Suma de los cuadrados de las raíces de un polinomio

en el último vídeo pudimos calcular la suma de las raíces de un polinomio lo que vamos a intentar hacer en este vídeo es pensar en la suma de los cuadrados de las raíces de ese polinomio entonces digamos que empezamos con el polinomio de segundo grado x cuadrada más a uno x más a 2 igual a cero y ya dijimos en el vídeo pasado porque podíamos pensar que éste era una verdad si no fuera 1 dividimos entre ese coeficiente muy bien entonces si tenemos este polinomio éste tiene dos raíces digamos r1 y r2 sale y esto también significa que podemos reescribir el polinomio como x menos r1 por x menos r2 y esto será igual a cero ahora bien si esto lo desarrollamos si ya lo hicimos de hecho en el vídeo anterior esto nos queda x cuadrada menos r1 r2 que multiplica x r1 r2 igual a 0 y por supuesto si no me crees pues puedes hacerlo tú mismo usando la multiplicación de polinomios muy bien y en el vídeo pasado lo que obtuvimos es lo siguiente sabíamos bueno concluimos el vídeo pasado que era uno más r2 es menos a uno donde a uno es el coeficiente del de digamos del término de un grado menor que el más grande ok entonces lo que queremos resolver en este vídeo es lo siguiente a que equivale la suma de los cuadrados de las raíces de este polinomio muy bien entonces para eso vamos a ver en los siguientes vamos a ver lo siguiente algo que se puede parecer a esta suma de cuadrados es lo siguiente r1 y r2 si lo elevamos al cuadrado va a incluir estos términos verdad y esto sabemos que es aún al cuadrado por qué pues porque era uno más ser perdón r1 r2 es menos a uno si elevamos al cuadrado de ambos lados tenemos r1 r2 elevado al cuadrado será menos a uno al cuadrado que es lo mismo que sólo elevar a uno al cuadrado muy bien entonces esto si lo desarrollamos eso es un binomio al cuadrado y esto nos queda r 1 al cuadrado más 2 veces r1 r2 más r 2 al cuadrado muy bien y aquí ya tenemos justo dos los términos que queríamos calcular verdad esencialmente lo que tenemos es lo siguiente digamos si si llamamos ese 1 a esta suma entonces tendremos que que ese 1 al cuadrado déjenme ponerlo con rosa tenemos ese 1 al cuadrado que fue justo esto que calculamos será nuestra suma de los cuadrados aquí tienen la suma de los cuadrados digamos esto es la suma 2 que es esencialmente lo que queremos calcular y nos da ese 2 dos veces el producto de r1 r2 y tú dirás oye pero no hemos visto quién es bueno este de aquí si sabemos quién es de hecho sabemos que es a 1 al cuadrado esto es justo lo que queremos calcular quién sería r 1 x r 2 bueno regresemos a esta expresión que tenemos de nuestro polinomio y aquí justamente está r1 r2 justamente aquí y que por lo tanto se relaciona con este término quiere decir que r1 r2 es a 2 así que tenemos que esto es a 2 a 2 es el coeficiente que en este caso es el que no tiene digamos el término constante muy bien así que si despejamos ese 2 tendremos ese 2 será igual a ese 1 al cuadrado que es a 1 al cuadrado al cuadrado menos dos veces r 1 x r 2 que es a 2 menos 2 veces a dos muy bien entonces aquí tenemos ya una forma rápida para calcular la suma de los cuadrados de las raíces de un polinomio cuadrática muy bien entonces al menos para este caso fue sencillo por ejemplo si nos dijeran te te damos el polinomio 7x cuadrada - pi por equis más o igual a cero entonces y te preguntan a ver calculamos el cuadrado con perdón la suma de los cuadrados de las raíces de este polinomio bueno pues en vez de calcular quiénes son las raíces es más fácil utilizar este resultado verdad