Suma de las raíces de un polinomio (demostración)

lo que quiero hacer en este vídeo es descubrir si hay alguna forma rápida para calcular la suma de las raíces de cualquier polinomio y de hecho lo hay y por eso estamos haciendo este vídeo así que empecemos con el polinomio de segundo grado digamos pensemos en un polinomio muy general digamos x cuadrada más a 1 x donde aún no es alguna constante más a 2 igual a 0 muy bien entonces tú dirás bueno oye y por qué si querías poner un polinomio de segundo grado tan general aquí porque este coeficiente es 1 y te voy a explicar por qué suponte que tienes el polinomio a x cuadrada más b x + c igual a 0 entonces en realidad aquí lo importante es calcular las raíces verdad entonces podemos dividir de ambos lados / a entonces dividimos entre a dividimos entre a todos estos sumando si dividimos 0 entre a que sigue siendo 0 esto sigue siendo 0 el detalle aquí es que estas se cancelan y nos queda algo de la forma de x cuadrada más algo por x más algo que es justamente con lo que empezamos entonces déjenme quitar todo esto y seguiremos con nuestro procedimiento muy bien entonces digamos que este polinomio de segundo grado sabemos que tiene dos raíces vamos a llamarles a digamos r1 y r2 r1 y r2 son sus raíces que significa que son sus raíces pues esencialmente que esta ecuación la podemos ver de la siguiente forma x menos ere uno que multiplica a x menos r2 es igual a 0 muy bien entonces si nosotros empezamos a desarrollar este producto de binomios entonces lo que vamos a obtener lo siguiente x por x nos da es cuadrada muy bien x x menos r2 es menos r 2 x ahora vamos a ver qué pasa si multiplicamos este por este binomio menos r 1 por equis tenemos menos r 1 x y menos cr1 por menos r 2 nos da más r1 r2 igual a 0 muy bien ahora el chiste aquí es agrupar de forma correcta entonces tendremos x cuadrada menos vamos a factorizar el menos de estas x y tendremos r1 r2 por x muy bien esto esencialmente es lo mismo que acá arriba verdad tendremos menos x r 1 x x es este término menos x r2 por x es menos r 2x y luego nos falta sólo sumar r 1 x r 2 y esto seguirá siendo igual a 0 entonces pensemos un momento en lo que tenemos aquí y en lo que teníamos al inicio al inicio me dice que este coeficiente aún sería lo equivalente en este caso a menos r1 y r2 muy bien siguen siendo de la misma forma los polinomios entonces a uno sería igual a menos r1 r2 eso que significa quien sería entonces r1 r2 pues sería menos a uno verdad sí sí a uno es menos r1 r2 entonces r1 r2 es menos a uno entonces este caso no fue no fue difícil vamos a ver qué pasa con el de tercer grado ok entonces en el test en el de tercer grado tenemos un polinomio de la forma x cúbica más a uno x cuadrada más a 2x más a 3 igual a 0 y otra vez tú dirás porque aquí hay un 1 bueno pues porque si no hubiera un 1 dividimos entre lo que hubiera como coeficiente de x al cubo ahora bien este es un polinomio de tercer grado y tiene tres raíces r1 r2 y r3 digamos esto que significa pues que x menos ere uno al multiplicarlo por x menos r2 y que luego multiplicamos por x menos r3 debe ser igual a 0 por lo que nos dice en esta ecuación muy bien entonces la pregunta otra vez es quien es la suma de las raíces de este polinomio muy bien entonces vamos a hacer un buén o algo algo breve y algo rápido si te das cuenta esto de aquí este producto esencialmente es lo que calculamos antes entonces lo que nosotros tenemos que multiplicar es este polinomio de segundo grado por x menos r3 entonces no voy a hacer todos los términos porque solo me van a interesar algunos ya verás porque digamos que empezamos a multiplicar con x todo este polinomio entonces tendremos x x x cuadrada me da x al cubo x al cubo muy bien ahora bien qué pasa si yo multiplico esta x ok digamos que multiplicó esta x ahora por menos seré uno más r 2 x digamos por esto entonces tengo menos r uno más r 2 que multiplica a x por x que