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Contenido principal
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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es descubrir si hay alguna forma rápida para calcular la suma de las raíces de cualquier polinomio y de hecho lo hay y por eso estamos haciendo este video así que empecemos con el polinomio de segundo grado digamos tendremos en un polinomio muy general digamos x cuadrada más a 1x donde aún no es alguna constante más a dos igual a cero muy bien entonces tú dirás bueno hoy y porque si quería poner un polinomio de segundo grado tan general aquí porque este coeficiente es uno y te voy a explicar porque supone que tienes el polinomio x cuadrada más bx más e igual a cero entonces en realidad aquí lo importante es calcular las raíces verdad entonces podemos dividir en de ambos lados entre a entonces dividimos entre a dividimos entre a todos estos mandos y dividimos entre a que sigue siendo cero esto sigue siendo cero el detalle aquí es que éstas hace cancelan y nos queda algo de la forma x cuadrada más algo por equis más algo que es justamente con lo que empezamos entonces déjeme quitar todo esto y seguiremos con nuestro procedimiento muy bien entonces digamos que éste polinomio de segundo grado sabemos que tiene dos raíces vamos a llamarles a digamos r1 y r2 r1 y r2 son sus raíces que significa que son sus raíces pues esencialmente que esta ecuación la podemos ver de la siguiente forma x - r 1 que multiplica a x - r2 es igual a cero muy bien entonces si nosotros empezamos a desarrollar este producto de de binomios entonces lo que vamos a obtener lo siguiente x x x nos da x cuadrada muy bien x x - r2 es - r 2 x ahora vamos a ver qué pasa si multiplicamos éste por este binomio - rr 1 x x tenemos menos fue 1 x y menos se reunó por menos rr2 nos da más r1 r2 igual a cero muy bien ahora el chiste aquí es agrupar de forma correcta entonces tendremos x cuadrada - vamos a factorizar el menos de estas x y tendremos rr 1 más rd 2 x x muy bien está esencialmente lo mismo que acá arriba verdad tendremos menos por rr 1 x x es este término - por rd 2 x x es menos herreros x y luego nos falta sólo sumar r1 por r2 y esto seguirá siendo igual a cero entonces pensemos un momento en lo que tenemos aquí y en lo que teníamos al inicio al inicio me dice que este coeficiente aún no sería lo equivalente en este caso a menos r uno más r2 muy bien sigue siendo de la misma forma los polinomios entonces aún no sería igual a menos r uno más r2 eso qué significa quién sería entonces era uno más rr2 pues sería menos a uno verdad sin si aún no es menos r1 más enredos entonces r1 más cerrados es menos a uno entonces este caso no fue no fue difícil vamos a ver qué pasa con el de tercer grado ok entonces en el ter en el de tercer grado tenemos un polinomio de la forma x kubica más a 1x cuadrada más a 2 x más a 3 igual a cero y otra vez tú dirás porque aquí hay uno bueno pues porque si no hubiera un 1 dividimos entre lo que hubiera como coeficiente de x al cubo ahora bien este es un polinomio de tercer grado y tiene tres raíces r1 r2 y r3 digamos esto que significa pues que x - r 1 al multiplicarlo por x - r 2 y que lo multiplicamos por x - r 3 debe ser igual a cero por lo que nos dice en esta ecuación muy bien entonces la pregunta otra vez es quién es la suma de las raíces de este polinomio muy bien entonces vamos a hacer un bueno algo algo breve y algo rápido si te das cuenta esto de aquí este producto es esencialmente en lo que calculamos antes entonces lo que nosotros tenemos que multiplicar es este polinomio el segundo grado por x - r 3 entonces no voy a hacer todos los términos porque sólo me van a interesar algunos ya verás porque digamos que empezamos a multiplicar con x todo este polinomio entonces tendremos x x x cuadrada meda x al cubo x al cubo muy bien ahora bien qué pasa si yo multiplico esta x key digamos que multiplicó esta x ahora por - r uno más r 2 x digamos por esto entonces