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Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados

Aprende a factorizar cuadráticas que tienen la forma "diferencia de cuadrados". Por ejemplo, escribe x²-16 como (x+4)(x-4).
Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto al proceso de la multiplicación de polinomios.
En este artículo, aprenderemos a usar la diferencia de cuadrados para factorizar ciertos polinomios. Si no conoces la diferencia de cuadrados, por favor revisa nuestro video antes de seguir.

Introducción: patrón de diferencia de cuadrados

Cada polinomio que sea una diferencia de cuadrados se puede factorizar al aplicar la siguiente fórmula:
a2b2=(a+b)(ab)
Observa que, en el patrón, a y b pueden ser una expresión algebraica. Por ejemplo, para a=x y b=2, obtenemos lo siguiente:
x222=(x+2)(x2)
El polinomio x24 ahora se expresa en forma factorizada, (x+2)(x2). Podemos desarrollar el lado derecho de esta ecuación para justificar la factorización:
(x+2)(x2)=x(x2)+2(x2)=x22x+2x4=x24
Ahora que entendimos el patrón, usémoslo para factorizar más polinomios.

Ejemplo 1: factorizar x216

Tanto x2 como 16 son cuadrados perfectos, ya que x2=(x)2 y 16=(4)2. En otras palabras:
x216=(x)2(4)2
Como los dos cuadrados se están restando, podemos ver que este polinomio representa una diferencia de cuadrados. Podemos usar el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar esta expresión:
a2b2=(a+b)(ab)
En nuestro caso, a=x y b=4. Por lo tanto, nuestro polinomio se factoriza así:
(x)2(4)2=(x+4)(x4)
Podemos revisar nuestro trabajo al asegurar que el producto de estos dos factores es x216.

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza x225.
Escoge 1 respuesta:

2) Factoriza x2100.

Pregunta para reflexionar

3) ¿Podemos usar el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar x2+25?
Escoge 1 respuesta:

Ejemplo 2: factorizar 4x29

El coeficiente principal no tiene que ser igual a 1 para usar el patrón de la diferencia de cuadrados. ¡De hecho, el patrón de la diferencia de cuadrados se puede usar en este caso!
La razón es que 4x2 y 9 son cuadrados perfectos, pues 4x2=(2x)2 y 9=(3)2. Podemos usar esta información para factorizar el polinomio usando el patrón de la diferencia de cuadrados:
4x29=(2x)2(3)2=(2x+3)(2x3)
Una comprobación con una multiplicación rápida verifica nuestra respuesta.

Comprueba tu comprensión

4) Factoriza 25x24.
Escoge 1 respuesta:

5) Factoriza 64x281.

6) Factoriza 36x21.

Problemas de desafío

7*) Factoriza x49.

8*) Factoriza 4x249y2.

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