es x cuadrada muy bien y tendré otros términos que ya no me no me interesan realmente ahorita calcular los muy bien va a haber otros términos eso es lo único que hay que considerar ahora bien qué pasa si empezamos a multiplicar menos r3 por todo esto tendremos menos r 3 x x cuadrada es menos r 3x cuadrada y tendremos otros otros términos y ya verás ahorita porque no me interesa calcular los demás si yo fuera sumando bueno esencialmente lo que hay que ver es que ya no va a haber otros términos de x cuadrada verdad por ejemplo x tendría que multiplicarse por este término que tiene x para obtener es cuadrada o igual si queremos multiplicar menos r3 por alguno de estos y que nos dé x cuadradas solo puede ser el primero ok entonces los demás van a ser términos de un grado inferior a 2 ahora bien si nosotros sumamos qué es lo que nos queda tendremos x cúbica y aquí podemos agrupar menos r uno más r 2 más r 3 que multiplican a x cuadrada más otros términos que son de grado inferior ahora bien fíjate muy bien que es lo que acabamos de obtener acabamos de obtener que el coeficiente que antecede a x cuadrada es menos r 1 más r2 más r 3 pero eso debe ser a 1 eso significa que r1 más r-2 más r 3 debe ser igual a menos a 1 entonces esto va muy bien con nuestra idea porque estamos calculando de forma fácil la suma de las raíces de polinomios entonces lo que nos gustaría es bueno qué tal si tenemos un polinomio n queremos calcular rápidamente cuál es la suma de sus raíces así que esto lo vamos a demostrar por inducción vamos a demostrar que la suma de las raíces es menos el primer coeficiente después del grado más grande muy bien que de hecho sería el de grado uno menor ok entonces vamos a demostrar esto por inducción significa que vamos a suponer que esta regla se cumple para un polinomio de grado n y vamos a demostrar que se cumple para el de grado n 1 ok entonces lo que vamos a suponer vamos a demostrar por inducción y por lo tanto vamos a suponer suponemos lo siguiente digamos que tenemos un polinomio de grado n x cn más a 1 x a la n menos uno más todos los demás términos y esto es igual a cero ok entonces esta ecuación tiene n raíz es digamos que son r1 r2 ya está r n muy bien esto que significaba pues que x menos r 1 por x menos r 2 que multiplica a todos estos x menos rn igual a 0 nos daba lo siguiente nos daba x a la n menos r1 r2 y así sumamos todos estos rehenes y que multiplica a x a la n 1 sumamos más términos y esto nos daba igual a 0 entonces esto es lo que estamos suponiendo tomamos un polinomio cualquiera de grado n obtenemos sus raíces hacemos esta multiplicación y al desarrollar nos queda una expresión de este estilo nos lleva a suponer también que la suma de las raíces la suma de las raíces r1 y r2 y sumamos todas hasta rn es menos a 1 entonces con todo esto que hemos supuesto vamos a ver pensemos ahora qué pasa si tenemos un polinomio de un grado mayor entonces pensemos en lo siguiente pensemos en x a la n 1 + a 1 x a la n más seguimos sumando hasta no sé hasta algún hasta algún término y esto es igual a 0 entonces tenemos nuestro polinomio de grado n 1 igualado a cero entonces esto tiene n más un raíz es verdad r 1 r2 r3 y así hasta rn y r n 1 estas son nuestras raíces qué significa eso otra vez que si yo multiplico estos x menos r1 por x r2 si voy multiplicando hasta x menos rn y luego multiplicó por x menos rn uno y esto lo igual a cero esto al desarrollarlo nos queda bueno aquí hay que aquí hay que notar algo y es la esencia de la prueba de la demostración esto de aquí esto de aquí justamente es lo que hemos calculado acá arriba tenemos exactamente esto entonces lo único que nos resta es multiplicar este polinomio por este binomio de aquí muy bien entonces esa es la idea y vamos a ver qué es lo que resulta entonces si multiplicamos x por x a la n lo que nos queda es x n 1 ahora si multiplicamos x por este segundo término lo que tenemos es no se dejen