tengo - r uno más r2 que multiplica a x x x que es x cuadrada muy bien y tendré otros términos que ya no me no me interesan realmente ahorita calcularlos muy bien va a haber otros términos es lo único que hay que considerar ahora bien qué pasa si empezamos a multiplicar - r 3 por todo esto tendremos - r 3 x x cuadrada es - r 3 x cuadrada y tendremos otros y otros términos y ya verás ahorita porque no me interesa calcular los demás si yo fuera su mando bueno esencialmente lo que hay que ver es que ya no va a haber otros términos de x cuadrada verdad por ejemplo x tendría que multiplicarse por este término que tiene x para obtener x cuadrada o igual si está en si queremos multiplicar - rr3 por alguno de estos y que nos dé x cuadradas sólo puede ser el primero ok entonces los demás van a ser términos de un grado inferior a 2 ahora bien si nosotros sumamos que es lo que nos queda tendremos x kubica y aquí podemos agrupar - r 1 r2 más r3 que multiplican ax cuadrada más otros términos que son de grado inferior ahora bien fíjate muy bien qué es lo que acabamos de obtener acabamos de obtener el coeficiente que antecede a x cuadrada es menos r1 más enredos más de tres pero eso debe ser a 1 eso significa que erre uno más r2 más r3 debe ser igual a menos a uno entonces esto va muy bien con nuestra idea porque estamos calculando de forma fácil la suma de las raíces de polinomios entonces lo que nos gustaría es bueno qué tal si tenemos un polinomio de grado n queremos calcular rápidamente cuál es la suma de sus raíces así que esto lo vamos a demostrar por inducción vamos a demostrar que la suma de las raíces es menos el primer coeficiente después del grado más grande muy bien que de hecho sería el de grado uno menor ok entonces vamos a demostrar esto por inducción significa que vamos a suponer que esta regla se cumple para un polinomio de grado n y vamos a demostrar que se cumple para el de grado en más 1 ok entonces lo que vamos a suponer vamos a demostrar por inducción y por lo tanto vamos a suponer suponemos lo siguiente digamos que tenemos un polinomio de grado n xn más a 1x a la n menos uno más todos los demás términos y esto es igual a cero ok entonces esta ecuación tiene n raíces digamos que son r1 r2 y hasta r n muy bien esto que significaba pues que x - r 1 por x - r 2 que multiplica a todos estos x - rn igual a cero nos daba lo siguiente nos daba x sala n - r uno más r 2 y así sumamos todos estos rehenes y que multiplica a x la n -1 sumamos más términos y esto nos daba igual a cero entonces esto es lo que estamos suponiendo tomamos un polinomio cualquiera de grado n obtenemos sus raíces hacemos esta multiplicación y al desarrollar nos queda una expresión de este estilo esto nos lleva a suponer también que la suma de las raíces la suma de las raíces r1 r2 y sumamos todas hasta rn es menos a uno entonces con todo esto que hemos supuesto vamos a ver pensemos ahora qué pasa si tenemos un polinomio de un grado mayor entonces pensemos en lo siguiente pensemos en x a la n más uno más a 1x a la n más seguimos sumando hasta no sé hasta algún hasta algún término y esto es igual a cero entonces tenemos nuestro polinomio de grado en más 1 igualado a cero entonces esto tiene en lemas son raíces verdad r1 r2 r3 y así hasta rn y rr tiene más uno estas son nuestras raíces qué significa eso otra vez que si yo multiplico estos x - rr 1 x x - r 2 si voy multiplicando hasta x - rcn y luego multiplicó por x - rn +1 y esto lo iguala 0 esto al desarrollarlo nos queda bueno aquí hay que hay que notar algo y es la esencia de la prueba de la demostración esto de aquí esto de aquí justamente es lo que hemos calculado acá arriba tenemos exactamente esto entonces lo único que nos resta es multiplicar este polinomio por este binomio de aquí muy bien entonces esa es la idea y vamos a ver qué es lo que resulta entonces si multiplicamos x x x a la n lo que nos queda es x a la n más uno ahora si multiplicamos x por este segundo término lo que tenemos que es no se