primero recordemos que tenemos que hacer que el polinomio tenga tenga coeficiente 1 en el de grado más grande así que dividimos de ambos lados entre 7 y nos queda x cuadrada menos pi sobre 7 x más es sobre 7 es igual a 0 y ahora si podemos calcular la verdad simplemente tendremos que calcular a 1 al cuadrado que es este término al cuadrado sería pi cuadrada entre 49 muy bien ahí tienen este término al cuadrado menos 2 veces a dos que que en este caso es sobre 7 y ahí está digo no se habría que simplificar más de esto lo que sea pero con eso basta esto fue muy bonito para para no tener que calcular las raíces porque aunque tenemos la fórmula de cómo calcular estas raíces no fue necesario y simplemente habría que calcular esta fórmula que obtuvimos muy bien ahora bien pensemos en esta idea tratar de extenderla a un polinomio de grado 3 porque queremos hacer esto para que a lo mejor después si nos da tiempo podamos hacer un proceso de inducción y demostrarlo para cualquier polinomio ok entonces vamos a bajar un poco digamos ahora que tenemos el polinomio de tercer grado x al cubo vamos a quitar eso x al cubo más a 1 x cuadrada más a 2x más a 3 y esto es igual a 0 muy bien entonces esta ecuación tiene tres raíces r1 r2 y r3 a algo que hay que aclarar es que estos a lo mejor pueden ser algunos de ellos iguales entre sí ahora sí tiene tres raíces esto nos dice que el polinomio se descompone como x-men o cr1 por equis menos r2 por equis menos r3 y esto es igual a cero y quizás debería regresar esto acá arriba porque lo que sí sabemos es quién es el producto de estos dos primeros el producto de estos dos es lo que ya habíamos habíamos calculado aquí es justamente esto así que va a ser mucho más sencillo calcularlo ya que hemos este producto antes muy bien entonces vamos a bajar un poquito y lo que tenemos es lo siguiente vamos a multiplicar estos dos perdón es este binomio x menos r3 por este polinomio que ya tenemos acá arriba entonces vamos a hacerlo con mucha dedicación y con mucha tranquilidad así que empezamos multiplicando x por cada uno de estos términos y lo que obtenemos es lo siguiente x si multiplica x cuadrada es x al cubo x x menos r1 r2 x x será menos r1 r2 y x x x es x cuadrada y ahora x x r1 r2 será mas r1 r2 x vamos ahora con menos ere 3 - r 3 x x cuadrada es menos r 3 x cuadrada - r3 por este término se bueno los signos menos se cancelan y nos dan más y tendremos r3 que multiplica a r1 r2 por equis muy bien y luego finalmente menos con más es menos y nos queda r1 r2 r3 r1 r2 r3 así que ya podemos efectuar esta suma y vamos a ver cómo nos queda nos queda de este lado nos queda x al cubo menos r1 r2 r3 que multiplica x cuadrada y aquí no tenemos que si distribuimos podemos poner de la siguiente forma r1 r2 que es este primero luego r1 por rtve que es r 1 x r 3 r2 r3 de 2 x r3 que multiplica x menos r1 r2 r3 que fue este último término muy bien entonces ya lo que sí sabemos y que de hecho de aquí mismo se puede ver y que obtuvimos también en el vídeo anterior es que la suma de las raíces r1 r2 r3 eso ya lo sabemos de hecho es menos a 1 verdad ahora qué pasa si elevamos esto al cuadrado muy similar a lo que hicimos en el en el caso anterior para el polinomio cuadrática esto será multiplicar r1 r2 r3 multiplicarlo por el mismo así que será multiplicar por r1 r2 + r3 muy bien ok entonces vamos a hacerlo con mucha paciencia r 1 x r1 nos da r 1 al cuadrado r 1 x r 2 es r1 r2 r1 r3 es r1 r3 vamos ahora con r 2 r2 x r 1 es lo mismo que r1 r2 r 2 x r2 es r 2 al cuadrado y finalmente r 2 x r 3 es r2 r3 ahora