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Contenido principal

Factorización por el método de aspas y divisores binómicos

Factorización de expresiones por el método del aspa simple

Lo que necesitas saber para esta lección

Previamente debes revisar los diversos métodos de factorización.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás otra forma de factorizar una expresión cuadrática de la forma ax2+bx+c con a0 y a,b,cR.

Situación de reflexión

Juan tiene un terreno rectangular y usa la expresión 3x2x2 para representar el área de su terreno.
¿Cuáles son las posibles dimensiones de su terreno?
Recordemos que para hallar el área de un rectángulo multiplicamos sus dos dimensiones. Para encontrar las dimensiones del terreno de Juan, podemos factorizar el trinomio 3x2x2 Ciertamente podemos utilizar otros métodos, pero en esta oportunidad haremos la factorización aplicando el método del aspa simple (o método cruzado).

Procedimiento para factorizar un trinomio por el método del aspa simple

Para aplicar el método del aspa simple, seguiremos el siguiente procedimiento:
1) Ordenar el trinomio en forma decreciente según la forma ax2+bx+c.
2) Descomponer en factores convenientes términos extremos del polinomio.
3) Multiplicar en forma cruzada los factores descompuestos y comprobar que el término central sea igual a la suma de los productos parciales.
En este caso observamos que (3x)+(+2x)=x, donde x es el término central del trinomio 3x2x2.
Si esto no se cumple, debes cambiar los factores descompuestos o cambiar sus signos o hacer ambas cosas a la vez.
4) Agrupar los términos en forma horizontal y escribir el trinomio como producto de los factores
3x2x2=(3x+2)(x1)
Vemos que 3x+2 y x1 son factores de 3x2x2.
Para comprobar la factorización, multiplicamos los factores:
(3x+2)(x1)=(3x+2)(x)+(3x+2)(1)=3x2+2x3x2=3x2x2
El producto de 3x+2 y x1 es 3x2x2.
¡Nuestra factorización es correcta!
Finalmente, las posibles dimensiones para el terreno de Juan son 3x+2 y x1 unidades.

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza:
4x211x3
Ingresa tu respuesta:

2) Factoriza:
4x2+3x
Ingresa tu respuesta
Ingresa tu respuesta:

Factorización de expresiones por el criterio de los divisores binómicos

Lo que necesitas saber para esta parte de la lección

Antes de continuar, te sugerimos revisar los siguientes tópicos:

Lo que aprenderás en esta parte de la lección

En esta parte de la lección, mostramos como factorizar polinomios de una variable con coeficientes enteros que tenga al menos un factor lineal en su factorización.

Situación de reflexión

César representa el volumen de una caja de zapatos mediante la expresión x3+7x2+14x+8. ¿Cuáles son las posibles dimensiones de la caja?
Para resolver esta situación, debemos factorizar el polinomio de una variable x3+7x2+14x+8.
Para factorizar, utilizaremos el método de los divisores binómicos (también conocido como criterio de los ceros racionales). Empezaremos por buscar los divisores positivos y negativos del término independiente del polinomio a factorizar.

Procedimiento para factorizar utilizando el criterio de los divisores binómicos

Para explicar el procedimiento, vamos a utilizar la expresión x3+7x2+14x+8 que representa el volumen de la caja de zapatos de César.
Llamamos P a esa expresión: P(x)=x3+7x2+14x+8
1) Hallamos los divisores del término independiente de P que es 8.
Divisores de 8: +1,+2,+4,+8,1,2,4,8
2) Reemplazamos alguno de estos valores en P, de tal forma que se obtenga cero. Observa:
Six=1P(1)=(1)3+7(1)2+14(1)+8P(1)=30Six=1P(1)=(1)3+7(1)2+14(1)+8P(1)=0
¡ x=1 es el valor que buscamos!
Ahora aplicaremos el teorema del factor.
3) Ya hemos comprobado que (x+1) es factor de P(x), pues P(1)=0. Si tienes dudas, revisa el Paso 2.
Por tanto, P(x) se expresa de la siguiente forma:
P(x)=(x+1)Q(x)Q(x)=P(x)(x+1)
Obtenemos Q(x), utilizando el método de Ruffini (conocido también como división sintética). Si no recuerdas como aplicarlo puedes revisar método de Ruffini (o método de la división sintética)
Luego de dividir, se observa que el trinomio x2+6x+8 todavía se puede seguir factorizando por el criterio del aspa simple.
Por tanto, P(x) queda expresada como:
(x+1)(x2+6x+8)=(x+1)(x+2)(x+4)
Donde algunos de sus factores son x+1, x+2 y x+4.
El producto de x+1, x+2 y x+4 es x3+7x2+14x+8.
¡Nuestra factorización es correcta!
Finalmente, las posibles dimensiones para el volumen de la caja de zapatos de César son (x+1), (x+2) y (x+4) unidades.

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza
Q(x)=x37x+6
Ingresa tu respuesta
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2) Factoriza
P(x)=2x35x223x10
Ingresa tu respuesta
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