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Algebra I - Preparación Educación Superior

Curso: Algebra I - Preparación Educación Superior > Unidad 3

Lección 12: Factorización por el método de aspas y divisores binómicos
Matemáticas
Algebra I - Preparación Educación Superior
Productos y cocientes notables y factorización
Factorización por el método de aspas y divisores binómicos
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Factorización por el método de aspas y divisores binómicos

Google Classroom

Factorización de expresiones por el método del aspa simple

Lo que necesitas saber para esta lección

Previamente debes revisar los diversos métodos de factorización.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás otra forma de factorizar una expresión cuadrática de la forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c con a, does not equal, 0 y a, comma, b, comma, c, \in, R.

Situación de reflexión

Juan tiene un terreno rectangular y usa la expresión 3, x, squared, minus, x, minus, 2 para representar el área de su terreno.
¿Cuáles son las posibles dimensiones de su terreno?
Recordemos que para hallar el área de un rectángulo multiplicamos sus dos dimensiones. Para encontrar las dimensiones del terreno de Juan, podemos factorizar el trinomio 3, x, squared, minus, x, minus, 2 Ciertamente podemos utilizar otros métodos, pero en esta oportunidad haremos la factorización aplicando el método del aspa simple (o método cruzado).

Procedimiento para factorizar un trinomio por el método del aspa simple

Para aplicar el método del aspa simple, seguiremos el siguiente procedimiento:
1) Ordenar el trinomio en forma decreciente según la forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c.
2) Descomponer en factores convenientes términos extremos del polinomio.
Factorización
3) Multiplicar en forma cruzada los factores descompuestos y comprobar que el término central sea igual a la suma de los productos parciales.
Descomponemos los extremos del trinomio
En este caso observamos que left parenthesis, minus, 3, x, right parenthesis, plus, left parenthesis, plus, 2, x, right parenthesis, equals, minus, x, donde minus, x es el término central del trinomio 3, x, squared, minus, x, minus, 2.
Si esto no se cumple, debes cambiar los factores descompuestos o cambiar sus signos o hacer ambas cosas a la vez.
4) Agrupar los términos en forma horizontal y escribir el trinomio como producto de los factores
3, x, squared, minus, x, minus, 2, equals, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
Vemos que 3, x, plus, 2 y x, minus, 1 son factores de 3, x, squared, minus, x, minus, 2.
Para comprobar la factorización, multiplicamos los factores:
(3x+2)(x−1)=(3x+2)(x)+(3x+2)(−1)=3x2+2x−3x−2=3x2−x−2\begin{aligned} \left(3x+2\right)\left(x-1\right)&=\left(3x+2\right)(x)+\left(3x+2\right)(-1)\\\\ &=3x^2+2x-3x-2\\\\ &=3x^2-x-2\end{aligned}
El producto de 3, x, plus, 2 y x, minus, 1 es 3, x, squared, minus, x, minus, 2.
¡Nuestra factorización es correcta!
Finalmente, las posibles dimensiones para el terreno de Juan son 3, x, plus, 2 y x, minus, 1 unidades.

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza:
4, x, squared, minus, 11, x, minus, 3
Ingresa tu respuesta:

2) Factoriza:
4, minus, x, squared, plus, 3, x
Ingresa tu respuesta
Ingresa tu respuesta:

Factorización de expresiones por el criterio de los divisores binómicos

Lo que necesitas saber para esta parte de la lección

Antes de continuar, te sugerimos revisar los siguientes tópicos:

Lo que aprenderás en esta parte de la lección

En esta parte de la lección, mostramos como factorizar polinomios de una variable con coeficientes enteros que tenga al menos un factor lineal en su factorización.

Situación de reflexión

César representa el volumen de una caja de zapatos mediante la expresión x, cubed, plus, 7, x, squared, plus, 14, x, plus, 8. ¿Cuáles son las posibles dimensiones de la caja?
Para resolver esta situación, debemos factorizar el polinomio de una variable x, cubed, plus, 7, x, squared, plus, 14, x, plus, 8.
Para factorizar, utilizaremos el método de los divisores binómicos (también conocido como criterio de los ceros racionales). Empezaremos por buscar los divisores positivos y negativos del término independiente del polinomio a factorizar.

Procedimiento para factorizar utilizando el criterio de los divisores binómicos

Para explicar el procedimiento, vamos a utilizar la expresión x, cubed, plus, 7, x, squared, plus, 14, x, plus, 8 que representa el volumen de la caja de zapatos de César.
Llamamos P a esa expresión: P, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 7, x, squared, plus, 14, x, plus, 8
1) Hallamos los divisores del término independiente de P que es start color #df0030, 8, end color #df0030.
Divisores de 8: plus, 1, comma, plus, 2, comma, plus, 4, comma, plus, 8, comma, minus, 1, comma, minus, 2, comma, minus, 4, comma, minus, 8
2) Reemplazamos alguno de estos valores en P, de tal forma que se obtenga cero. Observa:
Si  x=1⇒P(1)=(1)3+7(1)2+14(1)+8⇒P(1)=30Si  x=−1⇒P(−1)=(−1)3+7(−1)2+14(−1)+8⇒P(−1)=0\begin{aligned} \text{Si}\; x=\red{1} & \Rightarrow P(\red{1})=(\red{1})^3+7(\red{1})^2+14(\red{1})+8\\\\ &\Rightarrow P(\red{1})= 30\\\\ \text{Si}\; x=\red{-1} & \Rightarrow P(\red{-1})=(\red{-1})^3+7(\red{-1})^2+14(\red{-1})+8\\\\ &\Rightarrow P(\red{-1})= 0 \end{aligned}
¡ x, equals, minus, 1 es el valor que buscamos!
Ahora aplicaremos el teorema del factor.
3) Ya hemos comprobado que left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis es factor de P, left parenthesis, x, right parenthesis, pues P, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0. Si tienes dudas, revisa el Paso 2.
Por tanto, P, left parenthesis, x, right parenthesis se expresa de la siguiente forma:
P, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, Q, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, Q, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, P, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction
Obtenemos Q, left parenthesis, x, right parenthesis, utilizando el método de Ruffini (conocido también como división sintética). Si no recuerdas como aplicarlo puedes revisar método de Ruffini (o método de la división sintética)
Luego de dividir, se observa que el trinomio x, squared, plus, 6, x, plus, 8 todavía se puede seguir factorizando por el criterio del aspa simple.
Por tanto, P, left parenthesis, x, right parenthesis queda expresada como:
left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, plus, 6, x, plus, 8, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
Donde algunos de sus factores son x, plus, 1, x, plus, 2 y x, plus, 4.
El producto de x, plus, 1, x, plus, 2 y x, plus, 4 es x, cubed, plus, 7, x, squared, plus, 14, x, plus, 8.
¡Nuestra factorización es correcta!
Finalmente, las posibles dimensiones para el volumen de la caja de zapatos de César son left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis y left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis unidades.

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza
Q, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, minus, 7, x, plus, 6
Ingresa tu respuesta
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2) Factoriza
P, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, minus, 5, x, squared, minus, 23, x, minus, 10
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