
Ahora podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis
Verificar nuestro resultado
Podemos revisar nuestra factorización al multiplicar 2, x, squared de regreso en el polinomio.
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
Como esto es lo mismo que el polinomio original, ¡nuestra factorización es correcta!

Comprueba tu comprensión

Problema 2
Factoriza el máximo común divisor en 12, x, squared, plus, 18, x.
Escoge 1 respuesta:

Problema 3
Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.
10, x, squared, plus, 25, x, plus, 15, equals

Problema 4
Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.
x, start superscript, 4, end superscript, minus, 8, x, cubed, plus, x, squared, equals

¿Podemos ser más eficientes?

Si te sientes cómodo con el proceso de factorizar el MCD, puedes usar un método más rápido:
Una vez que conocemos el MCD, la forma factorizada es simplemente el producto de ese MCD y la suma de los términos en el polinomio original dividido entre el MCD.
Ve, por ejemplo, cómo usamos este método rápido para factorizar 5, x, squared, plus, 10, x, cuyo MCD es start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99:
5, x, squared, plus, 10, x, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, start fraction, 5, x, squared, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, 10, x, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

Factorizar factores binomiales

El factor común en un polinomio no tiene que ser un monomio.
Por ejemplo, considera el polinomio x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Observa que el binomio start color #0c7f99, 2, x, minus, 1, end color #0c7f99 es común a ambos términos. Podemos factorizar esto usando la propiedad distributiva:
x, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, minus, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99, right parenthesis

Comprueba tu comprensión

Problema 5
Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.
2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals

Diferentes tipos de factorizaciones

Puede parecer que hemos usado el término "factor" para describir varios procesos diferentes:
  • Factorizamos monomios al escribirlos como un producto de otros monomios. Por ejemplo, 12, x, squared, equals, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, right parenthesis.
  • Factorizamos el MCD de polinomios usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, 2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
  • Factorizamos factores binomios comunes que dieron lugar a una expresión igual al producto de dos binomios. Por ejemplo:
x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, plus, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis
Aunque hayamos podido usar diferentes técnicas, lo que hicimos en cada caso fue escribir el polinomio como un producto de dos o más factores. Así que en los tres ejemplos, factorizamos el polinomio.

Problemas de desafío

Problema 6
Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.
12, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript, minus, 30, x, start superscript, 4, end superscript, y, squared, equals

Problema 7
Un rectángulo grande con un área de 14, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 6, x, squared metros cuadrados se divide en dos rectángulos más pequeños con áreas de 14, x, start superscript, 4, end superscript y 6, x, squared metros cuadrados.
El ancho del rectángulo (en metros) es igual al máximo común divisor de 14, x, start superscript, 4, end superscript y 6, x, squared.
¿Cuál es el largo y el ancho del rectángulo grande?
start text, A, n, c, h, o, end text, equals
metros.
start text, L, a, r, g, o, end text, equals
metros.

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