dejen hacerlo con otro color lleva multiplicamos x porque esto por esto lo que nos queda es x bueno sería menos reúno más rr2 más todos estos más rr nn y x x x al adn - uno es x sala n muy bien y seguimos con términos de grado inferior sale ahora vamos a ver qué pasa si multiplicamos esté acá y vamos vamos a hacerlo ahora sí vamos a multiplicar - rn más uno por ekiza la n nos queda menos r n más uno por ekiza la n-ii seguimos sumando términos de grado inferior entonces al final al final si sumamos esto si sumamos esto que es lo que nos queda nos queda x a la n más uno y luego tenemos que restar r1 r2 y así hasta r n pero también restamos ere en amazon o aunque entonces como aquí está el menos tenemos rn más uno que multiplica a ekiza la n-ii tenemos términos de grado inferior muy bien entonces lo que obtuvimos es que otra vez el coeficiente de dx a la n resulta ser menos la suma de las raíces muy bien entonces lo que tenemos con esto es que la suma de las raíces la suma de todas estas raíces de este polinomio de grado en más uno debe ser igual a menos a uno que es el coeficiente que antecede a ax a la em es decir uno menos que el grado máximo muy bien entonces aquí ya hicimos la demostración por inducción piensen en lo siguiente si suponemos cierto para para para alguna n demostramos que para el siguiente es cierto pero con que empezamos verdad empezamos con en igualados y después demostramos para n igual a tres demostramos para en igual a tres pero ahora aquí lo que hicimos es si suponemos cierto para alguna n demostramos que es cierto para el siguiente entonces tenemos que es cierto para tres y por este argumento es cierto para cuatro pero como es cierto para cuatro el siguiente va a ser cierto y que cinco entonces va a ser cierto para todos los los los grados para todos los grados de los polinomios en realidad estamos diciendo que cualquier polinomio cumple esta propiedad muy bien es como una demostración por un efecto dominó verdad sí es cierto para uno lo que tienen las piezas de dominó es que si las acomodadas y tirasso una puedes ir tirando una tras otra tras otra así es como demostramos por inducción supo si suponemos cierto para uno resulta que el siguiente también es cierto entonces ya lo demostramos para todos ahora piensa en lo siguiente tenemos la suma de las raíces estas raíces podrían ser complejos pero era lo mejor aún no es un número real así que lo que está pasando a la hora de sumar estos es que las partes imaginarias se están cancelando entonces no sé quizás quizás valdría la pena hacer un ejemplo digamos que tenemos este digamos no sé un polinomio muy raro no se esté podría ser x a las siete menos pi por ekiza las seis más por equis a las 5 - raíz de 2 x x sala 4 qué sé yo no sé no sé - 3 igual a cero y a lo mejor nos nos preguntan hoy y cuánto vale la suma de todas las raíces digamos ser estévez un polinomio de grado 7 entonces tiene siete raíces si nosotros sumamos todas sus raíces cuánto vale apus eso nos dice que es menos el coeficiente de un grado menor al máximo entonces sería menos - piqué es si verdad entonces realmente esto es una herramienta muy buena y tú te preguntarás oye pero que tal que no me dan un polinomio con el primer coeficiente igual a uno digamos que tal que me me ponen algo así como 7 x a las cinco menos 6 x a la 4 más pi por equis al cubo más no sé qué tanto igual a cero entonces dices cuando asuman estas raíces bueno recordemos que podemos dividir todo en 37 verdad porque porque realmente no afecta la ecuación entonces si dividimos de ambos lados en 37 tendremos x a las 5 a las 5 - seis entre 7 x sala 4 más si entre 7 x al cubo y así sumamos y esto nos da igual a cero muy bien entonces ahora sí cuales son la cual es la suma de las raíces de este poli polinomio de grado cinco jueces - el coeficiente de un grado de un grado menor que el máximo entonces sería r uno más r lo bueno la suma de todas estas raíces sería 6 7º así que espero que hayas encontrado esto muy divertido y muy útil