con el último ere 3 por ere 1 es r1 r3 r 3 por r 2 es lo mismo que r 2 por ere 3 y r3 sport r3 es r 3 al cuadrado ahora sumamos sumamos y lo que nos queda es lo siguiente ere 1 al cuadrado más ere 2 al cuadrado más ere 3 al cuadrado eso fue sumar en esta primera columna y ahora si nos fijamos tenemos dos de cada uno de los productos combinados entre r1 r2 y r3 esto es lo mismo que dos veces dos veces r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 y eso es muy agradable porque esto es justo lo que queremos calcular y esto sale de calcular la suma de las raíces al cuadrado que también ya lo sabemos verdad esto esto recordemos esencialmente que es r2 y r3 al cuadrado muy bien entonces qué es lo que obtenemos esto de aquí es esta parte de aquí es a1 al cuadrado muy bien la suma de las raíces es menos a 1 pero si elevamos al cuadrado es lo mismo que a 1 al cuadrado ahora bien quién es esto de aquí está esta suma de los productos digamos cruzados esencialmente es el coeficiente que se encuentra aquí acompañando a la equis y es esa 2 ese es a 2 a 2 es justamente este producto entonces esto de aquí es a 2 así que la suma de los cuadrados de las raíces de este polinomio se calcula de la siguiente forma r 1 al cuadrado más r 2 al cuadrado más r 3 al cuadrado será lo mismo a 1 al cuadrado que ya lo tenemos de este lado a 1 al cuadrado y ahora pasamos este terminó restando sería menos dos veces esta suma que es a 2 muy bien y que coincide muy bien con la fórmula que habíamos obtenido para el polinomio de segundo grado entonces de hecho se va a cumplir para todos los polinomios esto lo puedes demostrar tú por inducción de forma muy similar a como hemos trabajado todo este tiempo con inducción y no sé quizás sería bueno dar un ejemplo por ejemplo tenemos que tener el polinomio 10 x al cubo menos 5 x cuadrada más 7 x más 2 igual a 0 y entonces siempre hay que recordar que este mismo polinomio tenemos que convertir o más bien esta misma ecuación tenemos que convertirla a un equivalente en donde el coeficiente de x al cubo del el de grado más grande su coeficiente sea 1 entonces hay que dividir entre 10 y nos queda x al cubo menos 5 entre 10 que es un medio x cuadrada más 7 sobre 10 x más 2 sobre 10 que esencialmente es un quinto esto es igual a 0 muy bien entonces si nosotros queremos calcular r1 al cuadrado más r 2 al cuadrado más r 3 al cuadrado lo que tenemos que hacer simplemente nos dice elevar a 1 al cuadrado pero en este caso es menos un medio así que si elevamos menos un medio al cuadrado tendremos un cuarto verdad menos un medio por menos un medio es un cuarto y luego restar dos veces de a dos que nuestro caso es 7 decimos si te decimos entonces no sé esto esto con todo esto es un cuarto menos 14 decimos obtenemos un denominador común que en este caso pues puede ser fácilmente 20 vamos a hacerlo separado cuántos cuantos veinteavos es un cuarto pues eso esencialmente son 5 verdad 20 entre 4 son 5 por 1 son 5 y restamos cuántos veinteavo son 14 decimos estos son 20 a vos pues son 20 entre 10 son 22 por 14 son 28 entonces tenemos 5 menos 28 y todo eso son 20 a vos son menos 23 sobre 20 y tú dirás oye a ver a ver a ver cómo está eso de que la suma de unos cuadrados me dio algo negativo como que eso no tiene sentido pero hay que recordar algo que las raíces de un polinomio no necesariamente son números reales pueden ser números complejos y definitivamente aquí es uno de esos casos así que espero que hayas encontrado esto muy útil porque al menos a mí fascinante cómo calcular esta suma de los cuadrados de las raíces