hacerlo con otro color se va multiplicamos x por esto por esto lo que nos queda es x es bueno sería menos r1 r2 más todos estos más r n iv x por equis a la enee menos uno es x a la n muy bien y seguimos con términos de grado inferior sale ahora vamos a ver qué pasa si multiplicamos este de acá digamos vamos a hacerlo ahora sí vamos a multiplicar menos rn uno por x a la n nos quedan menos r n 1 por x a la n y seguimos sumando términos de grado inferior entonces al final al final si sumamos esto si sumamos esto que es lo que nos queda nos queda x a la n 1 y luego tenemos que restar r1 y r2 y así hasta r n pero también restamos ere n 1 aunque entonces como aquí está el menos tenemos rn + 1 que multiplica a x a la n y tenemos términos de grado inferior muy bien entonces lo que obtuvimos es que otra vez el coeficiente de de x a la n resulta ser menos la suma de las raíces muy bien entonces lo que tenemos con esto es que la suma de las raíces la suma de todas estas raíces de este polinomio de grado n 1 debe ser igual a menos a 1 que es el coeficiente que antecede a x a la n es decir uno menos que el grado máximo muy bien entonces aquí ya hicimos la demostración por inducción piensen en lo siguiente si suponemos cierto para para alguna n demostramos que para el siguiente es cierto pero con que empezamos verdad empezamos con en igualados y después demostramos para n igual a 3 demostramos para n igual a 3 pero ahora aquí lo que hicimos es si suponemos cierto para alguna n demostramos que es cierto para el siguiente entonces tenemos que es cierto para tres y por este argumento es cierto para cuatro pero como es cierto para cuatro el siguiente va a ser cierto y que cinco entonces va a ser cierto para todos los los grados para todos los grados de los polinomios en realidad estamos diciendo que cualquier polinomio cumple esta propiedad muy bien es como una demostración por un efecto dominó verdad sí es cierto para uno lo que tienen las piezas de dominó es que si las acomodas y tiras una puedes ir tirando una tras otra tras otra así es como demostramos por inducción supongo si suponemos cierto para uno resulta que el siguiente también es cierto entonces ya lo demostramos para todos ahora piensen lo siguiente tenemos la suma de las raíces estas raíces podrían ser complejos pero pero a lo mejor a uno es un número real así que lo que está pasando a la hora de sumar estos es que las partes imaginarias se están cancelando entonces no sé quizás quizás valdría la pena hacer un ejemplo digamos que tenemos este digamos no sé un polinomio muy raro no sé este podría ser x a las 7 menos y x x a las seis más por x a las cinco menos raíz de 2 x x a la 4 qué sé yo no sé menos 3 igual a 0 y a lo mejor nos preguntan hoy cuánto vale la suma de todas las raíces digamos ser a estévez un polinomio de grado 7 entonces tiene 7 raíces si nosotros sumamos todas sus raíces cuánto vale a pues eso nos dice que es menos el coeficiente de un grado menor al máximo entonces sería menos menos piqué es verdad y entonces realmente esto es una herramienta muy buena y tú te preguntarás oye pero qué tal que no me dan un polinomio con el primer coeficiente igual a uno digamos que tal que me que me ponen algo así como 7 quizá las 5 menos 6 x a la 4 y por x al cubo más no sé qué tanto igual a cero entonces dices cuánto suman estas raíces bueno recordemos que podemos dividir todo entre 7 verdad porque porque realmente no afecta a la ecuación entonces si dividimos de ambos lados entre 7 tendremos x a las 5 a las 5 menos 6 entre 7 x a la 4 más pi entre 7 x al cubo y así sumamos y esto nos da igual a 0 muy bien entonces ahora sí cuáles son la cuál es la suma de las raíces de este polinomio de grado 5 pues es menos el coeficiente de un grado de un grado menor que el máximo entonces sería r1 el reloj bueno la suma de todas estas raíces sería 6 séptimos así que espero que hayas encontrado esto muy divertido y muy útil